Matrices gamma de dimensiones superiores

En física matemática , las matrices gamma de dimensiones superiores generalizan a dimensiones arbitrarias las matrices gamma de Dirac de cuatro dimensiones , que constituyen un pilar fundamental de la mecánica cuántica relativista . Se utilizan en ecuaciones de onda relativísticamente invariantes para fermiones (como los espinores) en dimensiones espaciotemporales arbitrarias, especialmente en teoría de cuerdas y supergravedad . Las matrices de Weyl-Brauer proporcionan una construcción explícita de matrices gamma de dimensiones superiores para espinores de Weyl . Las matrices gamma también aparecen en contextos genéricos de geometría riemanniana , particularmente cuando se puede definir una estructura de espín .

Introducción

Consideremos un espacio-tiempo de dimensión $d$ con la métrica plana de Minkowski ,

\eta =\|\eta _{ab}\|={\text{diag}}(+1,\dots ,+1,-1,\dots ,-1)~,

con $p$ entradas positivas, $q$ entradas negativas, $p+q=d$ y $a, b = 0, 1, ..., d - 1.$ Establezca $N = 2 ⌊ ⁠ 1 / 2 ⁠ d ⌋$ . Las matrices de Dirac estándar corresponden a tomar $d = N = 4$ y $p, q = 1, 3$ o $3, 1$ .

En dimensiones superiores (y inferiores), se puede definir un grupo , el grupo gamma , que se comporta de la misma manera que las matrices de Dirac. ^{[ 1 ]} Más precisamente, si se selecciona una base $\{e_{a}\}$ para el álgebra de Clifford (complejizada) $\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {C} )\cong \mathrm {Cl} ^{\mathbb {C} }(p,q)$ , luego el grupo gamma generado por $\{\Gamma _ {a}\}$ es isomorfo al subgrupo multiplicativo generado por los elementos base. $e_{a}$ (ignorando el aspecto aditivo del álgebra de Clifford).

Por convención, el grupo gamma se realiza como una colección de matrices, las matrices gamma, aunque la definición del grupo no lo requiere. En particular, muchas propiedades importantes, incluidas las simetrías C , P y T , no requieren una representación matricial específica, y de esta manera se obtiene una definición más clara de quiralidad . ^[¹^] Son posibles varias representaciones matriciales, algunas dadas a continuación y otras en el artículo sobre las matrices de Weyl-Brauer . En la representación matricial, los espinores son $N$ -dimensional, con las matrices gamma actuando sobre los espinores. Una construcción detallada de espinores se da en el artículo sobre álgebra de Clifford . Jost proporciona una referencia estándar para espinores en el contexto general de la geometría riemanniana. ^{[ 2 ]}

Grupo Gamma

La mayoría de las propiedades de las matrices gamma pueden ser capturadas por un grupo , el grupo gamma . Este grupo puede definirse sin referencia a los números reales, los números complejos , ni siquiera mediante una apelación directa al álgebra de Clifford . ^{[ 1 ]} Las representaciones matriciales de este grupo proporcionan entonces una realización concreta que puede utilizarse para especificar la acción de las matrices gamma sobre los espinores . Para $(p,q)=(1,3)$ dimensiones, los productos matriciales se comportan igual que las matrices de Dirac convencionales . El grupo de Pauli es una representación del grupo gamma para $(p,q)=(3,0)$ aunque el grupo de Pauli tiene más relaciones (es menos libre ); vea la nota sobre el elemento quiral a continuación para un ejemplo. Los cuaterniones proporcionan una representación para $(p,q)=(0,3).$

La presentación del grupo gamma $G=G_{p,q}$ es el siguiente.

Un elemento neutro se denota como $I$ .
El elemento $i$ con $i^{4}=I$ es un sustituto del número complejo $i$ ; conmuta con todos los demás elementos ,
Hay una colección de generadores $\Gamma _{a}$ indexado por $a=0,\ldots ,p-1$ con $\Gamma _{a}^{2}=I~,$
Los generadores restantes $\Gamma _{a},\ a=p,\ldots ,p+q-1$ cumplir $\Gamma _{a}^{2}=i^{2}~,$
El anticonmutador se define como $\Gamma _ {a}\Gamma _ {b}=i^{2}\Gamma _ {b}\Gamma _ {a}$ para $a\neq b~.$

Estos generadores definen completamente el grupo gamma. Se puede demostrar que, para todo $x\in G$ eso $x^{4}=I$ y entonces $x^{-1}=x^{3}~.$ Cada elemento $x\in G$ puede escribirse de forma única como un producto de un número finito de generadores colocados en orden canónico como

x=i^{n}\Gamma _ {a}\Gamma _ {b}\cdots \Gamma _ {c}

con los índices en orden ascendente

a<b<\cdots <c

y $0\leq n\leq 3.$ El grupo gamma es finito y tiene como máximo $2^{p+q+2}$ elementos en él.

El grupo gamma es un 2-grupo pero no un p-grupo regular . El subgrupo conmutador (subgrupo derivado) es $[G,G]=\left\{I,i^{2}\right\}~,$ Por lo tanto, no es un p-grupo poderoso . En general, los 2-grupos tienen un gran número de involuciones ; el grupo gamma también. A continuación se destacan tres en particular, ya que tienen una interpretación específica en el contexto de las álgebras de Clifford , en el contexto de las representaciones del grupo gamma (donde la transposición y la conjugación hermitiana corresponden literalmente a esas acciones sobre matrices) y en física , donde la "involución principal" $\alpha$ corresponde a una simetría P y simetría T combinadas .

Transposición

Elementos dados $\Gamma _{i}$ del conjunto generador del grupo gamma, la transposición o inversión viene dada por

(\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c})^{\textsf {t}}=\Gamma _{c}\cdots \Gamma _{b}\Gamma _{a}

Si hay $k$ elementos $\Gamma _{i}$ todos distintos, entonces

(\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c})^{\textsf {t}}=\left(i^{2}\right)^{{\frac {1}{2}}k(k-1)}\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c}

conjugación hermitiana

Otro automorfismo del grupo gamma viene dado por la conjugación, definida en los generadores como

\Gamma _{a}^{\dagger }={\begin{cases}\Gamma _{a}&{\mbox{para }}0\leq a<p\\i^{2}\Gamma _{a}&{\mbox{para }}p\leq a<p+q\\\end{cases}}

complementado con $i^{\dagger }=i^{3}$ y $I^{\dagger }=I.$ Para los elementos generales del grupo, se toma la transpuesta: $(ab)^{\dagger }=b^{\dagger }a^{\dagger }~.$ De las propiedades de transposición se deduce que, para todos los elementos $x\in G$ que $xx^{\dagger }=x^{\dagger }x=I$ o que $xx^{\dagger }=x^{\dagger }x=i^{2}~,$ Es decir, todos los elementos son hermíticos o unitarios.

Si uno interpreta el $p$ dimensiones como "similares al tiempo", y la $q$ dimensiones como "similares al espacio", entonces esto corresponde a la simetría P en física. Que esta sea la identificación "correcta" se deduce de las matrices de Dirac convencionales, donde $\gamma _{0}$ está asociada con la dirección temporal y la $\gamma _{i}$ las direcciones espaciales, con la métrica "convencional" (+−−−). Otras opciones métricas y de representación sugieren otras interpretaciones.

Involución principal

La involución principal es el mapa que "invierte" los generadores: $\alpha (\Gamma _{a})=i^{2}\Gamma _{a}$ pero se va $i$ solo: $\alpha (i)=i~.$ Este mapa corresponde a la simetría P y la simetría T combinadas en física; todas las direcciones están invertidas.

Elemento quiral

Defina el elemento quiral $\omega \equiv \Gamma _{\mathrm {chir} }$ como

\omega =\Gamma _{\mathrm {chir} }=\Gamma _{0}\Gamma _{1}\cdots \Gamma _{d-1}

dónde $d=p+q$ . El elemento quiral conmuta con los generadores como

\Gamma _{a}\omega =\left(i^{2}\right)^{d-1}\omega \Gamma _{a}

Se cuadra a

\omega ^{2}=\left(i^{2}\right)^{q+{\frac {1}{2}}d(d-1)}

Para las matrices de Dirac, el elemento quiral corresponde a $\gamma _{5}~,$ De ahí su nombre, ya que desempeña un papel importante en la distinción de la quiralidad de los espinores.

Para el grupo de Pauli , el elemento quiral es $\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=i$ mientras que para el grupo gamma $G_{3,0}$ , no se puede deducir ninguna relación de este tipo para $\Gamma _{1}\Gamma _{2}\Gamma _{3}$ aparte de eso, cuadra a $i^{2}~.$ Este es un ejemplo de dónde una representación puede tener más identidades que el grupo representado. Para los cuaterniones , que proporcionan una representación de $G_{0,3}$ El elemento quiral es $ijk=i^{2}~.$

conjugación de carga

Ninguno de los automorfismos anteriores (transposición, conjugación, involución principal) son automorfismos internos ; es decir, no pueden representarse en la forma $CxC^{-1}$ para algún elemento existente $C$ en el grupo gamma, como se presentó anteriormente. La conjugación de carga requiere extender el grupo gamma con dos nuevos elementos; por convención, estos son

C_{+}\Gamma _{a}C_{+}^{-1}=\Gamma _{a}^{\textsf {t}}

y

C_{-}\Gamma _{a}C_{-}^{-1}=i^{2}\Gamma _{a}^{\textsf {t}}

Las relaciones anteriores no son suficientes para definir un grupo; $C^{2}$ y otros productos aún no se han determinado.

Representación matricial

El grupo gamma tiene una representación matricial dada por un número complejo. $N\times N$ matrices con $N=2^{\left\lfloor {\frac {1}{2}}d\right\rfloor }$ y $d=p+q$ y $\lfloor x\rfloor$ la función piso , el entero más grande menor o igual que $x.$ La presentación de grupo para las matrices se puede escribir de forma compacta en términos de la relación de anticonmutador del álgebra de Clifford $Cℓ p, q (R)$

\{\Gamma _{a}~,~\Gamma _{b}\}=\Gamma _{a}\Gamma _{b}+\Gamma _{b}\Gamma _{a}=2\eta _{ab}I_{N}~,

donde la matriz $I N$ es la matriz identidad en $N$ dimensiones. La transposición y la conjugación hermitiana corresponden a su significado habitual en matrices.

conjugación de carga

Para el resto de este artículo, se asume que $p=1$ y entonces $q=d-1$ . Es decir, se asume el álgebra de Clifford $Cℓ 1, d -1 (R) .$ ^{[ a ]} En este caso, las matrices gamma tienen la siguiente propiedad bajo conjugación hermitiana ,

{\begin{aligned}\Gamma _{0}^{\dagger }&=+\Gamma _{0}~,&\Gamma _{a}^{\dagger }&=-\Gamma _{a}~(a=1,\dots ,d-1)~.\end{aligned}}

La transposición se denotará con un pequeño cambio de notación, mediante mapeo. $\Gamma _{a}^{\textsf {t}}\mapsto \Gamma _{a}^{\textsf {T}}$ donde el elemento de la izquierda es el elemento del grupo abstracto, y el de la derecha es la transpuesta literal de la matriz .

Como antes, los generadores $Γ a, -Γ a T, Γ a T$ generan el mismo grupo (los grupos generados son todos isomorfos ; las operaciones siguen siendo involuciones ). Sin embargo, dado que los $Γ a$ son ahora matrices, resulta plausible preguntarse si existe una matriz que pueda actuar como una transformación de similitud que incorpore los automorfismos. En general, se puede encontrar tal matriz. Por convención, hay dos de interés; en la literatura de física, ambas se denominan matrices de conjugación de carga . Explícitamente, estas son:

{\begin{aligned}C_{(+)}\Gamma _{a}C_{(+)}^{-1}&=+\Gamma _{a}^{\textsf {T}}\\C_{(-)}\Gamma _{a}C_{(-)}^{-1}&=-\Gamma _{a}^{\textsf {T}}~.\end{aligned}}

Se pueden construir como matrices reales en varias dimensiones, como muestra la siguiente tabla. En dimensión par, ambas $C_{\pm }$ Existe, en una dimensión extraña, solo uno.

Tenga en cuenta que $C_{(\pm )}^{*}=C_{(\pm )}$ es una elección básica.

Propiedades de simetría

Denotamos un producto de matrices gamma por

\Gamma _{abc\dotsm }=\Gamma _{a}\cdot \Gamma _{b}\cdot \Gamma _{c}\cdots {}

y observe que la propiedad de anticonmutación nos permite simplificar cualquier secuencia de este tipo a una en la que los índices sean distintos y crecientes. Dado que distintos $\Gamma _{a}$ anti-conmutación esto motiva la introducción de un "promedio" antisimétrico. Introducimos los productos antisimetrizados de $n-$ tuplas distintas de 0, ..., $d$ − 1:

\Gamma _{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in S_{n}}\epsilon (\pi )\Gamma _{a_{\pi (1)}}\cdots \Gamma _{a_{\pi (n)}}~,

donde $π$ recorre todas las permutaciones de $n$ símbolos, y $ϵ$ es el carácter alternante . Hay 2 ^d productos de este tipo, pero solo $N$ ² son independientes, abarcando el espacio de matrices $N$ × $N.$

Típicamente, $Γ ab$ proporciona la representación (bi)espinorial de los $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $d$ $($ $d$ $- 1)$ generadores del grupo de Lorentz de dimensión superior , $SO$ $+$ $(1,$ $d$ $- 1)$ , generalizando las 6 matrices σ ^μν de la representación de espín del grupo de Lorentz en cuatro dimensiones.

Para $d$ par , se puede definir además la matriz quiral hermitiana.

\Gamma _{\text{chir}}=i^{{\frac {d}{2}}-1}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dotsm \Gamma _{d-1}~,

De tal forma que ${Γ chir, Γ a} = 0$ y $Γ chir 2 = 1$ . (En dimensiones impares, dicha matriz conmutaría con todos $los Γ$ _a y, por lo tanto, sería proporcional a la matriz identidad, por lo que no se considera).

Una matriz $Γ$ se denomina simétrica si

(C\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{n}})^{\textsf {T}}=+(C\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{n}})~;

En caso contrario, para un signo −, se denomina antisimétrico.

En la expresión anterior, $C$ puede ser $C_{(+)}$ o $C_{(-)}$ . En dimensión impar, no hay ambigüedad, pero en dimensión par es mejor elegir cualquiera de las $C_{(+)}$ o $C_{(-)}$ permite espinores de Majorana. En $d$ = 6, no existe tal criterio y por lo tanto consideramos ambos.

Identidades

La prueba de las identidades de traza para matrices gamma se mantiene para todas las dimensiones pares. Por lo tanto, solo es necesario recordar el caso 4D y luego cambiar el factor general de 4 a $\operatorname {tr} (I_{N})$ . Para otras identidades (las que implican una contracción), funciones explícitas de $d$ aparecerá.

$\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=dI_{N}$
$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=(2-d)\gamma ^{\nu }$
$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+(d-2)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$
$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }-2\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }-(d-2)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }$

Incluso cuando el número de dimensiones físicas es cuatro, estas identidades más generales son omnipresentes en los cálculos de bucles debido a la regularización dimensional .

Ejemplo de una construcción explícita

Las matrices $Γ$ se pueden construir recursivamente, primero en todas las dimensiones pares, $d$ = 2 $k$ , y luego en las impares, 2 $k$ + 1.

d = 2

Utilizando las matrices de Pauli , tome

{\begin{aligned}\gamma _{0}&=\sigma _{1},&\gamma _{1}&=-i\sigma _{2}\end{aligned}}

y se puede comprobar fácilmente que las matrices de conjugación de carga son

{\begin{aligned}C_{(+)}=\sigma _{1}=C_{(+)}^{*}=s_{(2,+)}C_{(+)}^{\textsf {T}}&=s_{(2,+)}C_{(+)}^{-1}&s_{(2,+)}&=+1\\C_{(-)}=i\sigma _{2}=C_{(-)}^{*}=s_{(2,-)}C_{(-)}^{\textsf {T}}&=s_{(2,-)}C_{(-)}^{-1}&s_{(2,-)}&=-1~.\end{aligned}}

Finalmente, se puede definir el $γ$ _chir quiral hermitiano como

\gamma _{\text{chir}}=\gamma _{0}\gamma _{1}=\sigma _{3}=\gamma _{\text{chir}}^{\dagger }~.

d par genérico = 2 k

Ahora se pueden construir las matrices $Γ a, (a = 0, ... , d + 1)$ , y las conjugaciones de carga $C$ _(±) en $d$ + 2 dimensiones, partiendo de las matrices $γ a'$ , ( $a'$ $= 0, ... ,$ $d$ $- 1$ ), y $c$ _(±) en $d$ dimensiones.

Explícitamente,

{\begin{aligned}\Gamma _{a'}&=\gamma _{a'}\otimes \sigma _{3}~~~\left(a'=0,\dots ,d-1\right)~,&\Gamma _{d}&=I\otimes (i\sigma _{1})~,&\Gamma _{d+1}&=I\otimes (i\sigma _{2})~.\end{aligned}}

Entonces se pueden construir las matrices de conjugación de carga,

{\begin{aligned}C_{(+)}&=c_{(-)}\otimes \sigma _{1}~,&C_{(-)}&=c_{(+)}\otimes (i\sigma _{2})~,\end{aligned}}

con las siguientes propiedades,

{\begin{aligned}C_{(+)}=C_{(+)}^{*}=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{\textsf {T}}&=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{-1}&s_{(d+2,+)}&=s_{(d,-)}\\C_{(-)}=C_{(-)}^{*}=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{\textsf {T}}&=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{-1}&s_{(d+2,-)}&=-s_{(d,+)}~.\end{aligned}}

Partiendo de los valores de signo para $d$ = 2, $s$ _(2,+) = +1 y $s$ _(2,−) = −1, se pueden fijar todos los signos subsiguientes $s$ _{( d ,±)} que tienen periodicidad 8; explícitamente, se encuentra

Nuevamente, se puede definir la matriz quiral hermitiana en $d$ +2 dimensiones como

{\begin{aligned}\Gamma _{\text{chir}}&=\alpha _{d+2}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dotsm \Gamma _{d+1}=\gamma _{\text{chir}}\otimes \sigma _{3}~,&\alpha _{d}&=i^{{\frac {1}{2}}d-1}~,\end{aligned}}

que es diagonal por construcción y se transforma bajo conjugación de carga como

{\begin{aligned}C_{(\pm )}\Gamma _{\text{chir}}C_{(\pm )}^{-1}&=\beta _{d+2}\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}~,&\beta _{d}&=(-)^{{\frac {1}{2}}d(d-1)}~.\end{aligned}}

Es evidente, por lo tanto, que ${Γ chir, Γ a}$ = 0. Una vez que se aplica una permutación para hacer que los autovalores +1 y -1 de la matriz quiral sean consecutivos, esta elección se convierte en el análogo directo de la base quiral en cuatro dimensiones.

d impar genérico = 2k + 1

Consideremos la construcción anterior para $d$ − 1 (que es par) y simplemente tomemos todas las matrices $Γ a (a = 0, ..., d - 2) , a las que se les añade su$ $i Γ chir \equiv Γ d -1$ . (La $i$ es necesaria para obtener una matriz antihermítica y extenderla a la métrica espacial).

Finalmente, calcule la matriz de conjugación de carga: elija entre $C_{(+)}$ y $C_{(-)}$ , de tal manera que $Γ d -1$ se transforma como todas las demás matrices $Γ$ . Explícitamente, se requiere

C_{(s)}\Gamma _{\text{chir}}C_{(s)}^{-1}=\beta _{d}\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}=s\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}~.

A medida que la dimensión $d$ varía, los patrones suelen repetirse con un periodo de 8. (Véase el reloj del álgebra de Clifford ).

Véase también

Notas

↑ Es posible, e incluso probable, que muchas o la mayoría de las fórmulas y tablas de esta sección y las siguientes sean válidas en el caso general; sin embargo, esto no se ha verificado. Esta sección y las siguientes se escribieron originalmente bajo el supuesto de una métrica (1,d−1).

Referencias

1 2 3 Petitjean, Michel (2020). "Revisión de la quiralidad de los espinores de Dirac" . Symmetry . 12 (4): 616. Bibcode : 2020Symm...12..616P . doi : 10.3390/sym12040616 .
↑ Jurgen Jost, (2002) "Geometría riemanniana y análisis geométrico (3.ª edición)", Springer. Véase el capítulo 1, sección 1.8.

Lectura general

Brauer, Richard ; Weyl, Hermann (1935). "Espinores en n dimensiones". Soy. J. Matemáticas . 57 (2): 425– 449. doi : 10.2307/2371218 . JFM 61.1025.06 . JSTOR 2371218 . Zbl 0011.24401 .
Pais, Abraham (1962). "Sobre espinores en n dimensiones" . Journal of Mathematical Physics . 3 (6): 1135– 1139. Bibcode : 1962JMP.....3.1135P . doi : 10.1063/1.1703856 .
Gliozzi, F.; Scherk, Joel; Olive, D. (1977). "Supersimetría, teorías de supergravedad y el modelo de espinor dual" (PDF) . Nuclear Physics B. 122 ( 2): 253. Bibcode : 1977NuPhB.122..253G . doi : 10.1016/0550-3213(77)90206-1 .
Kennedy, AD (1981). "Álgebras de Clifford en 2ω dimensiones". Journal of Mathematical Physics . 22 (7): 1330– 1337. Bibcode : 1981JMP....22.1330K . doi : 10.1063/1.525069 .
de Wit, Bryce y Smith, J. (1986). Teoría de campos en física de partículas (Biblioteca personal de North-Holland), Volumen 1, Tapa blanda, Apéndice E ( Archivado del original ), ISBN 978-0444869999
Murayama, H. (2007). "Notas sobre el álgebra de Clifford y las representaciones Spin(N)"
Pietro Giuseppe Frè (2012). «Gravedad, un curso geométrico: Volumen 1: Desarrollo de la teoría y aplicaciones físicas básicas». Springer-Verlag. ISBN 9400753608Véase págs . 315 y siguientes.

[3] Es posible, e incluso probable, que muchas o la mayoría de las fórmulas y tablas de esta sección y las siguientes sean válidas en el caso general; sin embargo, esto no se ha verificado. Esta sección y las siguientes se escribieron originalmente bajo el supuesto de una métrica (1,d−1).

[petitjean-1] 1 2 3 Petitjean, Michel (2020). "Revisión de la quiralidad de los espinores de Dirac" . Symmetry . 12 (4): 616. Bibcode : 2020Symm...12..616P . doi : 10.3390/sym12040616 .

[2] Jurgen Jost, (2002) "Geometría riemanniana y análisis geométrico (3.ª edición)", Springer. Véase el capítulo 1, sección 1.8.

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