Modelo de matriz lineal generalizada

En estadística , el modelo lineal generalizado de matrices ( GLAM ) se utiliza para analizar conjuntos de datos con estructuras de matrices. Se basa en el modelo lineal generalizado con la matriz de diseño escrita como un producto de Kronecker .

El modelo de matriz lineal generalizada o GLAM se introdujo en 2006. ^{[ 1 ]} Estos modelos proporcionan una estructura y un procedimiento computacional para ajustar modelos lineales generalizados o GLM cuya matriz de modelo se puede escribir como un producto de Kronecker y cuyos datos se pueden escribir como una matriz. En un GLM grande, el enfoque GLAM ofrece ahorros muy sustanciales tanto en almacenamiento como en tiempo de cálculo en comparación con el algoritmo GLM habitual.

Supongamos que los datos${\displaystyle \mathbf {Y} }$está dispuesto en un${\displaystyle d}$matriz dimensional con tamaño${\displaystyle n_{1}\times n_{2}\times \dots \times n_{d}}$; por lo tanto, el vector de datos correspondiente${\displaystyle \mathbf {y} =\operatorname {vec} (\mathbf {Y} )}$tiene tamaño${\ Displaystyle n_ {1} n_ {2} n_ {3} \ cdots n_ {d}}$Supongamos también que la matriz de diseño tiene la forma

${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {X} _{d}\otimes \mathbf {X} _{d-1}\otimes \dots \otimes \mathbf {X} _{1}.}$

El análisis estándar de un GLM con vector de datos${\displaystyle \mathbf {y} }$y matriz de diseño${\displaystyle \mathbf {X} }$Procede mediante la evaluación repetida del algoritmo de puntuación.

${\displaystyle \mathbf {X} '{\tilde {\mathbf {W} }}_{\delta }\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=\mathbf {X} '{\tilde {\mathbf {W} }}_{\delta }{\tilde {\boldsymbol {\theta }}},}$

dónde${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\theta }}}}$representa la solución aproximada de${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$, y${\displaystyle {\sombrero {\boldsymbol {\theta }}}}$es el valor mejorado del mismo;${\displaystyle \mathbf {W} _ {\delta }}$es la matriz de pesos diagonal con elementos

${\displaystyle w_{ii}^{-1}=\left({\frac {\partial \eta _{i}}{\partial \mu _{i}}}\right)^{2}\mathrm {var} (y_{i}),}$

y

${\displaystyle \mathbf {z} ={\boldsymbol {\eta }}+\mathbf {W} _ {\delta }^{-1}(\mathbf {y} -{\boldsymbol {\mu }})}$

es la variable de trabajo.

Desde el punto de vista computacional, GLAM proporciona algoritmos de matriz para calcular el predictor lineal,

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\mathbf {X} {\boldsymbol {\theta }}}$

y el producto interno ponderado

${\displaystyle \mathbf {X} '{\tilde {\mathbf {W} }}_{\delta}\mathbf {X} }$

sin evaluación de la matriz del modelo${\displaystyle \mathbf {X} .}$

GLAM está diseñado para ser utilizado en${\displaystyle d}$problemas de suavizado de dimensión -donde los datos están dispuestos en una matriz y la matriz de suavizado se construye como un producto de Kronecker de${\displaystyle d}$matrices de suavizado unidimensionales.