Hidrodinámica generalizada

La hidrodinámica generalizada se limita por ahora a problemas unidimensionales. En tales contextos, los sistemas de muchos cuerpos exhiben la noción de integrabilidad y la hidrodinámica emergente a escala de Euler se convierte en hidrodinámica generalizada en lugar de hidrodinámica clásica. ^{[ 5 ]}

La ecuación central de GHD se asemeja mucho tanto a las ecuaciones de Euler de la dinámica de fluidos como a la ecuación de Liouville . Adopta la forma de una ecuación integro-diferencial no lineal que rige la distribución espectral del espacio de fases de las cuasipartículas.${\displaystyle \rho _ {\lambda }}$, dado por:

${\displaystyle \partial _{t}\rho _{\lambda }+\partial _{x}\left(v^{\text{eff}}\rho _{\lambda }\right)=0,}$

dónde${\displaystyle \rho _{\lambda }(x,\lambda ,t)}$es la densidad de cuasipartículas que depende del espacio, parámetro espectral${\displaystyle \lambda }$(también llamada rapidez) y tiempo. La velocidad efectiva${\displaystyle v^{\text{eff}}(x,\lambda ,t)}$es la velocidad de propagación de las excitaciones de cuasipartículas y depende de forma no lineal de la${\displaystyle \rho _ {\lambda }}$, es decir, depende de manera no trivial de las interacciones.

Si se incluyen las contribuciones de los campos de fuerza, las ecuaciones toman la forma:

${\displaystyle \partial _{t}\rho _{\lambda }+\partial _{x}\left(v^{\text{eff}}\rho _{\lambda }\right)+\partial _{\lambda }\left(a^{\text{eff}}\rho _{\lambda }\right)=0}$.

El parámetro espectral continuo${\displaystyle \lambda }$enumera los posibles objetos asintóticos de las interacciones entre partículas (teoría de la dispersión, solitones, etc.), incluyendo su momento y posibles estados internos. El conjunto preciso de${\displaystyle \lambda }$depende del modelo pero suele ser${\displaystyle \mathbb {R} }$o algún subconjunto${\displaystyle S\in \mathbb {R} }$De esa forma, las partículas se convierten en cuasipartículas que ahora viven en el espacio de fase espectral .

Para un sistema de partículas no interactuantes, el espacio de fases espectral se convierte en el espacio de fases regular , y el parámetro espectral se convierte en el momento canónico.${\displaystyle \lambda \rightarrow p}$y la ecuación de movimiento se convierte en la ecuación de Liouville de una sola partícula:

${\displaystyle \partial _{t}\rho +{\dot {x}}\,\partial _{x}\rho +{\dot {p}}\,\partial _{p}\rho =0,}$

o equivalentemente

${\displaystyle \partial _{t}\rho +\{\rho ,H\}=0,}$

con el uso de las ecuaciones de Hamilton y los corchetes de Poisson .

Las ecuaciones GHD se suelen resolver numéricamente ^{[ 6 ],} pero las ecuaciones en sí mismas tienen estructuras integrables y son propensas a descripciones geométricas a partir de las cuales se pueden obtener soluciones en términos de un conjunto de ecuaciones integrales. ^{[ 7 ]}

La hidrodinámica clásica se basa en la suposición de que el tiempo de relajación (tiempo necesario para que un sistema perturbado alcance el equilibrio ) de las partículas es mucho menor que la escala de tiempo de los cambios macroscópicos, es decir${\displaystyle \tau _{\text{micro}}\ll \tau _{\text{macro}}}$, de modo que no necesitamos rastrear la posición y el momento de cada partícula.${\displaystyle (q_{i},p_{i})}$simultáneamente, pero solo necesitamos hacer un seguimiento de las propiedades macroscópicas como la densidad.${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$, velocidad${\displaystyle v(\mathbf {r} ,t)}$y densidad de energía${\displaystyle e(\mathbf {r},t)}$y toda la evolución puede describirse con un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales y solo con esas pocas cantidades conservadas.

En GHD la situación es diferente; aquí el tiempo de relajación no es despreciable y la suposición de relajación no se puede utilizar tan fácilmente como en la hidrodinámica clásica.

Una cantidad conservada${\displaystyle Q}$con la densidad adecuada${\displaystyle q(x)}$puede expresarse como

${\displaystyle Q=\int dxq(x),}$

Ahora se puede escribir${\displaystyle n}$leyes de conservación ( ecuaciones de continuidad ) para cada cantidad conservada de la forma:

${\displaystyle \partial _{t}q_{n}+\partial _{x}j_{n}=0.}$

Por lo general, los sistemas hamiltonianos integrables tienen un número finito de cantidades conservadas (a saber, el hamiltoniano, el momento y el momento angular). La propiedad especial de los sistemas GHD es que el número de cantidades conservadas independientes crece linealmente con el tamaño del sistema. Otra distinción es que un sistema no integrable que se pone en evolución a partir de un estado de no equilibrio se aproximará a un conjunto estadístico, el conjunto de Gibbs , mientras que el sistema integrable evolucionará al conjunto de Gibbs generalizado .

${\displaystyle \rho ={\frac {e^{\sum \beta _{n}Q_{n}}}{Z}}}$

dónde${\displaystyle {Q_{n}}}$es una familia infinita de cantidades conservadas y${\displaystyle \beta _{n}}$son potenciales químicos generalizados.

En teoría, la mecánica estadística de no equilibrio es matemáticamente exacta: los conjuntos de un sistema aislado evolucionan con el tiempo según ecuaciones deterministas como la ecuación de Liouville o su equivalente cuántico, la ecuación de von Neumann . Estas ecuaciones son el resultado de aplicar las ecuaciones mecánicas del movimiento de forma independiente a cada estado del conjunto. Estas ecuaciones de evolución del conjunto heredan gran parte de la complejidad del movimiento mecánico subyacente, por lo que es muy difícil obtener soluciones exactas. Además, las ecuaciones de evolución del conjunto son completamente reversibles y no destruyen información (la entropía de Gibbs del conjunto se conserva).