Mapa de Gauss

En geometría diferencial , la aplicación de Gauss de una superficie es una función que asigna a cada punto de la superficie su dirección normal , un vector unitario ortogonal a la superficie en ese punto. Es decir, dada una superficie X en el espacio euclidiano R³ ^, la aplicación de Gauss es una función N : X → S² (donde S² es la esfera unitaria ) tal que para cada p en X , el valor de la función ^{N (} p ) es un vector unitario ortogonal a X en p . La aplicación de Gauss recibe su nombre de Carl F. Gauss .

El mapa de Gauss se puede definir (globalmente) si y solo si la superficie es orientable , en cuyo caso su grado es la mitad de la característica de Euler . El mapa de Gauss siempre se puede definir localmente (es decir, en una pequeña porción de la superficie). El determinante jacobiano del mapa de Gauss es igual a la curvatura gaussiana , y el diferencial del mapa de Gauss se denomina operador de forma .

Gauss escribió un primer borrador sobre el tema en 1825 y lo publicó en 1827. ^{[ 1 ]}

También hay un mapa de Gauss para un enlace , que calcula el número de enlace .

El mapa de Gauss se puede definir para hipersuperficies en R ⁿ como un mapa de una hipersuperficie a la esfera unitaria S ^{n − 1}  ⊆ R ⁿ . 

Para una k - subvariedad orientada general de R ^n, también se puede definir el mapa de Gauss, y su espacio objetivo es la Grassmanniana orientada .${\displaystyle {\tilde {G}}_{k,n}}$, es decir, el conjunto de todos los k -planos orientados en R ⁿ . En este caso, un punto en la subvariedad se mapea a su subespacio tangente orientado. También se puede mapear a su subespacio normal orientado ; estos son equivalentes como${\displaystyle {\tilde {G}}_{k,n}\cong {\tilde {G}}_{nk,n}}$mediante complemento ortogonal. En el espacio euclidiano tridimensional , esto significa que un plano orientado de orden 2 se caracteriza por una línea orientada de orden 1, equivalentemente un vector normal unitario (como${\displaystyle {\tilde {G}}_{1,n}\cong S^{n-1}}$), por lo tanto, esto es consistente con la definición anterior. ^{[ 2 ]}

Finalmente, la noción de mapa de Gauss puede generalizarse a una subvariedad orientada X de dimensión k en una variedad riemanniana ambiente orientada M de dimensión n . En ese caso, el mapa de Gauss va de X al conjunto de planos tangentes k en el fibrado tangente TM . El espacio objetivo para el mapa de Gauss N es un fibrado de Grassmann construido sobre el fibrado tangente TM . En el caso donde${\displaystyle M=\mathbf {R} ^{n}}$, el fibrado tangente se trivializa (de modo que el fibrado de Grassmann se convierte en una aplicación al grassmanniano), y recuperamos la definición anterior.

El área de la imagen del mapa de Gauss se denomina curvatura total y es equivalente a la integral de superficie de la curvatura gaussiana dentro de las regiones donde el signo de la curvatura no cambia. Esta es la interpretación original dada por Gauss.

${\displaystyle \iint _{R}\pm |N_{u}\times N_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv=\iint _{S}K\ dA}$

El teorema de Gauss-Bonnet relaciona la curvatura total de una superficie con sus propiedades topológicas .

El mapa de Gauss refleja muchas propiedades de la superficie: cuando la superficie tiene curvatura gaussiana cero (es decir, a lo largo de una línea parabólica ), el mapa de Gauss presentará una catástrofe de pliegue . ^{[ 3 ]} Este pliegue puede contener cúspides , las cuales fueron estudiadas en profundidad por Thomas Banchoff , Terence Gaffney y Clint McCrory . Tanto las líneas parabólicas como las cúspides son fenómenos estables y se mantienen incluso con ligeras deformaciones de la superficie. Las cúspides se producen cuando:

1. La superficie tiene un plano bitangente;
2. Una cresta cruza una línea parabólica;
3. En el cierre del conjunto de puntos de inflexión de las curvas asintóticas de la superficie.

Existen dos tipos de cúspide: cúspide elíptica y cúspide hiperbólica .

• Gauss, KF, Disquisiciones generales alrededor de superficies curvas (1827)
• Gauss, KF, Investigaciones generales de superficies curvas , traducción al inglés. Hewlett, Nueva York: Raven Press (1965).
• Banchoff, T., Gaffney T., McCrory C., Cúspides de mapeos de Gauss , (1982) Notas de investigación en matemáticas 55, Pitman, Londres. Versión en línea archivada el 2 de agosto de 2008 en Wayback Machine <--enlace roto; versión en línea de Dan Dreibelbis (consultada el 1 de julio de 2023), archivada el 2 de agosto de 2008 en Wayback Machine
• Koenderink, JJ, Forma sólida , MIT Press (1990)

• Weisstein, Eric W. "Mapa de Gauss" . MundoMatemático .
• Thomas Banchoff; Terence Gaffney; Clint McCrory; Daniel Dreibelbis (1982). Cúspides de mapeos de Gauss . Notas de investigación en matemáticas. Vol.  55. Londres: Pitman Publisher Ltd. ISBN 0-273-08536-0. Consultado el 4 de marzo de 2016 .