Fracción continua de Gauss

En el análisis complejo , la fracción continua de Gauss es una clase particular de fracciones continuas derivadas de funciones hipergeométricas . Fue una de las primeras fracciones continuas analíticas conocidas en matemáticas y puede utilizarse para representar varias funciones elementales importantes , así como algunas de las funciones trascendentales más complicadas .

Lambert publicó varios ejemplos de fracciones continuas en esta forma en 1768, y tanto Euler como Lagrange investigaron construcciones similares, ^[1] pero fue Carl Friedrich Gauss quien utilizó el álgebra descrita en la siguiente sección para deducir la forma general de esta fracción continua, en 1813. ^[2]

Aunque Gauss dio la forma de esta fracción continua, no dio una prueba de sus propiedades de convergencia. Bernhard Riemann ^[3] y LW Thomé ^[4] obtuvieron resultados parciales, pero la palabra final sobre la región en la que converge esta fracción continua no la dio hasta 1901, Edward Burr Van Vleck . ^[5]

Sea una secuencia de funciones analíticas tal que ${\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\puntos}$

${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}\,z\,f_{i+1}}$

para todos , donde cada uno es una constante. ${\displaystyle i>0}$$estilo de visualización k_{i}}$

Entonces

${\displaystyle {\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},{\text{ y entonces }}{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}$

Configuración${\displaystyle g_{i}=f_{i}/f_{i-1},}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}},}$

Entonces

${\displaystyle g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\cdots .\ }$

Repetir esto hasta el infinito produce la expresión de fracción continua

${\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

En la fracción continua de Gauss, las funciones son funciones hipergeométricas de la forma , , y , y las ecuaciones surgen como identidades entre funciones donde los parámetros difieren en cantidades enteras. Estas identidades se pueden demostrar de varias maneras, por ejemplo, desarrollando la serie y comparando coeficientes, o tomando la derivada de varias maneras y eliminándola de las ecuaciones generadas. ${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$

El caso más simple implica

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .}$

Empezando por la identidad

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a-1;z)-\,_{0}F_{1}(a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(a+1;z),}$

podemos tomar

${\displaystyle f_{i}={}_{0}F_{1}(a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i-1)}},}$

donación

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

o

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddots }}}}}}}}.}$

Esta expansión converge a la función meromórfica definida por la relación de las dos series convergentes (siempre que, por supuesto, a no sea cero ni un entero negativo).

El siguiente caso involucra

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }$

para lo cual las dos identidades

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

se utilizan alternativamente.

Dejar

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z),}$

etc.

Esto da donde , produciendo ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$${\displaystyle k_{1}={\tfrac {a-b}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1)(b+2)}},k_{3}={\tfrac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2}{(b+3)(b+4)}}}$

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

o

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(a-b)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Similarmente

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

o

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a-b-2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Dado que , al establecer a en 0 y reemplazar b  + 1 con b en la primera fracción continua se obtiene un caso especial simplificado: ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(0;b;z)=1}$

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z}{(b+1)+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

El caso final involucra

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .\,}$

Nuevamente se utilizan dos identidades alternativamente.

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),}$

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z).}$

Se trata esencialmente de la misma identidad con a y b intercambiados.

Dejar

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),}$

etc.

Esto da como resultado donde , produciendo ^[6]${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$${\displaystyle k_{1}={\tfrac {(a-c)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}}$

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

o

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(a-c)bz}{(c+1)+{\cfrac {(b-c-1)(a+1)z}{(c+2)+{\cfrac {(a-c-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(b-c-2)(a+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Dado que , al establecer a en 0 y reemplazar c  + 1 por c se obtiene un caso especial simplificado de la fracción continua: ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(b-c)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(b-c-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

En este apartado se excluyen los casos en que uno o más de los parámetros sean enteros negativos, ya que en estos casos o bien las series hipergeométricas están indefinidas o bien son polinomios por lo que la fracción continua termina. También se excluyen otras excepciones triviales.

En los casos y , las series convergen en todas partes, por lo que la fracción del lado izquierdo es una función meromórfica . Las fracciones continuas del lado derecho convergerán uniformemente en cualquier conjunto cerrado y acotado que no contenga polos de esta función. ^[7]${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$

En el caso , el radio de convergencia de la serie es 1 y la fracción del lado izquierdo es una función meromórfica dentro de este círculo. Las fracciones continuas del lado derecho convergerán a la función en todos los puntos dentro de este círculo. ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$

Fuera del círculo, la fracción continua representa la continuación analítica de la función en el plano complejo con el eje real positivo, desde +1 hasta el punto en el infinito eliminado. En la mayoría de los casos, +1 es un punto de ramificación y la línea desde +1 hasta el infinito positivo es un corte de ramificación para esta función. La fracción continua converge a una función meromórfica en este dominio, y converge uniformemente en cualquier subconjunto cerrado y acotado de este dominio que no contenga ningún polo. ^[8]

Tenemos

${\displaystyle \cosh(z)=\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

${\displaystyle \sinh(z)=z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

entonces

${\displaystyle \tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2}{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+{}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\cfrac {z^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}.}$

Esta expansión particular se conoce como fracción continua de Lambert y se remonta a 1768. ^[9]

De ello se deduce fácilmente que

${\displaystyle \tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.}$

La expansión de tanh se puede utilizar para demostrar que e ⁿ es irracional para cada entero n distinto de cero (lo que lamentablemente no es suficiente para demostrar que e es trascendental ). La expansión de tan fue utilizada tanto por Lambert como por Legendre para demostrar que π es irracional .

La función de Bessel se puede escribir ${\displaystyle J_{\nu }}$

${\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{0}F_{1}(\nu +1;-{\frac {z^{2}}{4}}),}$

De lo cual se sigue

${\displaystyle {\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{}\ddots }}}}}}}}.}$

Estas fórmulas también son válidas para cada complejo z .

Desde ,${\displaystyle e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)}$${\displaystyle 1/e^{z}=e^{-z}}$

${\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{\cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}.}$

Con cierta manipulación, esto se puede utilizar para demostrar la representación simple de fracción continua de e ,

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

La función de error erf ( z ), dada por

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt,}$

También se puede calcular en términos de la función hipergeométrica de Kummer:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2}).}$

Aplicando la fracción continua de Gauss, se puede obtener una expansión útil válida para todo número complejo z : ^[10]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Se puede hacer un argumento similar para derivar expansiones de fracciones continuas para las integrales de Fresnel , para la función de Dawson y para la función gamma incompleta . Una versión más simple del argumento produce dos expansiones de fracciones continuas útiles de la función exponencial . ^[11]

De

${\displaystyle (1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z),}$

${\displaystyle (1-z)^{-b}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{1+{\cfrac {(b-1)z}{2+{\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Se demuestra fácilmente ^[12] que la expansión de la serie de Taylor de arctan  z en un entorno de cero está dada por

${\displaystyle \arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2}).}$

La fracción continua de Gauss se puede aplicar a esta identidad, obteniendo la expansión

${\displaystyle \arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}},}$

que converge a la rama principal de la función tangente inversa en el plano complejo de corte, con el corte extendiéndose a lo largo del eje imaginario desde i hasta el punto en el infinito, y desde − i hasta el punto en el infinito. ^[13]

Esta fracción continua particular converge con bastante rapidez cuando z = 1, dando el valor π/4 con siete decimales en el noveno convergente. La serie correspondiente

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\pm \cdots }$

converge mucho más lentamente, y se necesitan más de un millón de términos para obtener una precisión de siete decimales. ^[14]

Se pueden utilizar variaciones de este argumento para producir expansiones de fracciones continuas para el logaritmo natural , la función arcoseno y la serie binomial generalizada .

• Jones, William B.; Thron, WJ (1980). Fracciones continuas: teoría y aplicaciones . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. págs. 198-214. ISBN. 0-201-13510-8.
• Wall, HS (1973). Teoría analítica de fracciones continuas . Chelsea Publishing Company . Págs. 335–361. ISBN. 0-8284-0207-8.
  (Esta es una reimpresión del volumen publicado originalmente por D. Van Nostrand Company, Inc. , en 1948.)
• Weisstein, Eric W. "La fracción continua de Gauss". MathWorld .