dominio GCD

En matemáticas , un dominio MCD es un dominio de integridad R con la propiedad de que cualesquiera dos elementos tienen un máximo común divisor (MCD); es decir, existe un ideal principal mínimo que contiene el ideal generado por dos elementos dados. De forma equivalente, cualesquiera dos elementos de R tienen un mínimo común múltiplo (MCM). ^{[ 1 ]}

Un dominio MCD generaliza un dominio de factorización única (UFD) a un entorno no noetheriano en el siguiente sentido: un dominio integral es un UFD si y solo si es un dominio MCD que satisface la condición de cadena ascendente en los ideales principales (y en particular si es noetheriano).

Los dominios GCD aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios de ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ cuerpos ⊃ cuerpos algebraicamente cerrados

Todo elemento irreducible de un dominio MCD es primo . Un dominio MCD es integralmente cerrado , y todo elemento distinto de cero es primal . En otras palabras, todo dominio MCD es un dominio de Schreier .

Para cada par de elementos x , y de un dominio MCD R , se puede elegir un MCD d de x e y y un MCM m de x e y tales que dm = xy , o dicho de otra manera, si x e y son elementos distintos de cero y d es cualquier MCD d de x e y , entonces xy / d es un MCM de x e y , y viceversa. De ello se deduce que las operaciones de MCD y MCM convierten el cociente R /~ en un retículo distributivo , donde "~" denota la relación de equivalencia de ser elementos asociados . La equivalencia entre la existencia de MCD y la existencia de MCM no es un corolario del resultado similar sobre retículos completos , ya que el cociente R /~ no tiene por qué ser un retículo completo para un dominio MCD R.

Si R es un dominio de MCD, entonces el anillo de polinomios R [ X ₁ ,..., X _n ] también es un dominio de MCD. ^{[ 2 ]}

R es un dominio MCD si y solo si las intersecciones finitas de sus ideales principales son principales. En particular,${\displaystyle (a)\cap (b)=(c)}$, dónde${\displaystyle c}$es el MCM de${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$.

Para un polinomio en X sobre un dominio de MCD, se puede definir su contenido como el MCD de todos sus coeficientes. Entonces, el contenido de un producto de polinomios es el producto de sus contenidos, como lo expresa el lema de Gauss , que es válido sobre dominios de MCD.

• Un dominio de factorización única es un dominio MCD. Entre los dominios MCD, los dominios de factorización única son precisamente aquellos que también son dominios atómicos (lo que significa que existe al menos una factorización en elementos irreducibles para cualquier elemento distinto de cero que no sea una unidad).
• Un dominio de Bézout (es decir, un dominio integral donde cada ideal finitamente generado es principal) es un dominio MCD. A diferencia de los dominios de ideales principales (donde cada ideal es principal), un dominio de Bézout no tiene por qué ser un dominio de factorización única; por ejemplo, el anillo de funciones enteras es un dominio de Bézout no atómico, y existen muchos otros ejemplos. Un dominio integral es un dominio MCD de Prüfer si y solo si es un dominio de Bézout. ^{[ 3 ]}
• Si R es un dominio MCD no atómico, entonces R [ X ] es un ejemplo de un dominio MCD que no es ni un dominio de factorización única (ya que no es atómico) ni un dominio de Bézout (ya que X y un elemento no invertible y no nulo a de R generan un ideal que no contiene 1, pero 1 es, sin embargo, un MCD de X y a ); más generalmente, cualquier anillo R [ X ₁ ,..., X _n ] tiene estas propiedades.
• Un anillo monoide conmutativo${\displaystyle R[X;S]}$es un dominio de MCD si y solo si${\displaystyle R}$es un dominio GCD y${\displaystyle S}$es un semigrupo MCD cancelativo sin torsión . Un semigrupo MCD es un semigrupo con la propiedad adicional de que para cualquier${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$en el semigrupo${\displaystyle S}$, existe un${\displaystyle c}$de tal manera que${\displaystyle (a+S)\cap (b+S)=c+S}$. En particular, si${\displaystyle G}$es un grupo abeliano , entonces${\displaystyle R[X;G]}$es un dominio de MCD si y solo si${\displaystyle R}$es un dominio GCD y${\displaystyle G}$es libre de torsión. ^{[ 4 ]}
• El anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-d}}]}$no es un dominio de MCD para todos los enteros libres de cuadrados${\displaystyle d\geq 3}$. ^{[ 5 ]}

Muchas de las propiedades del dominio MCD se extienden a los dominios MCD generalizados, ^{[ 6 ]} donde los ideales principales se generalizan a ideales invertibles y donde la intersección de dos ideales invertibles es invertible, de modo que el grupo de ideales invertibles forma un retículo. En los anillos MCD, los ideales son invertibles si y solo si son principales, lo que significa que las operaciones MCD y MCM también pueden tratarse como operaciones sobre ideales invertibles.

Ejemplos de dominios G-GCD incluyen dominios GCD, anillos de polinomios sobre dominios GCD, dominios de Prüfer y π-dominios (dominios donde cada ideal principal es el producto de ideales primos), lo que generaliza la propiedad GCD de los dominios de Bézout y los dominios de factorización única .