Filtro de Wiener generalizado

El filtro de Wiener, tal como lo propuso originalmente Norbert Wiener, es un filtro de procesamiento de señales que utiliza el conocimiento de las propiedades estadísticas tanto de la señal como del ruido para reconstruir una estimación óptima de la señal a partir de un flujo de datos unidimensionales ordenados en el tiempo y con ruido. El filtro de Wiener generalizado extiende esta misma idea más allá del dominio del procesamiento de señales unidimensionales ordenadas en el tiempo, siendo el procesamiento de imágenes bidimensionales su aplicación más común. ^{[ 1 ]}

Consideremos un vector de datos.${\displaystyle d}$que es la suma de vectores de señal y ruido independientes${\displaystyle d=s+n}$con media cero y covarianzas${\displaystyle \langle ss^{T}\rangle =S}$y${\displaystyle \langle nn^{T}\rangle =N}$El filtro de Wiener generalizado es el operador lineal .${\displaystyle G}$que minimiza el residuo esperado entre la señal estimada y la señal verdadera,${\displaystyle e=\langle (Gd-s)^{T}(Gd-s)\rangle }$. El${\displaystyle G}$que minimiza esto es${\displaystyle G=S(S+N)^{-1}}$, lo que da como resultado el estimador de Wiener${\displaystyle {\hat {s}}=S(S+N)^{-1}d}$. En el caso de una señal y ruido con distribución gaussiana , este estimador es también el estimador de máxima probabilidad a posteriori .

El filtro de Wiener generalizado se aproxima a 1 para las partes de los datos dominadas por la señal, y a S/N para las partes dominadas por el ruido.

Una variante frecuente expresa el filtro en términos de covarianzas inversas. Esto es matemáticamente equivalente, pero evita una pérdida excesiva de precisión numérica en presencia de modos de alta varianza. En esta formulación, el filtro de Wiener generalizado se convierte en:${\displaystyle G=(S^{-1}+N^{-1})^{-1}N^{-1}}$utilizando la identidad${\displaystyle A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}}$.

El fondo cósmico de microondas (CMB) es un campo aleatorio homogéneo e isotrópico , y su covarianza es, por lo tanto, diagonal en una base de armónicos esféricos . Cualquier observación del CMB será ruidosa, y el ruido suele tener propiedades estadísticas diferentes a las del CMB. Por ejemplo, podría no estar correlacionado en el espacio de píxeles. El filtro de Wiener generalizado aprovecha esta diferencia de comportamiento para aislar la mayor cantidad posible de señal del ruido.

La estimación de la señal filtrada por Wiener (en este caso, la radiación cósmica de fondo).${\displaystyle {\hat {s}}=S(S+N)^{-1}d}$requiere la inversión de la matriz, que suele ser enorme${\displaystyle S+N}$Si S y N fueran diagonales en la misma base, esto sería trivial, pero a menudo, como en este caso, no es así. En estos casos, la solución debe hallarse resolviendo la ecuación equivalente.${\displaystyle (S+N)S^{-1}{\hat {s}}=d}$Por ejemplo, mediante la iteración de gradientes conjugados . En este caso, todas las multiplicaciones se pueden realizar en la base adecuada para cada matriz, evitando la necesidad de almacenar o invertir más que su diagonal. El resultado se puede apreciar en la figura.

• Filtro de salchicha
• Norbert Wiener
• deconvolución de Wiener
• Estimación máxima a posteriori