Modelo aditivo generalizado para la ubicación, la escala y la forma.

El modelo aditivo generalizado para localización, escala y forma ( GAMLSS ) es un modelo de regresión distribucional en el que se asume una distribución estadística paramétrica para la variable de respuesta (objetivo), pero los parámetros de esta distribución pueden variar según las variables explicativas. Por lo tanto, la forma de esta distribución para la variable objetivo puede cambiar con las variables explicativas.

GAMLSS es un modelo de entrada-salida, es decir${\displaystyle X\rightarrow Y}$ pero difiere del modelo clásico en que la entrada X afecta la distribución de la variable objetivo en su conjunto, no solo la media, es decir${\displaystyle X\rightarrow D(Y|X)}$.

GAMLSS permite una regresión flexible mediante el uso de técnicas de suavizado o aprendizaje automático para modelar los parámetros de la variable objetivo (respuesta). GAMLSS asume que la variable de respuesta puede seguir cualquier distribución paramétrica teórica, que puede ser de cola pesada o ligera, y asimétrica positiva o negativa. Además, todos los parámetros de la distribución, que suelen ser la ubicación (p. ej., la media), la escala (p. ej., la varianza) y la forma ( asimetría y curtosis ), pueden modelarse como lineales, no lineales o mediante funciones de modelado algorítmico de las variables explicativas. La suposición de distribución para las variables objetivo puede verificarse mediante gráficos de diagnóstico como el gráfico Q-Q o el gráfico de gusano. GAMLSS es un modelo de aprendizaje automático supervisado, ya que el valor objetivo (la salida) siempre está presente.

El modelo aditivo generalizado para ubicación, escala y forma (GAMLSS) es un modelo estadístico introducido por Rigby y Stasinopoulos (2005) ^{[ 1 ]} para superar algunas de las limitaciones asociadas con los populares modelos lineales generalizados (GLM) de Nelder y Wedderburn (1972) ^{[ 2 ]} y los modelos aditivos generalizados (GAM) de Hastie y Tibshirani. ^{[ 3 ]} La mayoría de las limitaciones surgen de la elección limitada de distribuciones para la respuesta. Tanto GLM como GAM asumieron que la respuesta proviene de la familia exponencial una familia lo suficientemente rica como para permitir respuestas continuas y discretas (y muy buena para modelar la media de la distribución como una función de las variables explicativas) pero no lo suficientemente flexible como para modelar otras características de la distribución, es decir, las colas.

En GAMLSS, la suposición de distribución de la familia exponencial para la variable de respuesta , (${\displaystyle y}$), (esencial en GLM y GAM ), se relaja y se reemplaza por una familia de distribución general, que incluye distribuciones continuas y discretas altamente asimétricas y/o curtóticas .

La parte sistemática del modelo se amplía para permitir modelar no solo la media (o ubicación ) sino posiblemente otros parámetros de la distribución de la respuesta como funciones lineales y/o no lineales, paramétricas y/o aditivas no paramétricas de variables explicativas y/o efectos aleatorios .

GAMLSS, para respuestas continuas, es especialmente adecuado para modelar variables leptocúrticas o platicúrticas y/o asimétricas positivas o negativas, modelando así las colas de la distribución. Para datos de variables de respuesta de tipo conteo, maneja la sobredispersión y la inflación de ceros mediante el uso de distribuciones sobredispersas y con inflación de ceros apropiadas. La heterogeneidad también se maneja modelando los parámetros de escala o forma usando variables explicativas. GAMLSS también permite distribuciones mixtas , es decir, distribuciones que tienen partes discretas y continuas, es decir, la beta con inflación de ceros es una de ellas. Tenga en cuenta que mientras que la distribución beta permite valores en ${\displaystyle (0,1)}$La beta inflada permite valores en${\displaystyle [0,1]}$.

Hay varios paquetes escritos en R relacionados con los modelos GAMLSS, ^{[ 4 ]} y tutoriales para usar e interpretar GAMLSS. ^{[ 5 ]}

Un modelo GAMLSS asume observaciones independientes.${\displaystyle y_{i}}$para${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$ con función de probabilidad (densidad)${\displaystyle D(y_{i}|{\boldsymbol {\theta }}_{i})}$condicionado a${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{i}}$. El parámetro ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{i}}$a menudo es un vector de cuatro parámetros de distribución,${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{i}=(\mu _{i},\sigma _{i},\nu _{i},\tau _{i})}$cada una de las cuales puede ser una función de las variables explicativas, por ejemplo,${\displaystyle \sigma =g(x)}$Los dos primeros parámetros de distribución${\displaystyle \mu _{i}}$y${\displaystyle \sigma _{i}}$Los parámetros se caracterizan generalmente como parámetros de localización y escala , mientras que los parámetros restantes, si los hay, se caracterizan como parámetros de forma, por ejemplo, parámetros de asimetría y curtosis . El modelo puede aplicarse de forma más general a los parámetros de cualquier distribución de población. La formulación más general de un modelo GAMLSS es

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}({\boldsymbol {\theta }}_{1})&={\boldsymbol {\eta }}_{1}=ML({\textbf {x}}_{j1})\\g_{2}({\boldsymbol {\theta }}_{2})&={\boldsymbol {\eta }}_{2}=ML({\textbf {x}}_{j2})\\\ldots &=\ldots =\ldots \\g_{4}({\boldsymbol {\theta }}_{k})&={\boldsymbol {\eta }}_{k}=ML({\textbf {x}}_{j4})\end{aligned}}}$

dónde ${\displaystyle ML()}$es cualquier modelo de aprendizaje automático (matemático o algorítmico) y ${\displaystyle k}$es el número de parámetros en la distribución para la respuesta. La formulación original de GAMLSS en el artículo RSS de 2005 tenía solo cuatro parámetros y se escribió como:

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}({\boldsymbol {\mu }})={\boldsymbol {\eta }}_{1}={\textbf {X}}_{1}{\boldsymbol {\beta }}_{1}+\sum _{j=1}^{J_{1}}{h}_{j1}({\bf {{x}_{j1})}}\\g_{2}({\boldsymbol {\sigma }})={\boldsymbol {\eta }}_{2}={\textbf {X}}_{2}{\boldsymbol {\beta }}_{2}+\sum _{j=1}^{J_{2}}{h}_{j2}({\bf {{x}_{j2})}}\\g_{3}({\boldsymbol {\nu }}={\boldsymbol {\eta }}_{3}={\textbf {X}}_{3}{\boldsymbol {\beta }}_{3}+\sum _{j=1}^{J_{3}}{h}_{j3}({\bf {{x}_{j3})}}\\g_{4}({\boldsymbol {\tau }})={\boldsymbol {\eta }}_{4}={\textbf {X}}_{4}{\boldsymbol {\beta }}_{4}+\sum _{j=1}^{J_{4}}{h}_{j4}({\bf {{x}_{j4})}}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\nu }}}$,${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ y${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}_{k}}$son vectores de longitud${\displaystyle n}$,${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{k}^{T}=(\beta _{1k},\beta _{2k},\ldots ,\beta _{J'_{k}k})}$es un vector de parámetros de longitud${\displaystyle J'_{k}}$,${\displaystyle {\bf {~{X}_{k}}}}$es una matriz de diseño fija conocida de orden${\displaystyle n\times J'_{k}}$y${\displaystyle h_{jk}}$es una función suave no paramétrica de la variable explicativa${\displaystyle {\bf {{x}_{jk}}}}$, para${\displaystyle j=1,2,\ldots ,J_{k}}$y${\displaystyle k=1,2,3,4}$. ${\displaystyle g_{k}}$para${\displaystyle k=1,2,3,4}$son funciones de enlace para asegurar que los parámetros estén dentro del rango de valores correcto.

Para la estimación de percentiles, el Grupo de Estudio de Referencia de Crecimiento Multicéntrico de la OMS ha recomendado GAMLSS y las distribuciones exponenciales de potencia de Box-Cox (BCPE) ^{[ 6 ]} para la construcción de los Estándares de Crecimiento Infantil de la OMS. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Estudios recientes han utilizado GAMLSS para predecir la probabilidad de que las toxinas cianobacterianas superen los umbrales críticos de salud en lagos, ^{[ 9 ]} así como en aplicaciones relacionadas con la teledetección , ^{[ 10 ]} el modelado biogeoquímico ^{[ 11 ]} y la medicina. ^{[ 12 ]}

La forma de la distribución asumida para la variable de respuesta y es muy general. Por ejemplo, una implementación de GAMLSS en R ^{[ 13 ]} dispone de alrededor de 100 distribuciones diferentes. Dichas implementaciones también permiten el uso de distribuciones truncadas y variables de respuesta censuradas (o de intervalo). ^{[ 13 ]}

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• Sitio web oficial de GAMLSS: gamlss.org
• Universo GAMLSS
• LIBRO 1 DE GAMLLS; Regresión flexible y suavizado
• GAMLSS LIBRO 2; Distribuciones para modelar la ubicación, la escala y la forma
• GAMLSS LIBRO 3; Modelos aditivos generalizados para ubicación, escala y forma