Marco general

En lógica , los marcos generales (o simplemente marcos ) son marcos de Kripke con una estructura adicional, que se utilizan para modelar lógicas modales e intermedias . La semántica de marcos generales combina las principales virtudes de la semántica de Kripke y la semántica algebraica : comparte la claridad geométrica de la primera y la robustez de la segunda.

Un marco general modal es una tripleta${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle }$, dónde${\displaystyle \langle F,R\rangle }$es un marco Kripke (es decir,${\displaystyle R}$es una relación binaria en el conjunto${\displaystyle F}$), y${\displaystyle V}$es un conjunto de subconjuntos de${\displaystyle F}$que se encuentra cerrado bajo las siguientes condiciones:

• las operaciones booleanas de intersección (binaria) , unión y complemento ,
• la operación${\displaystyle \Box }$, definido por${\displaystyle \Box A=\{x\in F\mid \forall y\in F\,(x\,R\,y\to y\in A)\}}$.

Son, por lo tanto, un caso especial de campos de conjuntos con estructura adicional . El propósito de${\displaystyle V}$es restringir las valoraciones permitidas en el marco: un modelo${\displaystyle \langle F,R,\Vdash \rangle }$basado en el marco Kripke${\displaystyle \langle F,R\rangle }$es admisible en el marco general${\displaystyle \mathbf {F} }$, si

${\displaystyle \{x\in F\mid x\Vdash p\}\in V}$para cada variable proposicional${\displaystyle p}$.

Las condiciones de cierre en${\displaystyle V}$entonces asegúrese de que${\displaystyle \{x\in F\mid x\Vdash A\}}$pertenece a${\displaystyle V}$para cada fórmula${\displaystyle A}$(no solo una variable).

Una fórmula${\displaystyle A}$es válido en${\displaystyle \mathbf {F} }$, si${\displaystyle x\Vdash A}$para todas las valoraciones admisibles${\displaystyle \Vdash }$y todos los puntos${\displaystyle x\in F}$Una lógica modal normal${\displaystyle L}$es válido en el marco${\displaystyle \mathbf {F} }$, si todos los axiomas (o equivalentemente, todos los teoremas ) de${\displaystyle L}$son válidos en${\displaystyle \mathbf {F} }$En este caso llamamos${\displaystyle \mathbf {F} }$un${\displaystyle L}$- marco .

Un marco Kripke${\displaystyle \langle F,R\rangle }$puede identificarse con un marco general en el que todas las valoraciones son admisibles: es decir,${\displaystyle \langle F,R,{\mathcal {P}}(F)\rangle }$, dónde${\displaystyle {\mathcal {P}}(F)}$denota el conjunto potencia de${\displaystyle F}$.

En términos generales, los marcos generales no son más que un nombre elegante para los modelos de Kripke ; en particular, se pierde la correspondencia entre los axiomas modales y las propiedades de la relación de accesibilidad . Esto se puede remediar imponiendo condiciones adicionales al conjunto de valoraciones admisibles.

Un marco${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle }$se llama

• diferenciado , si${\displaystyle \forall A\in V\,(x\in A\Leftrightarrow y\in A)}$implica${\displaystyle x=y}$,
• apretado , si${\displaystyle \forall A\in V\,(x\in \Box A\Rightarrow y\in A)}$implica${\displaystyle x\,R\,y}$,
• compacto , si cada subconjunto de${\displaystyle V}$con la propiedad de intersección finita tiene una intersección no vacía,
• atómico , si${\displaystyle V}$contiene todos los singletons,
• refinado , si es diferenciado y ajustado,
• descriptivo , si es refinado y conciso.

Los marcos de Kripke son refinados y atómicos. Sin embargo, los marcos de Kripke infinitos nunca son compactos. Todo marco diferenciado o atómico finito es un marco de Kripke.

Los marcos descriptivos constituyen la clase más importante de marcos debido a la teoría de la dualidad (véase más adelante). Los marcos refinados son útiles como una generalización común de los marcos descriptivos y de Kripke.

Todos los modelos Kripke${\displaystyle \langle F,R,{\Vdash }\rangle }$induce el marco general${\displaystyle \langle F,R,V\rangle }$, dónde${\displaystyle V}$se define como

${\displaystyle V={\big \{}\{x\in F\mid x\Vdash A\}\mid A{\hbox{ es una fórmula}}{\big \}}.}$

Las operaciones fundamentales de preservación de la verdad de los submarcos generados, las imágenes p-mórficas y las uniones disjuntas de marcos de Kripke tienen análogos en marcos generales. Un marco${\displaystyle \mathbf {G} =\langle G,S,W\rangle }$es un subfotograma generado de un fotograma${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle }$, si el marco de Kripke${\displaystyle \langle G,S\rangle }$es un subfotograma generado del fotograma de Kripke${\displaystyle \langle F,R\rangle }$(es decir,${\displaystyle G}$es un subconjunto de${\displaystyle F}$cerrado hacia arriba debajo${\displaystyle R}$, y${\displaystyle S=R\cap G\times G}$), y

${\displaystyle W=\{A\cap G\mid A\in V\}.}$

Un p-morfismo (o morfismo acotado )${\displaystyle f\colon \mathbf {F} \to \mathbf {G} }$es una función de${\displaystyle F}$a${\displaystyle G}$que es un p-morfismo de los marcos de Kripke${\displaystyle \langle F,R\rangle }$y${\displaystyle \langle G,S\rangle }$y satisface la restricción adicional

${\displaystyle f^{-1}[A]\in V}$por cada${\displaystyle A\in W}$.

La unión disjunta de un conjunto indexado de marcos${\displaystyle \mathbf {F} _ {i}=\langle F_ {i},R_ {i},V_ {i}\rangle}$,${\displaystyle i\in I}$, es el marco${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle }$, dónde${\displaystyle F}$es la unión disjunta de${\displaystyle \{F_{i}\mid i\in I\}}$,${\displaystyle R}$es la unión de${\displaystyle \{R_{i}\mid i\in I\}}$, y

${\displaystyle V=\{A\subseteq F\mid \forall i\in I\,(A\cap F_{i}\in V_{i})\}.}$

El refinamiento de un marco${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle }$es un marco refinado${\displaystyle \mathbf {G} =\langle G,S,W\rangle }$definido de la siguiente manera. Consideramos la relación de equivalencia.

${\displaystyle x\sim y\iff \forall A\in V\,(x\in A\Leftrightarrow y\in A),}$

y dejar${\displaystyle G=F/{\sim }}$sea ​​el conjunto de clases de equivalencia de${\displaystyle \sim }$. Luego pusimos

${\displaystyle \langle x/{\sim },y/{\sim }\rangle \in S\iff \forall A\in V\,(x\in \Box A\Rightarrow y\in A),}$

${\displaystyle A/{\sim }\in W\iff A\in V.}$

A diferencia de los marcos de Kripke, toda lógica modal normal${\displaystyle L}$es completa con respecto a una clase de marcos generales. Esto es consecuencia del hecho de que${\displaystyle L}$está completo con respecto a una clase de modelos de Kripke.${\displaystyle \langle F,R,{\Vdash }\rangle }$: como${\displaystyle L}$está cerrado bajo sustitución, el marco general inducido por${\displaystyle \langle F,R,{\Vdash }\rangle }$es un${\displaystyle L}$-marco. Además, toda lógica${\displaystyle L}$es completo con respecto a un único marco descriptivo . De hecho,${\displaystyle L}$es completo con respecto a su modelo canónico y el marco general inducido por el modelo canónico (llamado marco canónico de${\displaystyle L}$) es descriptivo.

Los marcos generales guardan una estrecha relación con las álgebras modales .${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle }$ser un marco general. El conjunto${\displaystyle V}$es cerrado bajo operaciones booleanas, por lo tanto es una subálgebra del álgebra booleana de conjuntos potencia${\displaystyle \langle {\mathcal {P}}(F),\cap ,\cup ,-\rangle }$. También lleva una operación unaria adicional ,${\displaystyle \Box }$La estructura combinada${\displaystyle \langle V,\cap ,\cup ,-,\Box \rangle }$es un álgebra modal, que se denomina álgebra dual de${\displaystyle \mathbf {F} }$y denotado por${\displaystyle \mathbf {F} ^{+}}$.

En sentido contrario, es posible construir el marco doble.${\displaystyle \mathbf {A} _{+}=\langle F,R,V\rangle }$a cualquier álgebra modal${\displaystyle \mathbf {A} =\langle A,\wedge ,\vee ,-,\Box \rangle }$El álgebra booleana${\displaystyle \langle A,\wedge ,\vee ,-\rangle }$tiene un espacio de piedra , cuyo conjunto subyacente${\displaystyle F}$es el conjunto de todos los ultrafiltros de${\displaystyle \mathbf {A} }$. El conjunto${\displaystyle V}$de valoraciones admisibles en${\displaystyle \mathbf {A} _{+}}$consta de los subconjuntos clopen de${\displaystyle F}$y la relación de accesibilidad${\displaystyle R}$se define por

${\displaystyle x\,R\,y\iff \forall a\in A\,(\Box a\in x\Rightarrow a\in y)}$

para todos los ultrafiltros${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$.

Un marco y su dual validan las mismas fórmulas; por lo tanto, la semántica general del marco y la semántica algebraica son, en cierto sentido, equivalentes. El doble dual${\displaystyle (\mathbf {A} _{+})^{+}}$de cualquier álgebra modal es isomorfa a${\displaystyle \mathbf {A} }$en sí mismo. Esto no es cierto en general para los duales dobles de marcos, ya que el dual de cada álgebra es descriptivo. De hecho, un marco${\displaystyle \mathbf {F} }$es descriptivo si y solo si es isomorfo a su doble dual.${\displaystyle (\mathbf {F} ^{+})_{+}}$.

También es posible definir duales de p-morfismos por un lado, y homomorfismos de álgebra modal por otro. De esta manera, los operadores${\displaystyle (\cdot )^{+}}$y${\displaystyle (\cdot )_{+}}$Se forman un par de funtores contravariantes entre la categoría de marcos generales y la categoría de álgebras modales. Estos funtores proporcionan una dualidad (denominada dualidad de Jónsson-Tarski en honor a Bjarni Jónsson y Alfred Tarski ) entre las categorías de marcos descriptivos y álgebras modales. Este es un caso particular de una dualidad más general entre álgebras complejas y cuerpos de conjuntos en estructuras relacionales .

La semántica de marcos para lógicas intuicionistas e intermedias puede desarrollarse en paralelo a la semántica para lógicas modales. Un marco general intuicionista es una tripleta${\displaystyle \langle F,\leq ,V\rangle }$, dónde${\displaystyle \leq }$es una orden parcial en${\displaystyle F}$, y${\displaystyle V}$es un conjunto de subconjuntos superiores ( conos ) de${\displaystyle F}$que contiene el conjunto vacío y es cerrado bajo

• intersección y unión,
• la operación${\displaystyle A\to B=\Box (-A\cup B)}$.

La validez y otros conceptos se introducen de forma similar a los marcos modales, con algunos cambios necesarios para adaptarse a las propiedades de cierre más débiles del conjunto de valoraciones admisibles. En particular, un marco intuicionista${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,\leq ,V\rangle }$se llama

• apretado , si${\displaystyle \forall A\in V\,(x\in A\Leftrightarrow y\in A)}$implica${\displaystyle x\leq y}$,
• compacto , si cada subconjunto de${\displaystyle V\cup \{F-A\mid A\in V\}}$con la propiedad de intersección finita tiene una intersección no vacía.

Los marcos intuicionistas estrictos se diferencian automáticamente y, por lo tanto, se refinan.

El dual de un marco intuicionista${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,\leq ,V\rangle }$es el álgebra de Heyting${\displaystyle \mathbf {F} ^{+}=\langle V,\cap ,\cup ,\to ,\emptyset \rangle }$El dual de un álgebra de Heyting${\displaystyle \mathbf {A} =\langle A,\wedge ,\vee ,\to ,0\rangle }$es el marco intuicionista${\displaystyle \mathbf {A} _{+}=\langle F,\leq ,V\rangle }$, dónde${\displaystyle F}$es el conjunto de todos los filtros primos de${\displaystyle \mathbf {A} }$, el pedido${\displaystyle \leq }$es la inclusión y${\displaystyle V}$consta de todos los subconjuntos de${\displaystyle F}$de la forma

${\displaystyle \{x\in F\mid a\in x\},}$

dónde${\displaystyle a\in A}$. Como en el caso modal,${\displaystyle (\cdot )^{+}}$y${\displaystyle (\cdot )_{+}}$son un par de functores contravariantes, que hacen que la categoría de álgebras de Heyting sea dualmente equivalente a la categoría de marcos intuicionistas descriptivos.

Es posible construir marcos generales intuicionistas a partir de marcos modales transitivos reflexivos y viceversa, véase el complemento modal .

• Semántica de vecindario

• Alexander Chagrov y Michael Zakharyaschev, Lógica modal , vol. 35 de Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.
• Patrick Blackburn, Maarten de Rijke y Yde Venema, Lógica modal , vol. 53 de Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press, 2001.