Número de Genocchi

En matemáticas , los números de Genocchi G _n , llamados así en honor a Angelo Genocchi , son una secuencia de enteros que satisfacen la relación

${\displaystyle {\frac {2t}{1+e^{t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }G_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}}$

Los primeros números de Genocchi son 0, 1, − 1, 0, 1, 0, − 3, 0, 17 (secuencia A226158 en el OEIS ) , ver OEIS : A001469  .

${\displaystyle G_{n}=2(1-2^{n})(-n\zeta (1-n)),}$^{[ 1 ]}

dónde${\displaystyle \zeta (1-n)}$es la función zeta de Riemann .

• La definición de función generadora de los números de Genocchi implica que son números racionales . De hecho, G _2n+1  =  0 para n ≥ 1 y ( − 1) ⁿ G _2n es un entero positivo impar .  
• Los números de Genocchi G _n están relacionados con los números de Bernoulli B _n mediante la fórmula

${\displaystyle G_{n}=2\,(1-2^{n})\,B_{n}.}$

La función generadora exponencial para los números de Genocchi pares con signo ( − 1) ⁿ G _2n es

${\displaystyle t\tan \left({\frac {t}{2}}\right)=\sum _{n\geq 1}(-1)^{n}G_{2n}{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}}$

Enumeran los siguientes objetos:

• Permutaciones en S _{2 n − 1} con descensos después de los números pares y ascensos después de los números impares.
• Permutaciones π en S _{2 n − 2} con 1 ≤ π (2 i − 1) ≤ 2 n − 2 i y 2 n − 2 i ≤ π (2 i ) ≤ 2 n − 2.        
• Pares ( a ₁ ,..., a _{n − 1} ) y ( b ₁ ,..., b _{n − 1} ) tales que a _i y b _i están entre 1 e i y cada k entre 1 y n − 1 ocurre al menos una vez entre los a _i y b _i .
• Invertir las permutaciones alternas a ₁  < a ₂ > a ₃ < a ₄ >...> a _{2 n − 1} de [2 n − 1] cuya tabla de inversión tiene solo entradas pares.      

Los únicos números primos conocidos que aparecen en la secuencia de Genocchi son 17, en n = 8, y −3, en n = 6 (dependiendo de cómo se definan los números primos). Se ha demostrado que no aparecen otros números primos en la secuencia.

• Número de Euler

• Weisstein, Eric W. "Número de Genocchi" . MathWorld .
• Richard P. Stanley (1999). Combinatoria enumerativa , Volumen 2 , Ejercicio 5.8. Cambridge University Press . ISBN 0-521-56069-1
• Gérard Viennot, Interprétations combinatoires des nombres d'Euler et de Genocchi , Seminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volumen 11 (1981-1982)
• Serkan Araci, Mehmet Acikgoz, Erdoğan Şen, Algunas nuevas identidades de números y polinomios de Genocchi