Superficie gaussiana

Se utiliza una superficie gaussiana esférica para encontrar el campo eléctrico o el flujo producido por cualquiera de los siguientes: ^{[ 3 ]}

• un cargo puntual
• una capa esférica de carga distribuida uniformemente
• cualquier otra distribución de carga con simetría esférica

Se elige la superficie gaussiana esférica de modo que sea concéntrica con la distribución de carga.

Como ejemplo, consideremos una capa esférica cargada S de espesor despreciable, con una carga Q distribuida uniformemente y radio R. Podemos usar la ley de Gauss para hallar la magnitud del campo eléctrico resultante E a una distancia r del centro de la capa cargada. Es evidente que, para una superficie gaussiana esférica de radio r < R, la carga encerrada es cero; por lo tanto, el flujo neto es cero y la magnitud del campo eléctrico en la superficie gaussiana también es 0 (al hacer Q _A = 0 en la ley de Gauss, donde Q _A es la carga encerrada por la superficie gaussiana).

Con el mismo ejemplo, utilizando una superficie gaussiana más grande fuera de la capa donde r > R , la ley de Gauss producirá un campo eléctrico distinto de cero. Esto se determina de la siguiente manera.

El flujo que sale de la superficie esférica S es:

${\displaystyle \Phi _{E}=}$${\displaystyle \scriptstyle \partial S}$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _ {c}EdA\cos 0^{\circ }=E\iint _ {S}dA}$

El área de la superficie de la esfera de radio r es $${\displaystyle \iint _ {S}dA=4\pi r^{2}}$$ lo cual implica $${\displaystyle \Phi _ {E}=E4\pi r^{2}}$$

Según la ley de Gauss, el flujo también es $${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}$$ Finalmente, igualando la expresión para Φ _E se obtiene la magnitud del campo E en la posición r : $${\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.}$$

Este resultado, que no es trivial, demuestra que cualquier distribución esférica de carga actúa como una carga puntual cuando se observa desde fuera de la distribución; esto, de hecho, verifica la ley de Coulomb . Y, como ya se mencionó, las cargas externas no se tienen en cuenta.

Se utiliza una superficie gaussiana cilíndrica para encontrar el campo eléctrico o el flujo producido por cualquiera de los siguientes: ^{[ 3 ]}

• una línea infinitamente larga de carga uniforme
• un plano infinito de carga uniforme
• un cilindro infinitamente largo de carga uniforme

A continuación se muestra como ejemplo un "campo cercano a la carga lineal infinita";

Consideremos un punto P situado a una distancia r de una línea de carga infinita con densidad de carga (carga por unidad de longitud) λ. Imaginemos una superficie cerrada en forma de cilindro cuyo eje de rotación es la línea de carga. Si h es la longitud del cilindro, entonces la carga encerrada en el cilindro es $${\displaystyle q=\lambda h,}$$ donde q es la carga encerrada en la superficie gaussiana. Hay tres superficies a , b y c como se muestra en la figura. El área del vector diferencial es d A , en cada superficie a , b y c .

El paso del flujo consta de tres contribuciones:

${\displaystyle \Phi _{E}=}$${\displaystyle \scriptstyle A}$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }$

Para las superficies a y b, E y d A serán perpendiculares . Para la superficie c, E y d A serán paralelos , como se muestra en la figura.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\iint _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\iint _{c}dA\end{aligned}}}$$

El área de la superficie del cilindro es $${\displaystyle \iint _ {c}dA=2\pi rh}$$ lo cual implica $${\displaystyle \Phi _ {E}=E2\pi rh.}$$

Según la ley de Gauss $${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$$ Igualando para Φ _E se obtiene $${\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}$$

Esta superficie se utiliza con mayor frecuencia para determinar el campo eléctrico debido a una lámina infinita de carga con densidad de carga uniforme, o a una placa de carga con un espesor finito. La caja de pastillas tiene forma cilíndrica y puede considerarse compuesta por tres componentes: el disco en un extremo del cilindro con un área de ^πR² , el disco en el otro extremo con igual área y la pared del cilindro. La suma del flujo eléctrico a través de cada componente de la superficie es proporcional a la carga encerrada en la caja de pastillas, según lo dicta la ley de Gauss. Dado que el campo cerca de la lámina puede aproximarse como constante, la caja de pastillas se orienta de manera que las líneas de campo penetren en los discos en los extremos del campo en un ángulo perpendicular y la pared del cilindro sea paralela a las líneas de campo.