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Espacio de Hilbert manipulado

En matemáticas y física , un espacio de Hilbert modificado ( triple de Gelfand , espacio de Hilbert anidado , espacio de Hilbert equipado ) es una construcción que permite ampli...

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En matemáticas y física , un espacio de Hilbert modificado ( triple de Gelfand , espacio de Hilbert anidado , espacio de Hilbert equipado ) es una construcción que permite ampliar un espacio de Hilbert a un espacio mayor que contiene objetos adicionales que no pertenecen al espacio de Hilbert, pero que se consideran junto a él. Por ejemplo, en la descripción cuántica de una partícula no relativista mediante el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en la recta real, los autoestados de los operadores de posición y momento no pertenecen al espacio de Hilbert, sino a un espacio de Hilbert modificado adecuadamente definido. De manera informal, el término "modificado" significa que el espacio de Hilbert ha sido equipado para realizar más funciones de las que podría de otro modo, por analogía con el aparejo de un barco. [ 1 ]

Esta construcción está diseñada para vincular los aspectos de distribución e integrabilidad al cuadrado del análisis funcional . Dichos espacios se introdujeron para estudiar la teoría espectral . Reúnen el " estado ligado " ( vector propio ) y el " espectro continuo " en un mismo lugar.

Utilizando esta noción, se puede formular una versión del teorema espectral para operadores no acotados en el espacio de Hilbert. [ 2 ] "Los espacios de Hilbert acotados son bien conocidos como la estructura que proporciona un significado matemático adecuado a la formulación de Dirac de la mecánica cuántica ." [ 3 ]

Motivación

Una función como incógnita↦miiincógnita,{\displaystyle x\mapsto e^{ix},} es una autofunción del operador diferencial−iddincógnita{\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}} en la recta real R , pero no es de cuadrado integrable para la medida usual ( Lebesgue ) en R. Para considerar adecuadamente esta función como una autofunción se requiere algún método para salir de los límites estrictos de la teoría del espacio de Hilbert . Esto fue proporcionado por el aparato de distribuciones , y se desarrolló una teoría generalizada de autofunciones en los años posteriores a 1950. [ 4 ]

Definición

Un espacio de Hilbert aparejado es un par ( H , Φ) donde H es un espacio de Hilbert y Φ un subespacio denso, de tal manera que a Φ se le da una estructura de espacio vectorial topológico para la cual la aplicación de inclusióni:Φ→H,{\displaystyle i:\Phi \to H,} es continua. [ 5 ] [ 6 ] Identificando H con su espacio dual H * , el adjunto de i es la aplicación i∗:H=H∗→Φ∗.{\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}

El emparejamiento dual entre Φ y Φ * es entonces compatible con el producto interno en H , en el sentido de que: ⟨tú,v⟩Φ×Φ∗=(tú,v)H{\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}} cuando seatú∈Φ⊂H{\displaystyle u\in \Phi \subset H}yv∈H=H∗⊂Φ∗{\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}En el caso de espacios de Hilbert complejos, utilizamos un producto interno hermitiano; será lineal complejo en u (convención matemática) o v (convención física), y lineal conjugado (antilineal complejo) en la otra variable.

El triple(Φ,H,Φ∗){\displaystyle (\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})}A menudo se le denomina el triplete Gelfand (en honor a Israel Gelfand ).H{\displaystyle H}Se le conoce como espacio pivote.

Nótese que, aunque Φ es isomorfo a Φ * (mediante la representación de Riesz ), si resulta que Φ es un espacio de Hilbert por derecho propio, este isomorfismo no es lo mismo que la composición de la inclusión i con su adjunto i *.i∗i:Φ⊂H=H∗→Φ∗.{\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}

Enfoque de análisis funcional

El concepto de espacio de Hilbert aparejado sitúa esta idea en un marco funcional-analítico abstracto. Formalmente, un espacio de Hilbert aparejado consiste en un espacio de Hilbert H , junto con un subespacio Φ que posee una topología más fina , es decir, una para la cual la inclusión natural Φ⊆H{\displaystyle \Phi \subsetequ H} es continua. No hay pérdida al suponer que Φ es denso en H para la norma de Hilbert. Consideramos la inclusión de espacios duales H * en Φ * . Este último, dual a Φ en su topología de 'función de prueba', se realiza como un espacio de distribuciones o funciones generalizadas de algún tipo, y los funcionales lineales en el subespacio Φ de tipo ϕ↦⟨v,ϕ⟩{\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle } para v en H se representan fielmente como distribuciones (porque asumimos que Φ es denso).

Ahora, aplicando el teorema de representación de Riesz, podemos identificar H * con H. Por lo tanto, la definición de espacio de Hilbert aparejado se expresa en términos de un sándwich: Φ⊆H⊆Φ∗.{\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}

Los ejemplos más significativos son aquellos para los que Φ es un espacio nuclear ; este comentario es una expresión abstracta de la idea de que Φ consiste en funciones de prueba y Φ* de las distribuciones correspondientes .

Un ejemplo de un espacio de Hilbert numerable nuclearΦ{\displaystyle \Phi }y su dualidadΦ∗{\displaystyle \Phi ^{*}}es el espacio SchwartzS(R){\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}y el espacio de distribuciones templadasS′(R){\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}, respectivamente, manipulando el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable . Como tal, el espacio de Hilbert manipulado viene dado por [ 7 ].S(R)⊂L2(R)⊂S′(R).{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )\subset {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ).} Otro ejemplo lo proporcionan los espacios de Sobolev : Aquí (en el caso más simple de espacios de Sobolev enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}) H=L2(Rnorte), Φ=Hs(Rnorte), Φ∗=H−s(Rnorte),{\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),} dóndes>0{\displaystyle s>0}.

Véase también

Notas

  1. ↑ Ballentine, Leslie E. (2010). Mecánica cuántica: un desarrollo moderno (  ed. reimpresa). Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-02-4105-6.
  2. ↑ Minlos, RA (2001) [1994], "Espacio de Hilbert aparejado" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  3. ↑ Krasnoholovets, Volodymyr; Columbus, Frank H. (2004). Nuevas investigaciones en física cuántica . Nova Science Publishers. pág. 79. ISBN  978-1-59454-001-1.
  4. ^ Gel'fand y Vilenkin 1964 , págs .
  5. ↑ de la Madrid Modino 2001 , págs .
  6. ↑ van der Laan 2019 , págs .
  7. ↑ de la Madrid Modino 2001 , pág. 72.

Referencias

  • J.-P. Antoine, Mecánica cuántica más allá del espacio de Hilbert (1996), publicado en Irreversibilidad y causalidad, semigrupos y espacios de Hilbert manipulados , Arno Bohm, Heinz-Dietrich Doebner, Piotr Kielanowski, eds., Springer-Verlag, ISBN 3-540-64305-2( Proporciona una descripción general de la encuesta.)
  • J. Dieudonné , Éléments d'analyse VII (1978). (Ver párrafos 23.8 y 23.32)
  • Gel'fand, IM ; Vilenkin, N. Ya (1964). Funciones generalizadas: Aplicaciones del análisis armónico . Burlington: Elsevier Science. doi : 10.1016/c2013-0-12221-0 . ISBN 978-1-4832-2974-4.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  • K. Maurin, Expansiones generalizadas de autofunciones y representaciones unitarias de grupos topológicos , Editorial Científica Polaca, Varsovia, 1968.
  • de la Madrid Modino, R. (2001). Mecánica cuántica en lenguaje de espacio de Hilbert con rigged (tesis doctoral). Universidad de Valladolid.
  • de la Madrid Modino, R. "El papel del espacio de Hilbert manipulado en la mecánica cuántica," Eur. J. Phys. 26, 287 (2005); quant-ph/0502053 .
  • van der Laan, L. (julio de 2019). Teoría espacial de Hilbert aparejada para observables hermitianos y cuasihermitianos (tesis de licenciatura). Groninga: Rijksuniversiteit Groningen . Consultado el 11 de enero de 2025 .