Teorema de Gauss-Bonnet

En geometría diferencial , el teorema de Gauss-Bonnet (o fórmula de Gauss-Bonnet ) es una fórmula fundamental que relaciona la curvatura de una superficie con su topología subyacente .

En la aplicación más simple, el caso de un triángulo en un plano , la suma de sus ángulos es 180 grados. ^{[ 1 ]} El teorema de Gauss-Bonnet extiende esto a formas más complicadas y superficies curvas, conectando las geometrías locales y globales.

El teorema recibe su nombre de Carl Friedrich Gauss , quien desarrolló una versión pero nunca la publicó, y de Pierre Ossian Bonnet , quien publicó un caso especial en 1848.

Supongamos que M es una variedad riemanniana bidimensional compacta con frontera ∂ M . Sea K la curvatura gaussiana de M , y sea k _g la curvatura geodésica de ∂ M . Entonces ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M),\,}$

donde dA es el elemento de área de la superficie y ds es el elemento de línea a lo largo del límite de M. Aquí, χ ( M ) es la característica de Euler de M.

Si el límite ∂ M es suave por partes , entonces interpretamos la integral ∫ _{∂ M} k _g ds como la suma de las integrales correspondientes a lo largo de las porciones suaves del límite, más la suma de los ángulos por los cuales las porciones suaves giran en las esquinas del límite.

Muchas demostraciones estándar utilizan el teorema de las tangentes de giro, que establece aproximadamente que el número de vueltas de una curva de Jordan es exactamente ±1. ^{[ 2 ]}

Supongamos que M es el hemisferio norte recortado de una esfera de radio R. Su característica de Euler es 1. En el lado izquierdo del teorema, tenemos:${\displaystyle K=1/R^{2}}$y${\displaystyle k_{g}=0}$, porque el límite es el ecuador y el ecuador es una geodésica de la esfera. Entonces, dado que M tiene área${\displaystyle {\frac {4\pi R^{2}}{2}}}$, obtenemos que${\displaystyle \int _{M}KdA=2\pi }$.

Por otro lado, supongamos que aplanamos el hemisferio para convertirlo en un disco. Esta transformación es un homeomorfismo , por lo que la característica de Euler sigue siendo 1. Sin embargo, en el lado izquierdo del teorema ahora tenemos${\displaystyle K=0}$y${\displaystyle k_{g}=1/R}$, porque una circunferencia no es una geodésica del plano. Entonces, usando el teorema, podemos concluir que${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}ds=2\pi }$.

Finalmente, tomemos un octante esférico, también homeomorfo a los casos anteriores. Entonces${\displaystyle \int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}}$. Ahora${\displaystyle k_{g}=0}$casi en todas partes a lo largo de la frontera, que es un triángulo geodésico. Pero tenemos tres esquinas en ángulo recto, así que${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}ds={\frac {3\pi }{2}}}$Por lo tanto, todavía tenemos eso.${\displaystyle \int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi }$, como era de esperar, ya que el octante esférico es homeomorfo a los casos anteriores.

El teorema se aplica en particular a superficies compactas sin frontera, en cuyo caso la integral

${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}\,ds}$

puede omitirse. Indica que la curvatura gaussiana total de dicha superficie cerrada es igual a 2π veces la característica de Euler de la superficie. Nótese que para superficies compactas orientables sin frontera, la característica de Euler es igual a 2 − 2g , donde g es el género de la superficie: Cualquier superficie compacta orientable sin frontera es topológicamente equivalente a una esfera con algunas asas, y g cuenta el número de asas.

Si se dobla y deforma la superficie M , su característica de Euler, al ser un invariante topológico, no cambia, mientras que las curvaturas en algunos puntos sí lo hacen. El teorema afirma, de forma algo sorprendente, que la integral total de todas las curvaturas permanece constante, independientemente de cómo se realice la deformación. Por ejemplo, si se tiene una esfera con una hendidura, su curvatura total es 4π ( la característica de Euler de una esfera es 2), sin importar el tamaño ni la profundidad de la hendidura.

Si la superficie compacta tiene un límite, el teorema afirma, de nuevo de forma algo sorprendente, que la curvatura total de la superficie se puede calcular a partir de la curvatura del límite junto con la característica de Euler de la superficie.

La compacidad de la superficie es de vital importancia. Consideremos, por ejemplo, el disco unitario abierto , una superficie de Riemann no compacta sin frontera, con curvatura 0 y característica de Euler 1: la fórmula de Gauss-Bonnet no funciona. Sin embargo, sí funciona para el disco unitario cerrado compacto, que también tiene característica de Euler 1, debido a la integral de frontera añadida con valor 2π .

Como aplicación, un toro tiene característica de Euler 0, por lo que su curvatura total también debe ser cero. Si el toro lleva la métrica riemanniana ordinaria de su incrustación en ^R³ , entonces el interior tiene curvatura gaussiana negativa, el exterior tiene curvatura gaussiana positiva y la curvatura total es efectivamente 0. También es posible construir un toro identificando lados opuestos de un cuadrado, en cuyo caso la métrica riemanniana en el toro es plana y tiene curvatura constante 0, lo que nuevamente resulta en una curvatura total 0. No es posible especificar una métrica riemanniana en el toro con curvatura gaussiana positiva o negativa en todas partes.

A veces la fórmula de Gauss-Bonnet se enuncia como

${\displaystyle \int _{T}K=2\pi -\sum \alpha -\int _{\partial T}\kappa _{g},}$

donde T es un triángulo geodésico . Aquí definimos un "triángulo" en M como una región simplemente conexa cuyo límite está formado por tres geodésicas . Podemos entonces aplicar GB a la superficie T formada por el interior de ese triángulo y el límite por partes del mismo.

La curvatura geodésica de las geodésicas limítrofes es 0, y la característica de Euler de T es 1.

Por lo tanto, la suma de los ángulos de giro del triángulo geodésico es igual a 2π menos la curvatura total dentro del triángulo. Dado que el ángulo de giro en una esquina es igual a π menos el ángulo interior, podemos reformular esto de la siguiente manera: ^{[ 4 ]}

La suma de los ángulos interiores de un triángulo geodésico es igual a π más la curvatura total encerrada por el triángulo:${\displaystyle \sum (\pi -\alpha )=\pi +\int _{T}K.}$

En el caso del plano (donde la curvatura gaussiana es 0 y las geodésicas son líneas rectas), recuperamos la fórmula familiar para la suma de los ángulos en un triángulo ordinario. En la esfera estándar, donde la curvatura es 1 en todas partes, vemos que la suma de los ángulos de los triángulos geodésicos siempre es mayor que π .

Varios resultados anteriores en geometría esférica y geometría hiperbólica, descubiertos durante los siglos precedentes, fueron considerados casos especiales del teorema de Gauss-Bonnet.

Existen varios análogos combinatorios del teorema de Gauss-Bonnet. Enunciamos el siguiente. Sea M una pseudovariedad bidimensional finita . Sea χ ( v ) el número de triángulos que contienen el vértice v . Entonces

${\displaystyle \sum _{v\,\in \,\operatorname {int} M}{\bigl (}6-\chi (v){\bigr )}+\sum _{v\,\in \,\partial M}{\bigl (}3-\chi (v){\bigr )}=6\chi (M),\ }$

donde la primera suma abarca los vértices en el interior de M , la segunda suma abarca los vértices del límite, y χ ( M ) es la característica de Euler de M.

Se pueden obtener fórmulas similares para pseudovariedades bidimensionales cuando reemplazamos triángulos con polígonos de mayor dimensión. Para polígonos de n vértices, debemos reemplazar 3 y 6 en la fórmula anterior con ⁠ n / n − 2 ⁠ y ⁠ 2 n / n − 2 ⁠ , respectivamente. Por ejemplo, para cuadriláteros debemos reemplazar 3 y 6 en la fórmula anterior con 2 y 4, respectivamente. Más específicamente, si M es una variedad digital bidimensional cerrada , el género resulta ser ^{[ 5 ].}

${\displaystyle g=1+{\frac {M_{5}+2M_{6}-M_{3}}{8}},}$

donde M _i indica el número de puntos de la superficie, cada uno de los cuales tiene i puntos adyacentes en la superficie. Esta es la fórmula más simple del teorema de Gauss-Bonnet en el espacio digital tridimensional.

El teorema de Chern (en honor a Shiing-Shen Chern, 1945) es la generalización 2 n- dimensional de GB (véase también el homomorfismo de Chern-Weil ).

El teorema de Riemann-Roch también puede verse como una generalización del teorema de Greenwich a variedades complejas .

Una generalización de gran alcance que incluye todos los teoremas mencionados anteriormente es el teorema del índice de Atiyah-Singer .

Una generalización a variedades de 2 dimensiones que no necesariamente son compactas es la desigualdad de Cohn-Vossen .

En la novela Diáspora de Greg Egan , dos personajes discuten la derivación de este teorema.

El teorema puede utilizarse directamente como un sistema para controlar la escultura, por ejemplo, en la obra de Edmund Harriss que forma parte de la colección del Honors College de la Universidad de Arkansas . ^{[ 6 ]}

• Teorema de Chern-Gauss-Bonnet
• Teorema del índice de Atiyah-Singer

• Teorema de Gauss-Bonnet en Wolfram Mathworld