La desigualdad de Gautschi

En el análisis real , una rama de las matemáticas , la desigualdad de Gautschi es una desigualdad para cocientes de funciones gamma . Recibe su nombre de Walter Gautschi .

Dejar${\displaystyle x}$Sea un número real positivo y sea${\displaystyle s\in (0,1)}$. Entonces, ^{[ 1 ]}

${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-s}.}$

En 1948, Wendel demostró las desigualdades

${\displaystyle \left({\frac {x}{x+s}}\right)^{1-s}\leq {\frac {\Gamma (x+s)}{x^{s}\Gamma (x)}}\leq 1}$

para${\displaystyle x>0}$y${\displaystyle s\in (0,1)}$. ^{[ 2 ]} Utilizó esto para determinar el comportamiento asintótico de una razón de funciones gamma. El límite superior en esta desigualdad es más fuerte que el dado anteriormente.

En 1959, Gautschi demostró de forma independiente dos desigualdades para cocientes de funciones gamma. Sus cotas inferiores coincidían con las de Wendel. Una de sus cotas superiores era la que se indica en el enunciado anterior, mientras que la otra era a veces más estricta y a veces más estricta que la de Wendel.

Una consecuencia inmediata es la siguiente descripción del comportamiento asintótico de las razones de las funciones gamma:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)x^{1-s}}}=1.}$

Existen varias demostraciones conocidas de la desigualdad de Gautschi. Una demostración sencilla se basa en la estricta convexidad logarítmica de la función gamma de Euler. Por definición, esto significa que para cada${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$con${\displaystyle u\neq v}$y cada${\displaystyle t\in (0,1)}$, tenemos

${\displaystyle \Gamma (tu+(1-t)v)<\Gamma (u)^{t}\Gamma (v)^{1-t}.}$

Aplique esta desigualdad con${\displaystyle u=x}$,${\displaystyle v=x+1}$, y${\displaystyle t=1-s}$. También aplícalo con${\displaystyle u=x+s}$,${\displaystyle v=x+s+1}$, y${\displaystyle t=s}$Las desigualdades resultantes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x+s)&<\Gamma (x)^{1-s}\Gamma (x+1)^{s}=x^{s-1}\Gamma (x+1),\\\Gamma (x+1)&<\Gamma (x+s)^{s}\Gamma (x+s+1)^{1-s}=(x+s)^{1-s}\Gamma (x+s).\end{aligned}}}$

Reordenando la primera de estas expresiones se obtiene la cota inferior, mientras que reordenando la segunda y aplicando la estimación trivial${\displaystyle x+s<x+1}$da el límite superior.

Qi escribió un estudio sobre desigualdades para razones de funciones gamma. ^{[ 3 ]}

La demostración mediante convexidad logarítmica proporciona una cota superior más fuerte.

${\displaystyle {\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+s)^{1-s}.}$

El artículo original de Gautschi demostró un límite superior diferente y más fuerte,

${\displaystyle {\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}\leq \exp((1-s)\psi (x+1)),}$

dónde${\displaystyle \psi }$es la función digamma . Ninguno de estos límites superiores es siempre más fuerte que el otro. ^{[ 4 ]}

Kershaw demostró dos desigualdades más estrictas. Suponiendo nuevamente que${\displaystyle x>0}$y${\displaystyle s\in (0,1)}$, ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x+{\frac {s}{2}}\right)^{1-s}&<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left[x-{\frac {1}{2}}+\left(s+{\frac {1}{4}}\right)^{1/2}\right]^{1-s},\\\exp \left((1-s)\psi (x+s^{1/2})\right)&<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\exp \left((1-s)\psi \left(x+{\frac {1}{2}}(s+1)\right)\right).\end{aligned}}}$

La desigualdad de Gautschi es específica para un cociente de funciones gamma evaluadas en dos números reales con una pequeña diferencia. Sin embargo, existen extensiones a otras situaciones. Si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son números reales positivos , entonces la convexidad de${\displaystyle \psi }$conduce a la desigualdad: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\psi (x)+\psi (y))\leq {\frac {\log \Gamma (y)-\log \Gamma (x)}{yx}}\leq \psi \left({\frac {x+y}{2}}\right).}$

Para${\displaystyle s\in (0,1)}$Esto lleva a las estimaciones

${\displaystyle \exp {\bigl (}(1-s)\psi (x+s){\bigr )}\leq {\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}\leq \exp \left((1-s)\psi \left(x+{\frac {1}{2}}(s+1)\right)\right).}$

Una desigualdad relacionada pero más débil se puede derivar fácilmente del teorema del valor medio y de la monotonicidad de${\displaystyle \psi }$. ^{[ 7 ]}

Una desigualdad más explícita, válida para una clase más amplia de argumentos, se debe a Kečkić y Vasić, quienes demostraron que si${\displaystyle y>x>1}$, entonces: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\frac {y^{y-1}}{x^{x-1}}}e^{xy}<{\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}<{\frac {y^{y-1/2}}{x^{x-1/2}}}e^{xy}.}$

En particular, para${\displaystyle s\in (0,1)}$, tenemos:

${\displaystyle {\frac {(x+1)^{x}}{(x+s)^{x+s-1}}}e^{-(1-s)}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<{\frac {(x+1)^{x+1/2}}{(x+s)^{x+s-1/2}}}e^{-(1-s)}.}$

Guo, Qi y Srivastava demostraron una desigualdad de aspecto similar, válida para todos.${\displaystyle y>x>0}$: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\frac {(x+1)^{x+1}}{(y+1)^{y+1}}}e^{yx}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (y+1)}}<{\frac {(x+1/2)^{x+1/2}}{(y+1/2)^{y+1/2}}}e^{yx}.}$

Para${\displaystyle s\in (0,1)}$, esto conduce a:

${\displaystyle {\frac {(x+1)^{x+1}}{(x+s)^{x+s}}}e^{s-1}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<{\frac {(x+1/2)^{x+1/2}}{(x+s-1/2)^{x+s-1/2}}}e^{s-1}.}$

• Gautschi Walter, (1959), Algunas desigualdades elementales relacionadas con la función gamma y la función gamma incompleta , Journal of Mathematics and Physics, 38, doi:10.1002/sapm195938177.