Generando un conjunto de un grupo

En álgebra abstracta , un conjunto generador de un grupo es un subconjunto del conjunto del grupo tal que cada elemento del grupo puede expresarse como una combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos del subconjunto y sus inversos .

En otras palabras, si${\displaystyle S}$es un subconjunto de un grupo${\displaystyle G}$, entonces${\displaystyle \langle S\rangle }$, el subgrupo generado por${\displaystyle S}$, es el subgrupo más pequeño de${\displaystyle G}$que contiene cada elemento de${\displaystyle S}$, que es igual a la intersección sobre todos los subgrupos que contienen los elementos de${\displaystyle S}$; equivalentemente,${\displaystyle \langle S\rangle }$es el subgrupo de todos los elementos de${\displaystyle G}$que puede expresarse como el producto finito de elementos en${\displaystyle S}$y sus inversos. (Tenga en cuenta que los inversos solo son necesarios si el grupo es infinito; en un grupo finito, el inverso de un elemento puede expresarse como una potencia de dicho elemento).

Si${\displaystyle G=\langle S\rangle }$, entonces decimos que${\displaystyle S}$genera${\displaystyle G}$y los elementos en${\displaystyle S}$se denominan generadores o generadores de grupo . Si${\displaystyle S}$es el conjunto vacío, entonces${\displaystyle \langle S\rangle }$es el grupo trivial${\displaystyle \{e\}}$, puesto que consideramos que el producto vacío es la identidad.

Cuando solo hay un único elemento${\displaystyle x}$en${\displaystyle S}$,${\displaystyle \langle S\rangle }$se suele escribir como${\displaystyle \langle x\rangle }$. En este caso,${\displaystyle \langle x\rangle }$es el subgrupo cíclico de las potencias de${\displaystyle x}$, un grupo cíclico , y decimos que este grupo es generado por${\displaystyle x}$Equivalente a decir un elemento${\displaystyle x}$genera un grupo está diciendo que${\displaystyle \langle x\rangle }$equivale a todo el grupo${\displaystyle G}$. Para grupos finitos , también es equivalente a decir que${\displaystyle x}$tiene orden${\displaystyle |G|}$.

Un grupo puede necesitar un número infinito de generadores. Por ejemplo, el grupo aditivo de números racionales.${\displaystyle \mathbb {Q} }$No es un conjunto finito generado. Está generado por los inversos de todos los números enteros, pero cualquier número finito de estos generadores puede eliminarse del conjunto generador sin que este deje de serlo. En tal caso, todos los elementos del conjunto generador son, no obstante, «elementos no generadores», al igual que todos los elementos del grupo completo  (véase el subgrupo de Frattini más adelante).

Si${\displaystyle G}$si es un grupo topológico, entonces es un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle G}$se denomina conjunto de generadores topológicos si${\displaystyle \langle S\rangle }$es denso en${\displaystyle G}$, es decir, el cierre de${\displaystyle \langle S\rangle }$es todo el grupo${\displaystyle G}$.

Si${\displaystyle S}$es finito, entonces un grupo${\displaystyle G=\langle S\rangle }$se denomina finitamente generado . La estructura de los grupos abelianos finitamente generados en particular se describe fácilmente. Muchos teoremas que son verdaderos para grupos finitamente generados no lo son para grupos en general. Se ha demostrado que si un grupo finito es generado por un subconjunto${\displaystyle S}$, entonces cada elemento del grupo puede expresarse como una palabra del alfabeto.${\displaystyle S}$de longitud menor o igual al orden del grupo.

Todo grupo finito es finitamente generado ya que${\displaystyle \langle G\rangle =G}$. Los enteros bajo la suma son un ejemplo de un grupo infinito que es finitamente generado tanto por 1 como por −1, pero el grupo de los racionales bajo la suma no puede ser finitamente generado. Ningún grupo no numerable puede ser finitamente generado. Por ejemplo, el grupo de los números reales bajo la suma,${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$.

Diferentes subconjuntos del mismo grupo pueden generar subconjuntos. Por ejemplo, si${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son enteros con mcd ( p , q ) = 1    , entonces${\displaystyle \{p,q\}}$también genera el grupo de enteros bajo la suma por la identidad de Bézout .

Si bien es cierto que todo cociente de un grupo finitamente generado es finitamente generado (las imágenes de los generadores en el cociente dan un conjunto generador finito), un subgrupo de un grupo finitamente generado no tiene por qué ser finitamente generado. Por ejemplo, sea${\displaystyle G}$ser el grupo libre en dos generadores,${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$(que claramente se genera de forma finita, ya que${\displaystyle G=\langle \{x,y\}\rangle }$), y deja${\displaystyle S}$sea ​​el subconjunto que consta de todos los elementos de${\displaystyle G}$de la forma${\displaystyle y^{n}xy^{-n}}$para algún número natural${\displaystyle n}$.${\displaystyle \langle S\rangle }$es isomorfo al grupo libre en una cantidad infinita numerable de generadores, por lo que no puede ser finitamente generado. Sin embargo, todo subgrupo de un grupo abeliano finitamente generado es en sí mismo finitamente generado. De hecho, se puede decir más: la clase de todos los grupos finitamente generados es cerrada bajo extensiones . Para ver esto, tomemos un conjunto generador para el subgrupo normal (finitamente generado) y el cociente. Entonces, los generadores para el subgrupo normal, junto con las preimágenes de los generadores para el cociente, generan el grupo.

• El grupo multiplicativo de los enteros módulo 9 , U ₉  =  {1,  2,  4,  5,  7,  8} , es el grupo de todos los enteros coprimos con  9 bajo la multiplicación módulo  9. El elemento 7 no es un generador de U ₉ , ya que$${\displaystyle \{7^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},}$$mientras que 2 es, ya que$${\displaystyle \{2^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.}$$
• El grupo simétrico S _n de grado n no se genera mediante ningún elemento individual (no es cíclico ) cuando n > 2. Sin embargo, en estos casos, S _n siempre se puede generar mediante dos permutaciones: en notación cíclica , la transposición (1 2) y el ciclo (1  2  3  ... n )  forman un conjunto generador. Por ejemplo, los 6 elementos de S ₃ se pueden generar a partir de los dos generadores, (1 2) y (1 2 3), como se muestra en el lado derecho de las siguientes ecuaciones (la composición es de izquierda a derecha):

  e = (1 2)(1 2)

  (1 2) = (1 2)

  (1 3) = (1 2)(1 2 3)

  (2 3) = (1 2 3)(1 2)

  (1 2 3) = (1 2 3)

  (1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

• Los grupos infinitos pueden tener conjuntos generadores finitos. El grupo aditivo de los enteros tiene  al 1 como conjunto generador. El elemento  2 no es un conjunto generador, ya que faltan los números impares. El subconjunto de dos elementos {3,  5} es un conjunto generador, puesto que ( − 5)  +  3  +  3  =  1 (de hecho, cualquier par de números coprimos lo es, como consecuencia de la identidad de Bézout ).
• El grupo diedral de un n -gono (que tiene orden 2 n ) está generado por el conjunto { r , s } , donde r representa una rotación de 2 π / n y s es cualquier reflexión respecto a una línea de simetría. ^{[ 1 ]}
• El grupo cíclico de orden${\displaystyle n}$,${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$y el${\displaystyle n}$^Las raíces enésimas de la unidad se generan todas a partir de un único elemento (de hecho, estos grupos son isomorfos entre sí). ^{[ 2 ]}
• Una representación de un grupo se define como un conjunto de generadores y una colección de relaciones entre ellos, por lo que cualquiera de los ejemplos enumerados en esa página contiene ejemplos de conjuntos generadores. ^{[ 3 ]}

El grupo más general generado por un conjunto${\displaystyle S}$es el grupo generado libremente por${\displaystyle S}$. Cada grupo generado por${\displaystyle S}$es isomorfo a un cociente de este grupo, una característica que se utiliza en la expresión de la presentación de un grupo .

Un tema complementario interesante es el de los no generadores . Un elemento${\displaystyle x}$del grupo${\displaystyle G}$es un no generador si cada conjunto${\displaystyle S}$que contiene${\displaystyle x}$que genera${\displaystyle G}$, todavía genera${\displaystyle G}$cuando${\displaystyle x}$se elimina de${\displaystyle S}$En los enteros con suma, el único no generador es 0. El conjunto de todos los no generadores forma un subgrupo de${\displaystyle G}$, el subgrupo Frattini .

Si${\displaystyle G}$Si se trata de un semigrupo o un monoide , aún se puede utilizar la noción de conjunto generador.${\displaystyle S}$de${\displaystyle G}$.${\displaystyle S}$es un conjunto generador de semigrupos/monoides de${\displaystyle G}$si${\displaystyle G}$es el semigrupo/monoide más pequeño que contiene${\displaystyle S}$.

Las definiciones de conjunto generador de un grupo mediante sumas finitas, dadas anteriormente, deben modificarse ligeramente cuando se trata de semigrupos o monoides. De hecho, esta definición ya no debería utilizar la noción de operación inversa. El conjunto${\displaystyle S}$Se dice que es un conjunto generador de semigrupos.${\displaystyle G}$si cada elemento de${\displaystyle G}$es una suma finita de elementos de${\displaystyle S}$. De manera similar, un conjunto${\displaystyle S}$Se dice que es un conjunto generador de monoides.${\displaystyle G}$si cada elemento distinto de cero de${\displaystyle G}$es una suma finita de elementos de${\displaystyle S}$.

Por ejemplo, {1} es un generador monoide del conjunto de números naturales.${\displaystyle \mathbb {N} }$El conjunto {1} es también un generador de semigrupos de los números naturales positivos.${\displaystyle \mathbb {N} _ {>0}}$Sin embargo, el entero 0 no puede expresarse como una suma (no vacía) de 1s, por lo tanto, {1} no es un generador de semigrupo de los números naturales.

De manera similar, mientras que {1} es un generador de grupo del conjunto de enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$, {1} no es un generador monoide del conjunto de los enteros. De hecho, el entero −1 no puede expresarse como una suma finita de 1s.

• Conjunto generador de significados relacionados en otras estructuras
• Presentación de un grupo
• Elemento primitivo (cuerpo finito)
• Gráfico de Cayley

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (tercera edición revisada  ), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001  
• Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos . Springer. ISBN 0-387-09212-9.

• Weisstein, Eric W. "Generadores de grupos" . MathWorld .