Desviación geodésica

En la relatividad general , si dos objetos se ponen en movimiento a lo largo de dos trayectorias inicialmente paralelas, la presencia de una fuerza gravitatoria de marea hará que las trayectorias se curven una hacia la otra o se alejen de ella, produciendo una aceleración relativa entre los objetos. ^{[ 1 ]}

Matemáticamente, la fuerza de marea en la relatividad general se describe mediante el tensor de curvatura de Riemann ^[ 1 ^{] y} la trayectoria de un objeto bajo la influencia exclusiva de la gravedad se denomina geodésica . La ecuación de desviación geodésica relaciona el tensor de curvatura de Riemann con la aceleración relativa de dos geodésicas vecinas. En geometría diferencial , la ecuación de desviación geodésica se conoce más comúnmente como la ecuación de Jacobi .

Para cuantificar la desviación geodésica, se comienza estableciendo una familia de geodésicas muy próximas entre sí, indexadas por una variable continua s y parametrizadas por un parámetro afín τ . Es decir, para cada s fijo , la curva barrida por γ _s ( τ ) a medida que τ varía es una geodésica. Al considerar la geodésica de un objeto masivo, a menudo es conveniente elegir τ como el tiempo propio del objeto . Si x ^μ ( s , τ ) son las coordenadas de la geodésica γ _s ( τ ) , entonces el vector tangente de esta geodésica es

${\displaystyle T^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial \tau }}.}$

Si τ es el tiempo propio, entonces T ^μ es la cuadrivelocidad del objeto que viaja a lo largo de la geodésica.

También se puede definir un vector de desviación , que es el desplazamiento de dos objetos que viajan a lo largo de dos geodésicas infinitesimalmente separadas:

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial s}}.}$

La aceleración relativa A ^μ de los dos objetos se define, aproximadamente, como la segunda derivada del vector de separación X ^μ a medida que los objetos avanzan a lo largo de sus respectivas geodésicas. Específicamente, A ^μ se obtiene calculando la derivada covariante direccional de X a lo largo de T dos veces:

${\displaystyle A^{\mu }=T^{\alpha }\nabla _{\alpha }\left(T^{\beta }\nabla _{\beta }X^{\mu }\right).}$

La ecuación de desviación geodésica relaciona A ^μ , T ^μ , X ^μ y el tensor de Riemann R ^μ _νρσ : ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle A^{\mu }={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

Una notación alternativa para la derivada covariante direccional${\displaystyle T^{\alpha }\nabla _{\alpha }}$es${\displaystyle D/d\tau }$, por lo que la ecuación de desviación geodésica también puede escribirse como

${\displaystyle {\frac {D^{2}X^{\mu }}{d\tau ^{2}}}={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

La ecuación de desviación geodésica puede derivarse de la segunda variación del lagrangiano de partículas puntuales a lo largo de geodésicas, o de la primera variación de un lagrangiano combinado. El enfoque lagrangiano presenta dos ventajas. En primer lugar, permite aplicar diversos métodos formales de cuantización al sistema de desviación geodésica. En segundo lugar, permite formular la desviación para objetos mucho más generales que las geodésicas (cualquier sistema dinámico con un momento indexado en un espaciotiempo parece tener una generalización correspondiente de la desviación geodésica).

La conexión entre la desviación geodésica y la aceleración de marea se puede ver más explícitamente examinando la desviación geodésica en el límite de campo débil , donde la métrica es aproximadamente Minkowski y se supone que las velocidades de las partículas de prueba son mucho menores que c . Entonces el vector tangente T ^μ es aproximadamente (1, 0, 0, 0); es decir, solo la componente temporal es distinta de cero.

Los componentes espaciales de la aceleración relativa vienen dados entonces por

${\displaystyle A^{i}={R^{i}}_{0j0}X^{j},}$

donde i y j solo recorren los índices espaciales 1, 2 y 3.

En el caso particular de una métrica correspondiente al potencial newtoniano Φ( x , y , z ) de un objeto masivo en x = y = z = 0, tenemos

${\displaystyle {R^{i}}_{0j0}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{i}\partial x^{j}}},}$

que es el tensor de marea del potencial newtoniano.

• Bernhard Riemann
• Curvatura
• Glosario de geometría riemanniana y métrica

• Stephani, Hans (1982), Relatividad general: una introducción a la teoría del campo gravitatorio , Cambridge University Press, ISBN 0-521-37066-3.
• Wald, Robert M. (1984), Relatividad general , University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87033-5.

• Relatividad general y cosmología cuántica
• Tensores y relatividad: desviación geodésica. Archivado el 16 de noviembre de 2011 en Wayback Machine.