Métrica de brecha

La métrica de brecha es un concepto matemático que se utiliza para cuantificar la distancia entre operadores lineales en un espacio de Hilbert . Fue introducida independientemente por Mark Krein y Mark Krasnoselsky (1947), y Béla Szőkefalvi-Nagy (1946), en su trabajo sobre la invertibilidad de operadores diferenciales . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Desde entonces, la métrica de brecha ha encontrado aplicaciones en la teoría de perturbaciones , ^{[ 3 ] [ 4 ]} el control robusto , ^{[ 5 ]} y el análisis de sistemas de retroalimentación . ^{[ 6 ]}

Sean H ₁ y H ₂ espacios de Hilbert, y sea P : D _p ⊆ H ₁ → H ₂ un operador lineal (posiblemente no acotado) con dominio D _p . La gráfica de P se define como:

${\displaystyle G_{P}:=\{(u,y)\mid u\in D_{P},y=Pu\}\subseteq H_{1}\oplus H_{2}}$

Dejar${\displaystyle \Pi _{G_{P}}}$denotamos la proyección ortogonal desde${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}}$sobre el gráfico de P. Entonces, para dos operadores P ₁ y P ₂ , la métrica de brecha se define como: ^{[ 3 ] [ 5 ]}

${\displaystyle d(P_{1},P_{2}):=\|\Pi _{G_{P_{1}}}-\Pi _{G_{P_{2}}}\|}$

Esta métrica toma valores en [0, 1] y cuantifica la separación angular entre las gráficas de los dos operadores.

Cuando los operadores son multiplicaciones escalares en${\displaystyle \mathbb {R} }$, sus gráficos corresponden a líneas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$y la diferencia es igual al seno del ángulo entre ellos. Este concepto se aplica a subespacios en espacios de Hilbert de dimensión finita e infinita y sirve como medida de proximidad entre sistemas u operadores dinámicos.

La métrica de brecha es fundamental en la teoría de perturbaciones de operadores lineales. Los trabajos fundamentales sobre este tema se presentan en el tratado clásico de Tosio Kato sobre la teoría de perturbaciones para operadores lineales (1966). ^{[ 3 ]} Las extensiones a contextos más amplios incluyen generalizaciones a espacios vectoriales normados y variedades. ^{[ 7 ] [ 5 ] [ 8 ]}

La métrica de brecha ganó prominencia en la teoría de control a través del trabajo de George Zames y Ahmed El-Sakkary (1979), y el trabajo posterior de Tryphon T. Georgiou (1988), quien demostró que la métrica de brecha entre sistemas dinámicos lineales se puede calcular mediante${\displaystyle H^{\infty }}$-optimización. ^{[ 9 ] [ 10 ]} La métrica se utiliza para cuantificar cuánto puede desviarse una planta (un sistema que forma parte de un bucle de retroalimentación de control) de un modelo nominal mientras se mantiene la estabilidad de entrada-salida del bucle de retroalimentación. ^{[ 5 ]}

Una expresión alternativa útil para la métrica de brecha es:

${\displaystyle d(P_{1},P_{2})=\max\{{\overrightarrow {d}}(P_{1},P_{2}),{\overrightarrow {d}}(P_{2},P_{1})\}}$

donde la brecha dirigida se define como:

${\displaystyle {\overrightarrow {d}}(P_{1},P_{2})=\|(I-\Pi _{G_{P_{2}}})\Pi _{G_{P_{1}}}\|=\inf _{g_{2}\in G_{P_{2}}}\sup\{\|g_{1}-g_{2}\|\mid g_{1}\in G_{P_{1}},\|g_{1}\|=1\}}$

El lado derecho ofrece una interpretación en el dominio del tiempo de la métrica como la solución a un problema de aproximación min-max que es estructuralmente similar al de la distancia de Hausdorff .

Georgiou demostró que la métrica de brecha se puede calcular como la solución a la siguiente ecuación:${\displaystyle H_{\infty }}$-problema de optimización:

${\displaystyle {\overrightarrow {d}}(P_{1},P_{2})=\inf _{{\hat {Q}}\in H^{\infty }}\left\|{\hat {G}}_{P_{1}}-{\hat {G}}_{P_{2}}{\hat {Q}}\right\|_{\infty }}$

dónde${\displaystyle {\hat {G}}_{P}={\begin{bmatrix}{\hat {M}}_{P}\\{\hat {N}}_{P}\end{bmatrix}}}$es una función matricial interna en el espacio de Hardy${\displaystyle H^{\infty }}$y describe la gráfica del sistema dinámico que se considera como un operador en${\displaystyle L_{2}[0,\infty)}$. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Este símbolo gráfico corresponde a una factorización coprima de la función de transferencia del sistema:

${\displaystyle {\hat {P}}(s)={\hat {N}}(s){\hat {M}}(s)^{-1}}$

sujeto a la condición de normalización:

${\displaystyle {\hat {M}}(i\omega )^{*}{\hat {M}}(i\omega )+{\hat {N}}(i\omega )^{*}{\hat {N}}(i\omega )=I}$para${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$.

Las factorizaciones coprimas normalizadas forman la base del método de conformación de bucles H-infinito desarrollado por Keith Glover y Duncan McFarlane (1990, 1992), que se alinea con el enfoque de robustez geométrica de TT Georgiou y Malcolm C. Smith (1990), Buddie et al. (1993). ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 5 ] [ 14 ]}

La métrica de brecha induce la topología de grafo , la topología más débil para la cual la estabilidad de lazo cerrado es una propiedad robusta, estudiada por Mathukumalli Vidyasagar et al. (1982). ^{[ 15 ]} Es decir, si un sistema de retroalimentación es estable, entonces cualquier perturbación suficientemente pequeña (en la métrica de brecha) de la planta aún resulta en un sistema de retroalimentación estable.

Un resultado clave obtenido por Georgiou y Smith (1990) es que para un sistema lineal invariante en el tiempo de dimensión posiblemente infinita con función de transferencia matricial${\displaystyle {\hat {P}}(s)}$en retroalimentación con un controlador que tiene función de transferencia${\displaystyle C(s)}$La estabilidad del bucle de retroalimentación se conserva para todas las perturbaciones. ${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{perturbed}}(s)}$satisfactorio: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle d(P,P_{\text{perturbed}})<b_{P,C}}$

donde el límite viene dado por:

${\displaystyle b_{P,C}=\left\|{\begin{bmatrix}I\\P(s)\end{bmatrix}}(I-C(s)P(s))^{-1}[I,-C(s)]\right\|_{\infty }^{-1}}$

El operador:

${\displaystyle \Pi _{G_{P}//G_{C}}:={\begin{bmatrix}I\\P(s)\end{bmatrix}}(I-C(s)P(s))^{-1}[I,-C(s)]}$

tiene un significado geométrico como la proyección paralela sobre la gráfica de P a lo largo de la gráfica de C. Este concepto se extendió a sistemas no lineales ^{[ 16 ]} y formó la base de una teoría de retroalimentación robusta para sistemas no lineales desarrollada por Georgiou y Smith. ^{[ 17 ] [ 6 ]}

En${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Para dos subespacios G ₁ y G ₂ de igual dimensión m , representados por matrices base ortonormales, la brecha es:

${\displaystyle \|(I-G_{1}G_{1}^{\top })G_{2}\|}$

Si los subespacios tienen dimensiones diferentes, la métrica de brecha es igual a 1. En este caso, una de las brechas dirigidas alcanza el valor máximo.

• Métrica de grafos (Vidyasagar, 1982): Introducida para establecer la metrizabilidad de la topología del grafo, aunque carece de un método computacional conocido. ^{[ 18 ]}
• Métrica de brecha ν (Vinnicombe (1992)): Un análogo en el dominio de la frecuencia diseñado para comparar sistemas lineales invariantes en el tiempo. ^{[ 19 ] [ 20 ]}