Álgebra genética

En genética matemática, un álgebra genética es un álgebra (posiblemente no asociativa ) que se utiliza para modelar la herencia en genética. Algunas variaciones de estas álgebras se denominan álgebras de tren , álgebras de tren especiales , álgebras gaméticas , álgebras de Bernstein , álgebras copulares , álgebras cigóticas y álgebras báricas (también llamadas álgebras ponderadas ). El estudio de estas álgebras fue iniciado por Ivor Etherington  (1939).

En las aplicaciones a la genética, estas álgebras suelen tener una base correspondiente a los gametos genéticamente diferentes , y las constantes de estructura del álgebra codifican las probabilidades de producir descendencia de varios tipos. Las leyes de la herencia se codifican entonces como propiedades algebraicas del álgebra.

Para estudios de álgebras genéticas, véase Bertrand (1966), Wörz-Busekros (1980) y Reed (1997).

Las álgebras báricas (o álgebras ponderadas) fueron introducidas por Etherington (1939). Un álgebra bárica sobre un cuerpo  K es un álgebra posiblemente no asociativa sobre  K junto con un homomorfismo  w , llamado el peso, del álgebra a  K . ^[1]

Un álgebra de Bernstein, basada en el trabajo de Sergei Natanovich Bernstein  (1923) sobre la ley de Hardy-Weinberg en genética, es un álgebra bárica B (posiblemente no asociativa) sobre un cuerpo K con un homomorfismo de pesos w de B a K que satisface . Toda álgebra de este tipo tiene idempotentes e de la forma con . La descomposición de Peirce de B correspondiente a e es ${\displaystyle (x^{2})^{2}=w(x)^{2}x^{2}}$${\displaystyle e=a^{2}}$${\displaystyle w(a)=1}$

${\displaystyle B=Ke\omás U_{e}\omás Z_{e}}$

donde y . Aunque estos subespacios dependen de e , sus dimensiones son invariantes y constituyen el tipo de B . Un álgebra de Bernstein excepcional es aquella con . ^[2]${\displaystyle U_{e}=\{a\in \ker w:ea=a/2\}}$${\displaystyle Z_{e}=\{a\in \ker w:ea=0\}}$$Estilo de visualización U_{e}^{2}=0}$

Las álgebras copulares fueron introducidas por Etherington (1939, sección 8)

Un álgebra evolutiva sobre un cuerpo es un álgebra con una base en la que la multiplicación se define por el producto de términos base distintos que son cero y el cuadrado de cada elemento base que es una forma lineal en elementos base. Un álgebra evolutiva real es una definida sobre los reales: es no negativa si las constantes de estructura en la forma lineal son todas no negativas. ^[3] Un álgebra evolutiva es necesariamente conmutativa y flexible pero no necesariamente asociativa o asociativa de potencias . ^[4]

Un álgebra gamética es un álgebra real de dimensión finita para la que todas las constantes de estructura se encuentran entre 0 y 1. ^[5]

Las álgebras genéticas fueron introducidas por Schafer (1949), quien demostró que las álgebras de trenes especiales son álgebras genéticas y las álgebras genéticas son álgebras de trenes.

Las álgebras de trenes especiales fueron introducidas por Etherington (1939, sección 4) como casos especiales de álgebras báricas.

Un álgebra de trenes especial es un álgebra bárica en la que el núcleo N de la función de peso es nilpotente y las potencias principales de N son ideales. ^[1]

Etherington (1941) demostró que las álgebras de trenes especiales son álgebras de trenes.

Las álgebras de trenes fueron introducidas por Etherington (1939, sección 4) como casos especiales de álgebras báricas.

Sean elementos del cuerpo K con . El polinomio formal ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle 1+c_{1}+\cdots +c_{n}=0}$

${\displaystyle x^{n}+c_{1}w(x)x^{n-1}+\cdots +c_{n}w(x)^{n}}$

es un polinomio de tren . El álgebra bárica B con peso w es un álgebra de tren si

${\displaystyle a^{n}+c_{1}w(a)a^{n-1}+\cdots +c_{n}w(a)^{n}=0}$

para todos los elementos , definidos como potencias principales, . ^{[1] [6]}${\displaystyle a\in B}$${\displaystyle a^{k}}$${\displaystyle (a^{k-1})a}$

Las álgebras cigóticas fueron introducidas por Etherington (1939, sección 7)

• Bernstein, SN (1923), "Principe de stationarité et généralisation de la loi de Mendel", CR Acad. Ciencia. París , 177 : 581–584.
• Bertrand, Monique (1966), Algèbres non associatives et algèbres génétiques , Mémorial des Sciences Mathématiques, Fasc. 162, Gauthier-Villars Éditeur, París, MR  0215885
• Etherington, IMH (1939), "Álgebras genéticas" (PDF) , Proc. R. Soc. Edimburgo , 59 : 242–258, MR  0000597, Zbl  0027.29402, archivado desde el original (PDF) el 2011-07-06
• Etherington, IMH (1941), "Álgebras de trenes especiales", The Quarterly Journal of Mathematics , Segunda serie, 12 : 1–8, doi :10.1093/qmath/os-12.1.1, ISSN  0033-5606, JFM  67.0093.04, MR  0005111, Zbl  0027.29401
• Lyubich, Yu.I. (2001) [1994], "El problema de Bernstein en la genética matemática", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Micali, A. (2001) [1994], "Álgebra bárica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Micali, A. (2001) [1994], "Álgebra de Bernstein", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Reed, Mary Lynn (1997), "Estructura algebraica de la herencia genética", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 34 (2): 107–130, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00712-X , ISSN  0002-9904, MR  1414973, Zbl  0876.17040
• Schafer, Richard D. (1949), "Estructura de las álgebras genéticas", American Journal of Mathematics , 71 : 121–135, doi :10.2307/2372100, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372100, MR  0027751
• Tian, ​​Jianjun Paul (2008), Álgebras de evolución y sus aplicaciones , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1921, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-74283-8, Zbl1136.17001 ​
• Wörz-Busekros, Angelika (1980), Álgebras en genética , Lecture Notes in Biomathematics, vol. 36, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-09978-1, Sr.  0599179
• Wörz-Busekros, A. (2001) [1994], "Álgebra genética", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

• Lyubich, Yu.I. (1983), Estructuras matemáticas en genética de poblaciones. (Matematicheskie struktury v populyatsionnoj genetike) (en ruso), Kiev: Naukova Dumka, Zbl  0593.92011