desigualdad isoperimétrica gaussiana

En matemáticas, la desigualdad isoperimétrica gaussiana , demostrada por Boris Tsirelson y Vladimir Sudakov , ^{[ 1 ]} y posteriormente de forma independiente por Christer Borell , ^{[ 2 ]} establece que entre todos los conjuntos de medidas gaussianas dadas en el espacio euclidiano n- dimensional , los semiplanos tienen la medida de frontera gaussiana mínima .

Dejar${\displaystyle \scriptstyle A}$ser un subconjunto medible de${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} ^{n}}$dotado de la medida gaussiana estándar${\displaystyle \gamma ^{n}}$con la densidad${\displaystyle {\exp(-\|x\|^{2}/2)}/(2\pi )^{n/2}}$Denotemos por

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\left\{x\in \mathbf {R} ^{n}\,|\,{\text{dist}}(x,A)\leq \varepsilon \right\}}$

la ε -extensión de A. Entonces, la desigualdad isoperimétrica gaussiana establece que

${\displaystyle \liminf _{\varepsilon \to +0}\varepsilon ^{-1}\left\{\gamma ^{n}(A_{\varepsilon })-\gamma ^{n}(A)\right\}\geq \varphi (\Phi ^{-1}(\gamma ^{n}(A))),}$

dónde

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\quad {\rm {y}}\quad \Phi (t)=\int _{-\infty }^{t}\varphi (s)\,ds.}$

Las demostraciones originales de Sudakov, Tsirelson y Borell se basaron en la desigualdad isoperimétrica esférica de Paul Lévy .

Sergey Bobkov demostró la desigualdad de Bobkov , una generalización funcional de la desigualdad isoperimétrica gaussiana, demostrada a partir de una cierta "desigualdad analítica de dos puntos". ^{[ 3 ]} Bakry y Ledoux dieron otra demostración de la desigualdad funcional de Bobkov basada en técnicas de semigrupos que funciona en un entorno mucho más abstracto. ^{[ 4 ]} Posteriormente, Barthe y Maurey dieron otra demostración utilizando el movimiento browniano . ^{[ 5 ]}

La desigualdad isoperimétrica gaussiana también se deduce de la desigualdad de Ehrhard . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

• Concentración de la medida
• Desigualdad de Borrell-TIS