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Articulo de referencia

Tonterías abstractas

En matemáticas , los términos «abstract nonsense» , «general abstract nonsense» , «generalized abstract nonsense» y «general nonsense » son términos no despectivos que los matem...

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En matemáticas , los términos «abstract nonsense» , «general abstract nonsense» , «generalized abstract nonsense» y «general nonsense » son términos no despectivos que los matemáticos utilizan para describir partes teóricas extensas de una demostración que omiten cuando se espera que los lectores estén familiarizados con ellas. [ 1 ] Estos términos se utilizan principalmente para métodos abstractos relacionados con la teoría de categorías y el álgebra homológica . De manera más general, «abstract nonsense» puede referirse a una demostración que se basa en métodos de la teoría de categorías, o incluso al estudio de la teoría de categorías en sí misma.

Fondo

En términos generales, la teoría de categorías es el estudio de la forma general, es decir, las categorías de las teorías matemáticas, sin tener en cuenta su contenido. Como resultado, las demostraciones matemáticas que se basan en ideas de la teoría de categorías a menudo parecen fuera de contexto, algo parecido a un non sequitur . Los autores a veces denominan a estas demostraciones "tonterías abstractas" como una forma desenfadada de alertar a los lectores sobre su naturaleza abstracta. Calificar un argumento como "tonterías abstractas" generalmente no pretende ser despectivo, [ 2 ] [ 1 ] sino que se usa en tono de broma, [ 3 ] de manera autocrítica , [ 4 ] afectuosamente, [ 5 ] o incluso como un cumplido a la generalidad del argumento. Alexander Grothendieck criticó esta noción y afirmó que:

La introducción del cifrado 0 o del concepto de grupo también fue una tontería general, y las matemáticas estuvieron más o menos estancadas durante miles de años porque no había nadie que tomara medidas tan infantiles... [ 6 ]

Ciertas ideas y construcciones en matemáticas comparten una uniformidad en muchos dominios, unificadas por la teoría de categorías. Los métodos típicos incluyen el uso de espacios clasificadores y propiedades universales , el uso del lema de Yoneda , transformaciones naturales entre functores y la búsqueda de diagramas . [ 7 ]

Cuando se da por sentado que el público está familiarizado con la forma general de tales argumentos, los matemáticos utilizan la expresión «Tal y cual es cierto por abstracción» en lugar de proporcionar una explicación detallada de los aspectos particulares. [ 1 ] Por ejemplo, se podría decir que «Por abstracción, los productos son únicos salvo isomorfismo cuando existen», en lugar de argumentar cómo se pueden derivar estos isomorfismos de la propiedad universal que define el producto. Esto permite omitir detalles de la demostración que pueden considerarse triviales o que no aportan mucha información, centrándose en cambio en las partes realmente innovadoras de una demostración más amplia.

Historia

El término es anterior a la fundación de la teoría de categorías como disciplina. Refiriéndose a un artículo conjunto con Samuel Eilenberg que introdujo la noción de " categoría " en 1942, Saunders Mac Lane escribió que la disciplina se denominaba entonces "disparates abstractos generales". [ 3 ] El término se utiliza a menudo para describir la aplicación de la teoría de categorías y sus técnicas a dominios menos abstractos. [ 8 ] [ 9 ]

Se cree que el término fue acuñado por el matemático Norman Steenrod , [ 10 ] [ 4 ] [ 5 ] él mismo uno de los desarrolladores del punto de vista categórico.

Notas y referencias

  1. 1 2 3 Macura, Wiktor K. "Abstract Nonsense" . MathWorld .
  2. ↑ Michael Monastyrsky, Algunas tendencias en las matemáticas modernas y la Medalla Fields. Can. Math. Soc. Notes, marzo y abril de 2001, volumen 33, números 2 y 3. Versión en línea disponible en http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf .
    " En álgebra, el término "absurdo abstracto" tiene un significado definido sin ninguna connotación peyorativa. "
  3. 1 2 Saunders Mac Lane. " El PNAS en aquel entonces ". Proc. Natl. Acad. Sci. USA Vol. 94, pp. 5983–5985, junio de 1997.
    " El primero de estos artículos es un caso más llamativo; introdujo la idea abstracta de una "categoría", ¡un tema que entonces se denominaba "tonterías abstractas generales"! "
  4. 1 2 Joseph Rotman, " Una introducción al álgebra homológica , por Charles A. Weibel" (reseña de libro), Bull. Am. Math. Soc., 33:4 (octubre de 1996) 473–476.
    " La expresión autocrítica ' tonterías abstractas generales ' (atribuida a Steenrod) fue promulgada por Eilenberg y Mac Lane, dos de los principales innovadores del álgebra homológica, para resaltar este aspecto de la materia. "
  5. 1 2 Serge Lang , "Álgebra" , Segunda edición, Addison Wesley, 1984, pág. 175
  6. ↑ «Correspondencia Alexander Grothendieck - Ronald Brown» (PDF) . Sociedad Matemática de Francia.
  7. ↑ Marquis, Jean-Pierre (2019), "Category Theory" , en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy ( edición de otoño de 2019), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 27 de octubre de 2019. 
  8. ↑ Una aplicación del sinsentido abstracto al área de superficie , Harriet Lord
  9. ↑ Disparates abstractos para programadores funcionales Archivado el 6 de febrero de 2015 en Wayback Machine , Edsko de Vries
  10. ↑ Colin McLarty, Los usos y abusos de la historia de la teoría de Topos , Br. J. Philos. Sci., 41 (1990) pág. 355.
    " Steenrod, en tono de broma, calificó la teoría de categorías como 'tonterías abstractas' y la convirtió en un elemento central de su axiomática para la homología. "
  • Uso en la exposición matemática según los apuntes de clase de Noam Elkies