Marco Darboux

En cada punto p de una superficie orientada, se puede adjuntar un vector normal unitario u ( p ) de forma única, tan pronto como se haya elegido una orientación para la normal en cualquier punto fijo particular. Si γ ( s ) es una curva en S , parametrizada por la longitud de arco , entonces el marco de Darboux de γ se define por

${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$  (la unidad tangente )

${\displaystyle \mathbf {u} (s)=\mathbf {u} (\gamma (s)),}$  (la unidad normal )

${\displaystyle \mathbf {t} (s)=\mathbf {u} (s)\times \mathbf {T} (s),}$  (la tangente normal )

La tripleta T , t , u define una base ortonormal orientada positivamente unida a cada punto de la curva: un marco de referencia móvil natural a lo largo de la curva incrustada.

Nótese que un marco de Darboux para una curva no produce un marco móvil natural en la superficie, ya que aún depende de una elección inicial del vector tangente. Para obtener un marco móvil en la superficie, primero comparamos el marco de Darboux de γ con su marco de Frenet - Serret. Sea

• ${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$  (la unidad tangente , como se indicó anteriormente)
• ${\displaystyle \mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}},}$  (el vector normal de Frenet )
• ${\displaystyle \mathbf {B} (s)=\mathbf {T} (s)\times \mathbf {N} (s),}$  (el vector binormal de Frenet ).

Dado que los vectores tangentes son los mismos en ambos casos, existe un ángulo único α tal que una rotación en el plano de N y B produce el par t y u :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

Tomando un diferencial y aplicando las fórmulas de Frenet-Serret se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0&\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&-\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s\\-\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&0&\tau \,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \alpha \\\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s&-\tau \,\mathrm {d} s-\mathrm {d} \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

dónde:

• κ _g es la curvatura geodésica de la curva,
• κ _n es la curvatura normal de la curva, y
• τ _r es la torsión relativa (también llamada torsión geodésica ) de la curva.

La introducción del triedro (o triedro ), invención de Darboux, permite una simplificación conceptual del problema de los sistemas de referencia móviles sobre curvas y superficies, al tratar las coordenadas del punto en la curva y los vectores del sistema de referencia de manera uniforme. Un _{triedro consta} de un punto P en el espacio euclidiano y tres vectores ortonormales _e₁ , e₂ y e₃ con base en el punto P. Un triedro móvil es aquel cuyas componentes dependen de uno o más parámetros. Por ejemplo, un triedro se mueve a lo largo de una curva si el punto P depende de un único parámetro s , y P ( s ) describe la curva. De manera similar, si P ( s , t ) depende de un par de parámetros, entonces describe una superficie.

Se dice que un triedro está adaptado a una superficie si P siempre se encuentra sobre la superficie y e ₃ es la unidad normal orientada a la superficie en P . En el caso del marco de Darboux a lo largo de una curva incrustada, la cuádruple

( P ( s ) = γ ( s ), e ₁ ( s ) = T ( s ), e ₂ ( s ) = t ( s ), e ₃ ( s ) = u ( s ))

define un tetraedro adaptado a la superficie en la que está incrustada la curva.

En términos de este triedro, las ecuaciones estructurales son las siguientes:

${\displaystyle \mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\mathrm {d} s&0&0\\0&0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}.}$

Supongamos que cualquier otro triedro adaptado

( P , e ₁ , e ₂ , e ₃ )

se da para la curva incrustada. Dado que, por definición, P permanece el mismo punto en la curva que para el triedro de Darboux, y e ₃ = u es el vector normal unitario, este nuevo triedro está relacionado con el triedro de Darboux mediante una rotación de la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta &0\\0&-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}$

donde θ = θ( s ) es una función de s . Tomando una diferencial y aplicando la ecuación de Darboux se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {P} &=\mathbf {T} \mathrm {d} s=\omega ^{1}\mathbf {e} _{1}+\omega ^{2}\mathbf {e} _{2}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\sum _{j}\omega _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

donde las (ω ⁱ ,ω _i ^j ) son funciones de s , que satisfacen

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{1}&=\cos \theta \,\mathrm {d} s,\quad \omega ^{2}=-\sin \theta \,\mathrm {d} s\\\omega _{i}^{j}&=-\omega _{j}^{i}\\\omega _{1}^{2}&=\kappa _{g}\,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \theta \\\omega _{1}^{3}&=(\kappa _{n}\cos \theta +\tau _{r}\sin \theta )\,\mathrm {d} s\\\omega _{2}^{3}&=-(\kappa _{n}\sin \theta +\tau _{r}\cos \theta )\,\mathrm {d} s\end{aligned}}}$

El lema de Poincaré , aplicado a cada diferencial doble dd P , dd e _i , produce las siguientes ecuaciones de estructura de Cartan . Desde dd P = 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega ^{1}&=\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{1}\\\mathrm {d} \omega ^{2}&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{2}\\0&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{3}+\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\end{aligned}}}$

Desde dd e _i = 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega _{1}^{2}&=\omega _{1}^{3}\wedge \omega _{3}^{2}\\\mathrm {d} \omega _{1}^{3}&=\omega _{1}^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\\\mathrm {d} \omega _{2}^{3}&=\omega _{2}^{1}\wedge \omega _{1}^{3}\end{aligned}}}$

Estas últimas son las ecuaciones de Gauss-Codazzi para la superficie, expresadas en el lenguaje de las formas diferenciales.

Consideremos la segunda forma fundamental de S. Esta es la 2-forma simétrica en S dada por

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =-\mathrm {d} \mathbf {N} \cdot \mathrm {d} \mathbf {P} =\omega _{1}^{3}\odot \omega ^{1}+\omega _{2}^{3}\odot \omega ^{2}={\begin{pmatrix}\omega ^{1}&\omega ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ii_{11}&ii_{12}\\ii_{21}&ii_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega ^{1}\\\omega ^{2}\end{pmatrix}}.}$

Según el teorema espectral , existe un sistema de referencia ( e _i ) en el que ( ii _ij ) es una matriz diagonal . Los autovalores son las curvaturas principales de la superficie. Un sistema de referencia diagonalizador a ₁ , a ₂ , a ₃ consta del vector normal a ₃ y dos direcciones principales a ₁ y a _2. Este se denomina sistema de referencia de Darboux en la superficie. El sistema de referencia se define canónicamente (por ejemplo, mediante un ordenamiento de los autovalores) lejos de los puntos umbilicales de la superficie.

Un marco (euclidiano) en el espacio euclidiano E ⁿ es un análogo de mayor dimensión del triedro. Se define como una ( n  +  1)-tupla de vectores extraídos de E ⁿ , ( v ; f ₁ , ..., f _n ), donde:

• v es una elección de origen de E ⁿ , y
• ( f ₁ , ..., f _n ) es una base ortonormal del espacio vectorial basado en v .

Sea F ( n ) el conjunto de todos los marcos euclidianos. El grupo euclidiano actúa sobre F ( n ) de la siguiente manera. Sea φ ∈ Euc( n ) un elemento del grupo euclidiano que se descompone como

${\displaystyle \phi (x)=Ax+x_{0}}$

donde A es una transformación ortogonal y x ₀ es una traslación. Entonces, en un marco,

${\displaystyle \phi (v;f_{1},\dots ,f_{n}):=(\phi (v);Af_{1},\dots ,Af_{n}).}$

Geométricamente, el grupo afín mueve el origen de la forma habitual y actúa mediante una rotación sobre los vectores base ortogonales, ya que estos están "vinculados" a la elección particular del origen. Esta es una acción de grupo efectiva y transitiva , por lo que F ( n ) es un espacio homogéneo principal de Euc( n ).

Defina el siguiente sistema de funciones F ( n ) → E ⁿ : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}P(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=v\\e_{i}(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=f_{i},\qquad i=1,2,\dots ,n.\end{aligned}}}$

El operador de proyección P tiene una importancia especial. La imagen inversa de un punto P ^{− 1} ( v ) consiste en todas las bases ortonormales con punto base en v . En particular, P  : F ( n ) → E ⁿ presenta F ( n ) como un fibrado principal cuyo grupo de estructura es el grupo ortogonal O( n ). (De hecho, este fibrado principal es precisamente el fibrado tautológico del espacio homogéneo F ( n ) → F ( n )/O( n ) = E ⁿ .)

La derivada exterior de P (considerada como una forma diferencial con valores vectoriales ) se descompone de forma única como

${\displaystyle \mathrm {d} P=\sum _{i}\omega ^{i}e_{i},\,}$

para algún sistema de 1-formas escalares ω ⁱ . De manera similar, existe una matriz n × n de 1-formas (ω _i ^j ) tal que

${\displaystyle \mathrm {d} e_{i}=\sum _{j}\omega _{i}^{j}e_{j}.}$

Dado que los e _i son ortonormales bajo el producto interno del espacio euclidiano, la matriz de 1-formas ω _i ^j es antisimétrica . En particular, está determinada unívocamente por su parte triangular superior (ω _j ⁱ | i  < j ). El sistema de n ( n + 1)/2 1-formas (ω ⁱ , ω _j ⁱ ( i < j )) da un paralelismo absoluto de F ( n ), ya que los diferenciales de coordenadas pueden expresarse cada uno en términos de ellas. Bajo la acción del grupo euclidiano, estas formas se transforman de la siguiente manera. Sea φ la transformación euclidiana que consiste en una matriz de traslación v ⁱ y una matriz de rotación ( A _j ⁱ ). Entonces, lo siguiente se comprueba fácilmente por la invariancia de la derivada exterior bajo la imagen inversa :   

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega ^{i})=(A^{-1})_{j}^{i}\omega ^{j}}$

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega _{j}^{i})=(A^{-1})_{p}^{i}\,\omega _{q}^{p}\,A_{j}^{q}.}$

Además, por el lema de Poincaré , se tienen las siguientes ecuaciones de estructura:

${\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{i}=-\omega _{j}^{i}\wedge \omega ^{j}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \omega _{j}^{i}=-\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}$

Sea φ  : M → E ⁿ una incrustación de una variedad diferenciable p -dimensional en un espacio euclidiano. El espacio de marcos adaptados en M , denotado aquí por F _φ ( M ) es la colección de tuplas ( x ; f ₁ ,..., f _n ) donde x ∈ M , y los f _i forman una base ortonormal de E ⁿ tal que f ₁ ,..., f _p son tangentes a φ( M ) en φ( x ). ^{[ 2 ]}

Ya se han considerado varios ejemplos de marcos adaptados. El primer vector T del marco de Frenet - Serret ( T , N , B ) es tangente a una curva, y los tres vectores son mutuamente ortonormales. De manera similar, el marco de Darboux sobre una superficie es un ^marco ortonormal cuyos dos primeros vectores son tangentes a la superficie. Los marcos adaptados son útiles porque las formas invariantes (ωi ^, ωji ₎ se contraen a lo largo de φ, y las ecuaciones estructurales se conservan bajo esta contraposición. En consecuencia, el sistema de formas resultante proporciona información estructural sobre cómo M se sitúa dentro del espacio euclidiano. En el caso del marco de Frenet - Serret, las ecuaciones estructurales son precisamente las fórmulas de Frenet - Serret, y estas sirven para clasificar curvas completamente salvo movimientos euclidianos. El caso general es análogo: las ecuaciones estructurales para un sistema de marcos adaptado clasifican subvariedades inmersas arbitrarias salvo un movimiento euclidiano.

En detalle, la proyección π  : F ( M ) → M dada por π( x ; f _i ) = x da a F ( M ) la estructura de un fibrado principal en M (el grupo de estructura para el fibrado es O( p ) × O( n − p ).) Este fibrado principal se incrusta en el fibrado de marcos euclidianos F ( n ) mediante φ( v ; f _i ) := (φ( v ); f _i ) ∈ F ( n ). Por lo tanto, es posible definir las imágenes inversas de las formas invariantes de F ( n ):   

${\displaystyle \theta ^{i}=\phi ^{*}\omega ^{i},\quad \theta _{j}^{i}=\phi ^{*}\omega _{j}^{i}.}$

Dado que la derivada exterior es equivariante bajo retrocesos, se cumplen las siguientes ecuaciones estructurales.

${\displaystyle \mathrm {d} \theta ^{i}=-\theta _{j}^{i}\wedge \theta ^{j},\quad \mathrm {d} \theta _{j}^{i}=-\theta _{k}^{i}\wedge \theta _{j}^{k}.}$

Además, debido a que algunos de los vectores de marco f ₁ ... f _p son tangentes a M mientras que los otros son normales, las ecuaciones de estructura se dividen naturalmente en sus contribuciones tangenciales y normales. ^{[ 3 ]} Sea que los índices latinos en minúscula a , b , c varíen de 1 a p (es decir, los índices tangenciales) y los índices griegos μ, γ varíen de p +1 a n (es decir, los índices normales). La primera observación es que

${\displaystyle \theta ^{\mu }=0,\quad \mu =p+1,\dots ,n}$

puesto que estas formas generan la subvariedad φ( M ) (en el sentido del teorema de integración de Frobenius .)

El primer conjunto de ecuaciones estructurales ahora se convierte en:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta ^{a}=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}\\\\0=\mathrm {d} \theta ^{\mu }=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{\mu }\wedge \theta ^{b}\end{array}}\right\}\,\,\,(1)}$

De estos, el último implica por el lema de Cartan que

${\displaystyle \theta _{b}^{\mu }=s_{ab}^{\mu }\theta ^{a}}$

donde s ^μ _ab es simétrico en a y b (las segundas formas fundamentales de φ( M )). Por lo tanto, las ecuaciones (1) son las fórmulas de Gauss (ver ecuaciones de Gauss-Codazzi ). En particular, θ _b ^a es la forma de conexión para la conexión de Levi-Civita en M .

Las segundas ecuaciones estructurales también se dividen en lo siguiente:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta _{b}^{a}+\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{a}\wedge \theta _{b}^{c}=\Omega _{b}^{a}=-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{a}\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{b}^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{c}-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{\mu }^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{c}-\sum _{\delta =p+1}^{n}\theta _{\delta }^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{\delta }\end{array}}\right\}\,\,\,(2)}$

La primera ecuación es la ecuación de Gauss , que expresa la forma de curvatura Ω de M en términos de la segunda forma fundamental. La segunda es la ecuación de Codazzi - Mainardi , que expresa las derivadas covariantes de la segunda forma fundamental en términos de la conexión normal. La tercera es la ecuación de Ricci .