Grupo diedral generalizado

En matemáticas , los grupos diedrales generalizados son una familia de grupos con estructuras algebraicas similares a las de los grupos diedrales . Incluyen los grupos diedrales finitos, el grupo diedral infinito y el grupo ortogonal O (2). Los grupos diedrales desempeñan un papel importante en la teoría de grupos , la geometría y la química .

Para cualquier grupo abeliano H , el grupo diedral generalizado de H , escrito Dih( H ), es el producto semidirecto de H y Z2 _, donde Z2 _actúa sobre H invirtiendo elementos. Es decir,${\displaystyle \mathrm {Dih} (H)=H\rtimes _ {\phi}Z_{2}}$donde φ(0) es la identidad y φ(1) la inversión. ^{[ 1 ]}

Así obtenemos:

( h ₁ , 0) * ( h ₂ , t ₂ ) = ( h ₁ + h ₂ , t ₂ )

( h ₁ , 1) * ( h ₂ , t ₂ ) = ( h ₁ − h ₂ , 1 + t ₂ )

para todos los h ₁ , h ₂ en H y t ₂ en Z ₂ .

(Escribiendo Z ₂ de forma multiplicativa, tenemos ( h ₁ , t ₁ ) * ( h ₂ , t ₂ ) = ( h ₁ + t ₁ h ₂ , t ₁ t ₂ ) .)

Nótese que ( h , 0) * (0,1) = ( h ,1), es decir, primero la inversión y luego la operación en H . También (0, 1) * ( h , t ) = ( − h , 1 + t ); de hecho, (0,1) invierte h y cambia t entre "normal" (0) e "invertido" (1) (esta operación combinada es su propia inversa).

El subgrupo de Dih( H ) de elementos ( h , 0) es un subgrupo normal de índice 2, isomorfo a H , mientras que los elementos ( h , 1) son todos sus propios inversos.

Las clases de conjugación son:

• los conjuntos {( h ,0 ), ( − h ,0 )}
• los conjuntos {( h + k + k , 1) | k en H }

Así, para cada subgrupo M de H , el conjunto correspondiente de elementos ( m , 0) es también un subgrupo normal. Tenemos:

Dih( H ) / M = Dih ( H / M )

• Dih _n = Dih( Z _n ) (los grupos diédricos )
  • Para n par, existen dos conjuntos {( h + k + k , 1) | k en H }, y cada uno genera un subgrupo normal de tipo Dih _{n / 2} . Como subgrupos del grupo de isometría del conjunto de vértices de un n -gono regular, son diferentes: las reflexiones en un subgrupo tienen todas dos puntos fijos, mientras que ninguna en el otro subgrupo los tiene (las rotaciones de ambos son iguales). Sin embargo, son isomorfos como grupos abstractos.
  • Para n impar solo existe un conjunto {( h + k + k , 1) | k en H }
• Dih _∞ = Dih( Z ) (el grupo diedral infinito ); hay dos conjuntos {( h + k + k , 1) | k en H }, y cada uno genera un subgrupo normal de tipo Dih _∞ . Como subgrupos del grupo de isometría de Z son diferentes: las reflexiones en un subgrupo tienen todas un punto fijo, los espejos están en los enteros, mientras que en el otro subgrupo ninguno lo tiene, los espejos están entre (las traslaciones de ambos son las mismas: por números pares). Sin embargo, son isomorfos como grupos abstractos.
• Dih(S ¹ ), o grupo ortogonal O(2, R ), o O(2): el grupo de isometrías de un círculo , o equivalentemente, el grupo de isometrías en 2D que mantienen el origen fijo. Las rotaciones forman el grupo del círculo S ¹ , o equivalentemente SO(2, R ), también escrito SO(2), y R / Z  ; también es el grupo multiplicativo de los números complejos de valor absoluto 1. En este último caso, una de las reflexiones (que genera las demás) es la conjugación compleja . No hay subgrupos normales propios con reflexiones. Los subgrupos normales discretos son grupos cíclicos de orden n para todos los enteros positivos n . Los grupos cociente son isomorfos con el mismo grupo Dih(S ¹ ).
• Dih( R ⁿ ): el grupo de isometrías de R ⁿ que consiste en todas las traslaciones e inversiones en todos los puntos; para n = 1 este es el grupo euclidiano E(1) ; para n > 1 el grupo Dih( R ⁿ ) es un subgrupo propio de E( n ), es decir, no contiene todas las isometrías.
• H puede ser cualquier subgrupo de R ⁿ , por ejemplo un subgrupo discreto; en ese caso, si se extiende en n direcciones es un retículo .
  • Los subgrupos discretos de Dih( R2 ) que contienen traslaciones en una dirección son de tipo grupo friso ^.${\displaystyle \infty \infty }$y 22${\displaystyle \infty }$.
  • Los subgrupos discretos de Dih( R ² ) que contienen traslaciones en dos direcciones son del tipo de grupo de papel tapiz p1 y p2.
  • Los subgrupos discretos de Dih( R ³ ) que contienen traslaciones en tres direcciones son grupos espaciales del sistema cristalino triclínico .

Dih( H ) es abeliano, con el producto semidirecto como producto directo, si y solo si todos los elementos de H son su propio inverso, es decir, un 2-grupo abeliano elemental :

• Dih( Z ₁ ) = Dih ₁ = Z ₂
• Dih( Z ₂ ) = Dih ₂ = Z ₂ × Z ₂ ( cuatro grupos de Klein )
• Dih(Dih ₂ ) = Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂

etc.

Dih( R ⁿ ) y sus subgrupos diedrales son grupos topológicos disconexos . Dih( R ⁿ ) consta de dos componentes conexas : la componente identidad isomorfa a R ⁿ y la componente con las reflexiones. De manera similar, O(2) consta de dos componentes conexas: la componente identidad isomorfa al grupo de círculos y la componente con las reflexiones.

Para el grupo Dih _∞ podemos distinguir dos casos:

• Dih _∞ como el grupo de isometría de Z
• Dih _∞ como un grupo de isometría bidimensional generado por una rotación de un número irracional de vueltas y una reflexión.

Ambos grupos topológicos son totalmente disconexos , pero en el primer caso los componentes (singulares) son abiertos, mientras que en el segundo no lo son. Además, el primer grupo topológico es un subgrupo cerrado de Dih( R ), pero el segundo no lo es de O(2).