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Descomposición generalizada en valores singulares

En álgebra lineal , la descomposición generalizada en valores singulares ( GSVD ) es el nombre de dos técnicas diferentes basadas en la descomposición en valores singulares (SVD...

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En álgebra lineal , la descomposición generalizada en valores singulares ( GSVD ) es el nombre de dos técnicas diferentes basadas en la descomposición en valores singulares (SVD) . Las dos versiones se diferencian porque una descompone dos matrices (de forma similar a la SVD de orden superior o tensorial ) y la otra utiliza un conjunto de restricciones impuestas a los vectores singulares izquierdo y derecho de una SVD de una sola matriz.

Primera versión: descomposición en dos matrices

La descomposición generalizada en valores singulares ( GSVD ) es una descomposición matricial en un par de matrices que generaliza la descomposición en valores singulares . Fue introducida por Van Loan [ 1 ] en 1976 y posteriormente desarrollada por Paige y Saunders [ 2 ] , que es la versión descrita aquí. A diferencia de la SVD, la GSVD descompone simultáneamente un par de matrices con el mismo número de columnas. La SVD y la GSVD, así como otras posibles generalizaciones de la SVD [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ], se utilizan ampliamente en el estudio del condicionamiento y la regularización de sistemas lineales con respecto a seminormas cuadráticas . A continuación, seaF=R{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }, oF=do{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }.

Definición

La descomposición generalizada en valores singulares de matricesA1∈Fmetro1×norte{\displaystyle A_{1}\in \mathbb {F} ^{m_{1}\times n}}yA2∈Fmetro2×norte{\displaystyle A_{2}\in \mathbb {F} ^{m_{2}\times n}}esA1=U1Σ1[W∗D,0D]Q∗,A2=U2Σ2[W∗D,0D]Q∗,{\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=U_{1}\Sigma _{1}[W^{*}D,0_{D}]Q^{*},\\A_{2}&=U_{2}\Sigma _{2}[W^{*}D,0_{D}]Q^{*},\end{aligned}}}dónde

  • U1∈Fmetro1×metro1{\displaystyle U_{1}\in \mathbb {F} ^{m_{1}\times m_{1}}}es unitario ,
  • U2∈Fmetro2×metro2{\displaystyle U_{2}\in \mathbb {F} ^{m_{2}\times m_{2}}}es unitario,
  • Q∈Fnorte×norte{\displaystyle Q\in \mathbb {F} ^{n\times n}}es unitario,
  • W∈Fk×k{\displaystyle W\in \mathbb {F} ^{k\times k}}es unitario,
  • D∈Rk×k{\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{k\times k}}es diagonal real con diagonal positiva y contiene los valores singulares no nulos dedo=[A1A2]{\displaystyle C={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{bmatrix}}}en orden descendente,
  • 0D=0∈Rk×(norte−k){\displaystyle 0_{D}=0\in \mathbb {R} ^{k\times (nk)}},
  • Σ1=⌈IA,S1,0A⌋∈Rmetro1×k{\displaystyle \Sigma _{1}=\lceil I_{A},S_{1},0_{A}\rfloor \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times k}}es un bloque diagonal real no negativo , dondeS1=⌈αr+1,…,αr+s⌋{\displaystyle S_{1}=\lceil \alpha _{r+1},\dots ,\alpha _{r+s}\rfloor }con1>αr+1≥⋯≥αr+s>0{\displaystyle 1>\alpha _{r+1}\geq \cdots \geq \alpha _{r+s}>0},IA=Ir{\displaystyle I_{A}=I_{r}}, y0A=0∈R(metro1−r−s)×(k−r−s){\displaystyle 0_{A}=0\in \mathbb {R} ^{(m_{1}-rs)\times (krs)}},
  • Σ2=⌈0B,S2,IB⌋∈Rmetro2×k{\displaystyle \Sigma _{2}=\lceil 0_{B},S_{2},I_{B}\rfloor \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times k}}es un bloque diagonal real no negativo, dondeS2=⌈βr+1,…,βr+s⌋{\displaystyle S_{2}=\lceil \beta _{r+1},\dots ,\beta _{r+s}\rfloor }con0<βr+1≤⋯≤βr+s<1{\displaystyle 0<\beta _{r+1}\leq \cdots \leq \beta _{r+s}<1},IB=Ik−r−s{\displaystyle I_{B}=I_{krs}}, y0B=0∈R(metro2−k+r)×r{\displaystyle 0_{B}=0\in \mathbb {R} ^{(m_{2}-k+r)\times r}},
  • Σ1∗Σ1=⌈α12,…,αk2⌋{\displaystyle \Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}=\lceil \alpha _{1}^{2},\dots ,\alpha _{k}^{2}\rfloor },
  • Σ2∗Σ2=⌈β12,…,βk2⌋{\displaystyle \Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2}=\lceil \beta _{1}^{2},\dots ,\beta _{k}^{2}\rfloor },
  • Σ1∗Σ1+Σ2∗Σ2=Ik{\displaystyle \Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}+\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2}=I_{k}},
  • k=rango(do){\displaystyle k={\textrm {rank}}(C)}.

Denotamosα1=⋯=αr=1{\displaystyle \alpha _{1}=\cdots =\alpha _{r}=1},αr+s+1=⋯=αk=0{\displaystyle \alpha _{r+s+1}=\cdots =\alpha _{k}=0},β1=⋯=βr=0{\displaystyle \beta _{1}=\cdots =\beta _{r}=0}, yβr+s+1=⋯=βk=1{\displaystyle \beta _{r+s+1}=\cdots =\beta _{k}=1}. MientrasΣ1{\displaystyle \Sigma _{1}}es diagonal,Σ2{\displaystyle \Sigma _{2}}no siempre es diagonal, debido a la matriz cero rectangular principal ; en cambioΣ2{\displaystyle \Sigma _{2}}es "diagonal inferior derecha".

Variaciones

Existen muchas variaciones de la GSVD. Estas variaciones están relacionadas con el hecho de que siempre es posible multiplicar.Q∗{\displaystyle Q^{*}}desde la izquierda pormimi∗=I{\displaystyle EE^{*}=I}dóndemi∈Fnorte×norte{\displaystyle E\in \mathbb {F} ^{n\times n}}es una matriz unitaria arbitraria. Denotamos

  • incógnita=([W∗D,0D]Q∗)∗{\displaystyle X=([W^{*}D,0_{D}]Q^{*})^{*}}
  • incógnita∗=[0,R]Q^∗{\displaystyle X^{*}=[0,R]{\hat {Q}}^{*}}, dóndeR∈Fk×k{\displaystyle R\in \mathbb {F} ^{k\times k}}es triangular superior e invertible, yQ^∈Fnorte×norte{\displaystyle {\hat {Q}}\in \mathbb {F} ^{n\times n}}es unitaria. Dichas matrices existen mediante la descomposición RQ .
  • Y=W∗D{\displaystyle Y=W^{*}D}. EntoncesY{\displaystyle Y}es invertible.

Aquí hay algunas variaciones del GSVD:

  • MATLAB (gsvd):A1=U1Σ1incógnita∗,A2=U2Σ2incógnita∗.{\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=U_{1}\Sigma _{1}X^{*},\\A_{2}&=U_{2}\Sigma _{2}X^{*}.\end{aligned}}}
  • LAPACK (ggsvd3):A1=U1Σ1[0,R]Q^∗,A2=U2Σ2[0,R]Q^∗.{\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=U_{1}\Sigma _{1}[0,R]{\hat {Q}}^{*},\\A_{2}&=U_{2}\Sigma _{2}[0,R]{\hat {Q}}^{*}.\end{aligned}}}
  • Simplificado:A1=U1Σ1[Y,0D]Q∗,A2=U2Σ2[Y,0D]Q∗.{\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=U_{1}\Sigma _{1}[Y,0_{D}]Q^{*},\\A_{2}&=U_{2}\Sigma _{2}[Y,0_{D}]Q^{*}.\end{aligned}}}

Valores singulares generalizados

La frase valor singular generalizado puede usarse para referirse a cosas ligeramente diferentes . En este artículo, un valor singular generalizado deA1{\displaystyle A_{1}}yA2{\displaystyle A_{2}}es un par(a,b)∈R2{\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}de tal manera que

límiteδ→0det(b2A1∗A1−a2A2∗A2+δInorte)/det(δInorte−k)=0,a2+b2=1,a,b≥0.{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\delta \to 0}\det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2}+\delta I_{n})/\det(\delta I_{n-k})&=0,\\a^{2}+b^{2}&=1,\\a,b&\geq 0.\end{aligned}}}Otras fuentes lo llaman así(a,b)∈R2{\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}pares de valores singulares generalizados y utilice el valor singular generalizado para referirse a la razóna/b{\displaystyle a/b}. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]

Independientemente de la convención de nomenclatura, tenemos

  • AiAj∗=UiΣiYY∗Σj∗Uj∗{\displaystyle A_{i}A_{j}^{*}=U_{i}\Sigma _{i}YY^{*}\Sigma _{j}^{*}U_{j}^{*}}
  • Ai∗Aj=Q[Y∗Σi∗ΣjY000]Q∗=Q1Y∗Σi∗ΣjYQ1∗{\displaystyle A_{i}^{*}A_{j}=Q{\begin{bmatrix}Y^{*}\Sigma _{i}^{*}\Sigma _{j}Y&0\\0&0\end{bmatrix}}Q^{*}=Q_{1}Y^{*}\Sigma _{i}^{*}\Sigma _{j}YQ_{1}^{*}}

Mediante estas propiedades podemos demostrar que los valores singulares generalizados son exactamente los pares(αi,βi){\displaystyle (\alpha _{i},\beta _{i})}. Tenemosdet(b2A1∗A1−a2A2∗A2+δInorte)=det(b2A1∗A1−a2A2∗A2+δQQ∗)=det(Q[Y∗(b2Σ1∗Σ1−a2Σ2∗Σ2)Y+δIk00δInorte−k]Q∗)=det(δInorte−k)det(Y∗(b2Σ1∗Σ1−a2Σ2∗Σ2)Y+δIk).{\displaystyle {\begin{aligned}&\det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2}+\delta I_{n})\\=&\det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2}+\delta QQ^{*})\\=&\det \left(Q{\begin{bmatrix}Y^{*}(b^{2}\Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}-a^{2}\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2})Y+\delta I_{k}&0\\0&\delta I_{n-k}\end{bmatrix}}Q^{*}\right)\\=&\det(\delta I_{n-k})\det(Y^{*}(b^{2}\Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}-a^{2}\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2})Y+\delta I_{k}).\end{aligned}}}Por lo tanto

límiteδ→0det(b2A1∗A1−a2A2∗A2+δInorte)/det(δInorte−k)=límiteδ→0det(Y∗(b2Σ1∗Σ1−a2Σ2∗Σ2)Y+δIk)=det(Y∗(b2Σ1∗Σ1−a2Σ2∗Σ2)Y)=|det(Y)|2∏i=1k(b2αi2−a2βi2).{\displaystyle {\begin{aligned}{}&\lim _{\delta \to 0}\det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2}+\delta I_{n})/\det(\delta I_{n-k})\\=&\lim _{\delta \to 0}\det(Y^{*}(b^{2}\Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}-a^{2}\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2})Y+\delta I_{k})\\=&\det(Y^{*}(b^{2}\Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}-a^{2}\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2})Y)\\=&|\det(Y)|^{2}\prod _{i=1}^{k}(b^{2}\alpha _{i}^{2}-a^{2}\beta _{i}^{2}).\end{aligned}}}

Esta expresión es cero exactamente cuandoa=αi{\displaystyle a=\alpha _{i}}yb=βi{\displaystyle b=\beta _{i}}para algunosi{\displaystyle i}.

En [ 2 ] se afirma que los valores singulares generalizados son aquellos que resuelvendet(b2A1∗A1−a2A2∗A2)=0{\displaystyle \det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2})=0}Sin embargo, esta afirmación solo es válida cuandok=norte{\displaystyle k=n}, ya que de lo contrario el determinante es cero para cada par(a,b)∈R2{\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}; esto se puede ver sustituyendoδ=0{\displaystyle \delta =0}arriba.

Inversa generalizada

Definirmi+=mi−1{\displaystyle E^{+}=E^{-1}}para cualquier matriz invertiblemi∈Fnorte×norte{\displaystyle E\in \mathbb {F} ^{n\times n}},0+=0∗{\displaystyle 0^{+}=0^{*}}para cualquier matriz cero0∈Fmetro×norte{\displaystyle 0\in \mathbb {F} ^{m\times n}}, y⌈mi1,mi2⌋+=⌈mi1+,mi2+⌋{\displaystyle \left\lceil E_{1},E_{2}\right\rfloor ^{+}=\left\lceil E_{1}^{+},E_{2}^{+}\right\rfloor }para cualquier matriz diagonal por bloques. Luego definaAi+=Q[Y−10]Σi+Ui∗{\displaystyle A_{i}^{+}=Q{\begin{bmatrix}Y^{-1}\\0\end{bmatrix}}\Sigma _{i}^{+}U_{i}^{*}}Se puede demostrar queAi+{\displaystyle A_{i}^{+}}tal como se define aquí es una inversa generalizada deAi{\displaystyle A_{i}}; en particular un{1,2,3}{\displaystyle \{1,2,3\}}-inverso deAi{\displaystyle A_{i}}Dado que en general no satisface(Ai+Ai)∗=Ai+Ai{\displaystyle (A_{i}^{+}A_{i})^{*}=A_{i}^{+}A_{i}}, esta no es la inversa de Moore-Penrose ; de ​​lo contrario podríamos derivarla(AB)+=B+A+{\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}}para cualquier elección de matrices, lo cual solo se cumple para cierta clase de matrices .

SuponerQ=[Q1Q2]{\displaystyle Q={\begin{bmatrix}Q_{1}&Q_{2}\end{bmatrix}}}, dóndeQ1∈Fnorte×k{\displaystyle Q_{1}\in \mathbb {F} ^{n\times k}}yQ2∈Fnorte×(norte−k){\displaystyle Q_{2}\in \mathbb {F} ^{n\times (n-k)}}Esta inversa generalizada tiene las siguientes propiedades:

  • Σ1+=⌈IA,S1−1,0AT⌋{\displaystyle \Sigma _{1}^{+}=\lceil I_{A},S_{1}^{-1},0_{A}^{T}\rfloor }
  • Σ2+=⌈0BT,S2−1,IB⌋{\displaystyle \Sigma _{2}^{+}=\lceil 0_{B}^{T},S_{2}^{-1},I_{B}\rfloor }
  • Σ1Σ1+=⌈I,I,0⌋{\displaystyle \Sigma _{1}\Sigma _{1}^{+}=\lceil I,I,0\rfloor }
  • Σ2Σ2+=⌈0,I,I⌋{\displaystyle \Sigma _{2}\Sigma _{2}^{+}=\lceil 0,I,I\rfloor }
  • Σ1Σ2+=⌈0,S1S2−1,0⌋{\displaystyle \Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}=\lceil 0,S_{1}S_{2}^{-1},0\rfloor }
  • Σ1+Σ2=⌈0,S1−1S2,0⌋{\displaystyle \Sigma _{1}^{+}\Sigma _{2}=\lceil 0,S_{1}^{-1}S_{2},0\rfloor }
  • AiAj+=UiΣiΣj+Uj∗{\displaystyle A_{i}A_{j}^{+}=U_{i}\Sigma _{i}\Sigma _{j}^{+}U_{j}^{*}}
  • Ai+Aj=Q[Y−1Σi+ΣjY000]Q∗=Q1Y−1Σi+ΣjYQ1∗{\displaystyle A_{i}^{+}A_{j}=Q{\begin{bmatrix}Y^{-1}\Sigma _{i}^{+}\Sigma _{j}Y&0\\0&0\end{bmatrix}}Q^{*}=Q_{1}Y^{-1}\Sigma _{i}^{+}\Sigma _{j}YQ_{1}^{*}}

Cociente SVD

Una razón singular generalizada (o simplemente "valor singular generalizado", según la convención de nomenclatura que se utilice [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] ) deA1{\displaystyle A_{1}}yA2{\displaystyle A_{2}}esσi=αiβi+{\displaystyle \sigma _{i}=\alpha _{i}\beta _{i}^{+}}. Por las propiedades anteriores,A1A2+=U1Σ1Σ2+U2∗{\displaystyle A_{1}A_{2}^{+}=U_{1}\Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}U_{2}^{*}}. Tenga en cuenta queΣ1Σ2+=⌈0,S1S2−1,0⌋{\displaystyle \Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}=\lceil 0,S_{1}S_{2}^{-1},0\rfloor }es diagonal, y eso, ignorando los ceros iniciales, contiene las razones singulares en orden decreciente. SiA2{\displaystyle A_{2}}es invertible, entoncesΣ1Σ2+{\displaystyle \Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}}no tiene ceros iniciales, y las razones singulares generalizadas son los valores singulares, yU1{\displaystyle U_{1}}yU2{\displaystyle U_{2}}son las matrices de vectores singulares, de la matrizA1A2+=A1A2−1{\displaystyle A_{1}A_{2}^{+}=A_{1}A_{2}^{-1}}. De hecho, calcular la SVD deA1A2−1{\displaystyle A_{1}A_{2}^{-1}}es una de las motivaciones para el GSVD, ya que "formarAB−1{\displaystyle AB^{-1}}y encontrar su SVD puede conducir a errores numéricos grandes e innecesarios cuandoB{\displaystyle B}está mal condicionado para la solución de ecuaciones". [ 2 ] De ahí el nombre que a veces se usa "SVD cociente", aunque esta no es la única razón para usar GSVD. SiA2{\displaystyle A_{2}}no es invertible, entoncesU1Σ1Σ2+U2∗{\displaystyle U_{1}\Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}U_{2}^{*}}sigue siendo la SVD deA1A2+{\displaystyle A_{1}A_{2}^{+}}Si relajamos el requisito de que los valores singulares estén en orden decreciente. Alternativamente, se puede encontrar una descomposición en valores singulares (SVD) en orden decreciente moviendo los ceros iniciales hacia atrás:U1Σ1Σ2+U2∗=(U1PAG1)PAG1∗Σ1Σ2+PAG2(PAG2∗U2∗){\displaystyle U_{1}\Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}U_{2}^{*}=(U_{1}P_{1})P_{1}^{*}\Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}P_{2}(P_{2}^{*}U_{2}^{*})}, dóndePAG1{\displaystyle P_{1}}yPAG2{\displaystyle P_{2}}son matrices de permutación apropiadas . Dado que el rango es igual al número de valores singulares distintos de cero,ranortek(A1A2+)=s{\displaystyle \mathrm {rank} (A_{1}A_{2}^{+})=s}.

Construcción

Dejar

  • do=PAG⌈D,0⌋Q∗{\displaystyle C=P\lceil D,0\rfloor Q^{*}}ser la SVD dedo=[A1A2]{\displaystyle C={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{bmatrix}}}, dóndePAG∈F(metro1+metro2)×(metro1×metro2){\displaystyle P\in \mathbb {F} ^{(m_{1}+m_{2})\times (m_{1}\times m_{2})}}es unitario yQ{\displaystyle Q}yD{\displaystyle D}son como se describen,
  • PAG=[PAG1,PAG2]{\displaystyle P=[P_{1},P_{2}]}, dóndePAG1∈F(metro1+metro2)×k{\displaystyle P_{1}\in \mathbb {F} ^{(m_{1}+m_{2})\times k}}yPAG2∈F(metro1+metro2)×(norte−k){\displaystyle P_{2}\in \mathbb {F} ^{(m_{1}+m_{2})\times (n-k)}},
  • PAG1=[PAG11PAG21]{\displaystyle P_{1}={\begin{bmatrix}P_{11}\\P_{21}\end{bmatrix}}}, dóndePAG11∈Fmetro1×k{\displaystyle P_{11}\in \mathbb {F} ^{m_{1}\times k}}yPAG21∈Fmetro2×k{\displaystyle P_{21}\in \mathbb {F} ^{m_{2}\times k}},
  • PAG11=U1Σ1W∗{\displaystyle P_{11}=U_{1}\Sigma _{1}W^{*}}por la SVD dePAG11{\displaystyle P_{11}}, dóndeU1{\displaystyle U_{1}},Σ1{\displaystyle \Sigma _{1}}yW{\displaystyle W}son como se describen,
  • PAG21W=U2Σ2{\displaystyle P_{21}W=U_{2}\Sigma _{2}}mediante una descomposición similar a una descomposición QR , dondeU2{\displaystyle U_{2}}yΣ2{\displaystyle \Sigma _{2}}son como se describen.

Entoncesdo=PAG⌈D,0⌋Q∗=[PAG1D,0]Q∗=[U1Σ1W∗D0U2Σ2W∗D0]Q∗=[U1Σ1[W∗D,0]Q∗U2Σ2[W∗D,0]Q∗].{\displaystyle {\begin{aligned}C&=P\lceil D,0\rfloor Q^{*}\\{}&=[P_{1}D,0]Q^{*}\\{}&={\begin{bmatrix}U_{1}\Sigma _{1}W^{*}D&0\\U_{2}\Sigma _{2}W^{*}D&0\end{bmatrix}}Q^{*}\\{}&={\begin{bmatrix}U_{1}\Sigma _{1}[W^{*}D,0]Q^{*}\\U_{2}\Sigma _{2}[W^{*}D,0]Q^{*}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}También tenemos[U1∗00U2∗]PAG1W=[Σ1Σ2].{\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{1}^{*}&0\\0&U_{2}^{*}\end{bmatrix}}P_{1}W={\begin{bmatrix}\Sigma _{1}\\\Sigma _{2}\end{bmatrix}}.}Por lo tantoΣ1∗Σ1+Σ2∗Σ2=[Σ1Σ2]∗[Σ1Σ2]=W∗PAG1∗[U100U2][U1∗00U2∗]PAG1W=I.{\displaystyle \Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}+\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2}={\begin{bmatrix}\Sigma _{1}\\\Sigma _{2}\end{bmatrix}}^{*}{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}\\\Sigma _{2}\end{bmatrix}}=W^{*}P_{1}^{*}{\begin{bmatrix}U_{1}&0\\0&U_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}^{*}&0\\0&U_{2}^{*}\end{bmatrix}}P_{1}W=I.}DesdePAG1{\displaystyle P_{1}}tiene columnas ortonormales,||PAG1||2≤1{\displaystyle ||P_{1}||_{2}\leq 1}. Por lo tanto||Σ1||2=||U1∗PAG1W||2=||PAG1||2≤1.{\displaystyle ||\Sigma _{1}||_{2}=||U_{1}^{*}P_{1}W||_{2}=||P_{1}||_{2}\leq 1.}También tenemos para cada unoincógnita∈Rk{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{k}}de tal manera que||incógnita||2=1{\displaystyle ||x||_{2}=1}eso||PAG21incógnita||22≤||PAG11incógnita||22+||PAG21incógnita||22=||PAG1incógnita||22≤1.{\displaystyle ||P_{21}x||_{2}^{2}\leq ||P_{11}x||_{2}^{2}+||P_{21}x||_{2}^{2}=||P_{1}x||_{2}^{2}\leq 1.}Por lo tanto||PAG21||2≤1{\displaystyle ||P_{21}||_{2}\leq 1}, y||Σ2||2=||U2∗PAG21W||2=||PAG21||2≤1.{\displaystyle ||\Sigma _{2}||_{2}=||U_{2}^{*}P_{21}W||_{2}=||P_{21}||_{2}\leq 1.}

Aplicaciones

La descomposición en valores singulares tensorial (GSVD) es una de las descomposiciones espectrales comparativas, generalizaciones multitensoriales de la descomposición en valores singulares (SVD), inventada para identificar simultáneamente las similitudes y diferencias entre datos, y crear un único modelo coherente a partir de cualquier tipo de datos, de cualquier número y dimensión.

La GSVD, formulada como una descomposición espectral comparativa, [ 9 ] se ha aplicado con éxito al procesamiento de señales y a la ciencia de datos , por ejemplo, en el procesamiento de señales genómicas. [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]

Estas aplicaciones inspiraron varias descomposiciones espectrales comparativas adicionales, es decir, la GSVD de orden superior (HO GSVD) [ 13 ] la GSVD tensorial, [ 14 ] [ 15 ] y la HO GSVD tensorial. [ 16 ]

También se han encontrado aplicaciones para estimar las descomposiciones espectrales de operadores lineales cuando las funciones propias están parametrizadas con un modelo lineal , es decir, un espacio de Hilbert con núcleo reproductor . [ 17 ]

Segunda versión: descomposición de matriz única ponderada

La versión ponderada de la descomposición en valores singulares generalizada ( GSVD ) es una descomposición matricial restringida con restricciones impuestas a los vectores singulares izquierdo y derecho de la descomposición en valores singulares . [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] Esta forma de la GSVD es una extensión de la SVD como tal. Dada la SVD de una matriz real o compleja m×n M

METRO=UΣV∗{\displaystyle M=U\Sigma V^{*}\,}

dónde

U∗WtúU=V∗WvV=I.{\displaystyle U^{*}W_{u}U=V^{*}W_{v}V=I.}

Donde I es la matriz identidad y dondeU{\displaystyle U}yV{\displaystyle V}son ortonormales dadas sus restricciones (Wtú{\displaystyle W_{u}}yWv{\displaystyle W_{v}}). Además,Wtú{\displaystyle W_{u}}yWv{\displaystyle W_{v}}son matrices definidas positivas (a menudo matrices diagonales de pesos). Esta forma de la GSVD es el núcleo de ciertas técnicas, como el análisis de componentes principales generalizado y el análisis de correspondencias .

La forma ponderada de la GSVD se denomina así porque, con la selección correcta de ponderaciones, generaliza muchas técnicas (como el escalamiento multidimensional y el análisis discriminante lineal ). [ 21 ]

Referencias

  1. ↑ Van Loan CF (1976). "Generalizing the Singular Value Decomposition". SIAM J. Numer. Anal . 13 (1): 76– 83. Bibcode : 1976SJNA...13...76V . doi : 10.1137/0713009 .
  2. 1 2 3 Paige CC, Saunders MA (1981). "Hacia una descomposición generalizada de valores singulares". SIAM J. Numer. Anal . 18 (3): 398– 405. Bibcode : 1981SJNA...18..398P . doi : 10.1137/0718026 .
  3. ↑ Hansen PC (1997). Problemas mal planteados discretos y con rango deficiente: aspectos numéricos de la inversión lineal . Monografías SIAM sobre modelado matemático y computación. ISBN 0-89871-403-6.
  4. ↑ de Moor BL, Golub GH (1989). "Descomposiciones generalizadas de valores singulares: una propuesta para una nomenclatura estándar" (PDF) .
  5. ↑ de Moor BL, Zha H (1991). "Un árbol de generalizaciones de la descomposición en valores singulares ordinaria" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 147 : 469–500 . doi : 10.1016/0024-3795(91)90243-P .
  6. 1 2 Bai, Zhaojun; Demmel, James W. (1993). "Cálculo de la descomposición generalizada en valores singulares" . SIAM Journal on Scientific Computing . 14 (6): 1464– 1486. ​​doi : 10.1137/0914085 . ISSN 1064-8275 . 
  7. 1 2 "Descomposición generalizada en valores singulares (GSVD)" . www.netlib.org . Consultado el 29 de marzo de 2026 .
  8. 1 2 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). Cálculos matriciales . Estudios de Johns Hopkins en ciencias matemáticas (4.ª ed.). Baltimore: The Johns Hopkins University Press. pp. 501–502 . ISBN   978-1-4214-0794-4.
  9. ↑ Alter O, Brown PO, Botstein D (marzo de 2003). "Descomposición generalizada de valores singulares para el análisis comparativo de conjuntos de datos de expresión a escala genómica de dos organismos diferentes" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 100 (6): 3351– 6. Bibcode : 2003PNAS..100.3351A . doi : 10.1073/pnas.0530258100 . PMC 152296. PMID 12631705 .  
  10. ↑ Lee CH, Alpert BO, Sankaranarayanan P, Alter O (enero de 2012). "Comparación de GSVD de perfiles aCGH normales y tumorales emparejados por paciente revela alteraciones globales del número de copias que predicen la supervivencia del glioblastoma multiforme" . PLOS ONE . 7 (1) e30098. Bibcode : 2012PLoSO...730098L . doi : 10.1371/journal.pone.0030098 . PMC 3264559. PMID 22291905 .  
  11. ↑ Aiello KA, Ponnapalli SP, Alter O (septiembre de 2018). "Genotipo de astrocitoma matemáticamente universal y biológicamente consistente codifica para la transformación y predice el fenotipo de supervivencia" . APL Bioengineering . 2 (3) 031909. doi : 10.1063/1.5037882 . PMC 6215493. PMID 30397684 .  
  12. ↑ Ponnapalli SP, Bradley MW, Devine K, Bowen J, Coppens SE, Leraas KM, Milash BA, Li F, Luo H, Qiu S, Wu K, Yang H, Wittwer CT, Palmer CA, Jensen RL, Gastier-Foster JM, Hanson HA, Barnholtz-Sloan JS , Alter O (mayo de 2020). "Ensayo clínico retrospectivo valida experimentalmente el patrón genómico de alteraciones del número de copias de ADN del glioblastoma como predictor de supervivencia" . APL Bioengineering . 4 (2) 026106. doi : 10.1063/1.5142559 . PMC 7229984. PMID 32478280. Comunicado de prensa .  
  13. ↑ Ponnapalli SP, Saunders MA, Van Loan CF, Alter O (diciembre de 2011). "Una descomposición de valores singulares generalizada de orden superior para la comparación de la expresión global de ARNm de múltiples organismos" . PLOS ONE . 6 (12) e28072. Bibcode : 2011PLoSO...628072P . doi : 10.1371/journal.pone.0028072 . PMC 3245232. PMID 22216090 .  
  14. ↑ Sankaranarayanan P, Schomay TE, Aiello KA, Alter O (abril de 2015). "El GSVD tensorial de perfiles de número de copias de ADN tumoral y normal coincidentes con el paciente y la plataforma revela patrones en todo el brazo cromosómico de alteraciones consistentes con la plataforma exclusivas del tumor que codifican la transformación celular y predicen la supervivencia del cáncer de ovario" . PLOS ONE . 10 (4) e0121396. Bibcode : 2015PLoSO..1021396S . doi : 10.1371/journal.pone.0121396 . PMC 4398562. PMID 25875127 .  
  15. ↑ Bradley MW, Aiello KA, Ponnapalli SP, Hanson HA, Alter O (septiembre de 2019). "Los patrones de alteraciones del número de copias de ADN descubiertos mediante GSVD y GSVD tensorial predicen la supervivencia de los adenocarcinomas en general y en respuesta al platino" . APL Bioengineering . 3 (3) 036104. doi : 10.1063/1.5099268 . PMC 6701977. PMID 31463421. Material suplementario .  
  16. ↑ Alter O, Newman E, Ponnapalli SP, Tsai JW (junio de 2026). "La IA/ML multitensor basada en mecánica cuántica es capaz de descubrir, validar e interpretar predictores a partir de datos multiómicos ruidosos de alta dimensión de cohortes pequeñas". APL Quantum . 3 (2) 026116. doi : 10.1063/5.0305656 .
  17. ↑ Cabannes, Vivien; Pillaud-Vivien, Loucas; Bach, Francis; Rudi, Alessandro (2021). "Superando la maldición de la dimensionalidad con regularización laplaciana en el aprendizaje semisupervisado". arXiv : 2009.04324 [ stat.ML ].
  18. ↑ Jolliffe IT (2002). Análisis de componentes principales . Serie Springer en estadística (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN  978-0-387-95442-4.
  19. ↑ Greenacre M (1983). Teoría y aplicaciones del análisis de correspondencias . Londres: Academic Press. ISBN 978-0-12-299050-2.
  20. ↑ Abdi H, Williams LJ (2010). "Análisis de componentes principales". Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics . 2 (4): 433– 459. doi : 10.1002/wics.101 . S2CID 122379222 . 
  21. ↑ Abdi H (2007). "Descomposición en valores singulares (SVD) y descomposición generalizada en valores singulares (GSVD)". En Salkind NJ (ed.). Enciclopedia de medición y estadística . Thousand Oaks (CA): Sage. pp. 907–912 . 

Lecturas adicionales

  • Golub G, Van Loan C (1996). Computación matricial (Tercera  ed.). Baltimore: Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.
  • Manual de LAPACK
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