Métrica intrínseca

En el estudio matemático de los espacios métricos , se puede considerar la longitud de arco de los caminos en el espacio. Si dos puntos se encuentran a una distancia dada entre sí, es natural esperar que se pueda ir del primer punto al segundo a lo largo de un camino cuya longitud de arco sea igual (o muy cercana) a esa distancia. La distancia entre dos puntos de un espacio métrico con respecto a la métrica intrínseca se define como el ínfimo de las longitudes de todos los caminos desde el primer punto al segundo. Un espacio métrico es un espacio métrico de longitud si la métrica intrínseca coincide con la métrica original del espacio.

Si un espacio posee la propiedad más fuerte de que siempre existe un camino que alcanza el ínfimo de longitud (una geodésica ), entonces se denomina espacio métrico geodésico . Por ejemplo, el plano euclidiano es un espacio geodésico, con segmentos de recta como sus geodésicas. El plano euclidiano sin el origen no es geodésico, pero sigue siendo un espacio métrico de longitud.

Dejar${\displaystyle (M,d)}$sea ​​un espacio métrico , es decir,${\displaystyle M}$es una colección de puntos (como todos los puntos en el plano o todos los puntos en el círculo) y${\displaystyle d}$es una función que devuelve la distancia entre puntos en${\displaystyle M}$Definimos una nueva métrica${\displaystyle d_{\text{I}}}$en${\displaystyle M}$, conocida como la métrica intrínseca inducida , de la siguiente manera: ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)}$es el ínfimo de las longitudes de todos los caminos desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$.

Aquí, un camino desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$es un mapa continuo

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\rightarrow M}$

con${\displaystyle \gamma (0)=x}$y${\displaystyle \gamma (1)=y}$La longitud de dicho camino se define de la siguiente manera: a cada partición finita

${\displaystyle P=\{0=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=1\}}$

del intervalo${\displaystyle [0,1]}$, considere la suma

${\displaystyle \Sigma (P)=\sum _{k=0}^{n-1}d(\gamma (x_{k}),\gamma (x_{k+1})).}$

Luego definimos la longitud de${\displaystyle \gamma }$ser

${\displaystyle \ell (\gamma )=\sup _{P\in {\mathfrak {P}}}\Sigma (P),}$

dónde${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$es el conjunto de particiones finitas de${\displaystyle [0,1]}$. Si el supremo es finito, lo llamamos${\displaystyle \gamma }$una curva rectificable . Tenga en cuenta que${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\infty }$si no hay camino desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$ya que el ínfimo del conjunto vacío dentro del intervalo cerrado [0,+∞] es  +∞.

El mapeo${\textstyle d\mapsto d_{\text{I}}}$es idempotente , es decir

${\displaystyle (d_{\text{I}})_{\text{I}}=d_{\text{I}}.}$

Si

${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)}$

para todos los puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle M}$, decimos que${\displaystyle (M,d)}$es un espacio de longitud o un espacio métrico de ruta y la métrica${\displaystyle d}$es intrínseco .

Decimos que la métrica${\displaystyle d}$tiene puntos medios aproximados si para alguno${\displaystyle \varepsilon >0}$y cualquier par de puntos ${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$ en${\displaystyle M}$existe${\displaystyle c}$en${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle d(x,c)}$y${\displaystyle d(c,y)}$son ambos más pequeños que

${\displaystyle {d(x,y) \over 2}+\varepsilon .}$

• espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Con la métrica euclidiana ordinaria, se obtiene un espacio métrico de caminos.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$También lo es.
• El círculo unitario${\displaystyle S^{1}}$con la métrica heredada de la métrica euclidiana de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(la métrica cordal ) no es un espacio métrico de caminos. La métrica intrínseca inducida en${\displaystyle S^{1}}$mide distancias como ángulos en radianes , y el espacio métrico de longitud resultante se llama círculo riemanniano . En dos dimensiones, la métrica de cuerda en la esfera no es intrínseca, y la métrica intrínseca inducida viene dada por la distancia del círculo máximo .
• Toda variedad riemanniana conexa puede transformarse en un espacio métrico de caminos definiendo la distancia entre dos puntos como el ínfimo de las longitudes de curvas continuamente diferenciables que conectan dichos puntos. (La estructura riemanniana permite definir la longitud de tales curvas). De forma análoga, otras variedades en las que se define una longitud incluyen las variedades de Finsler y las variedades subriemannianas .
• Todo espacio métrico completo y convexo es un espacio métrico de longitud ( Khamsi y Kirk, 2001 , Teorema 2.16) , resultado de Karl Menger . Sin embargo, lo contrario no se cumple; es decir, existen espacios métricos de longitud que no son convexos.

• En general, tenemos${\displaystyle d\leq d_{\text{I}}}$y la topología definida por${\displaystyle d_{\text{I}}}$es por lo tanto siempre más fino o igual que el definido por${\displaystyle d}$.
• El espacio${\displaystyle (M,d_{\text{I}})}$es siempre un espacio métrico de ruta (con la salvedad, como se mencionó anteriormente, de que${\displaystyle d_{\text{I}}}$puede ser infinito).
• La métrica de un espacio de longitud tiene puntos medios aproximados. Recíprocamente, todo espacio métrico completo con puntos medios aproximados es un espacio de longitud.
• El teorema de Hopf-Rinow establece que si un espacio de longitud${\displaystyle (M,d)}$es completo y localmente compacto entonces cualesquiera dos puntos en${\displaystyle M}$pueden conectarse mediante una geodésica minimizadora y todos los conjuntos cerrados acotados en${\displaystyle M}$son compactos .

• Herbert Busemann, Obras selectas, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volumen I, 908 págs., Springer International Publishing, 2018.

• Herbert Busemann, Obras selectas, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volumen II, 842 págs., Springer International Publishing, 2018.

• Gromov, Mikhail (1999), Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos , Progress in Math., vol.  152, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3898-9
• Khamsi, Mohamed A.; Kirk , William A. (2001), Introducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo , Wiley-IEEE, ISBN 0-471-41825-0