Geoide

El geoide ( / ˈ dʒ iː . ɔɪ d / JEE -oyd ) es la forma que adoptaría la superficie del océano bajo la influencia de la gravedad terrestre , incluyendo la atracción gravitatoria y la rotación de la Tierra , si no existieran otras influencias como los vientos y las mareas . Esta superficie se extiende a través de los continentes (como podría aproximarse con canales hipotéticos muy estrechos ). Según Carl Friedrich Gauss , quien lo describió por primera vez, es la " figura matemática de la Tierra ", una superficie lisa pero irregular cuya forma resulta de la distribución desigual de la masa dentro y sobre la superficie terrestre. ^{[ 2 ]} Solo puede conocerse mediante extensas mediciones y cálculos gravitatorios. A pesar de ser un concepto importante durante casi 200 años en la historia de la geodesia y la geofísica , no se definió con ningún grado de precisión hasta la llegada de la geodesia satelital a mediados del siglo XX. La matemática Gladys West fue la primera en sintetizar un geoide de alta fidelidad a partir de estos datos satelitales. El geoide es uno de los componentes esenciales de los sistemas de posicionamiento global basados ​​en satélites . ^{[ 3 ]}

El geoide se suele expresar como una ondulación o altura geoidal sobre un elipsoide de referencia , que es una esfera ligeramente achatada cuyo abultamiento ecuatorial se debe a la rotación del planeta. Generalmente, la altura geoidal aumenta donde el material terrestre es localmente más denso y ejerce mayor fuerza gravitatoria que las zonas circundantes. El geoide, a su vez, sirve como superficie de coordenadas de referencia para diversas coordenadas verticales , como alturas ortométricas , alturas geopotenciales y alturas dinámicas (véase Geodesia ).

Todos los puntos de la superficie del geoide poseen el mismo geopotencial (la suma de la energía potencial gravitatoria y la energía potencial centrífuga ). En esta superficie, salvo fluctuaciones mareales temporales, la fuerza de gravedad actúa perpendicularmente al geoide, lo que significa que las plomadas apuntan perpendicularmente y los niveles de burbuja son paralelos al geoide. Ser un geopotencial equigeocéntrico implica que el geoide corresponde a la superficie libre del agua en reposo (si solo actuaran la gravedad y la aceleración rotacional de la Tierra); esta condición también es suficiente para que una bola permanezca en reposo en lugar de rodar sobre el geoide. Por lo tanto, la aceleración gravitatoria de la Tierra (la derivada vertical del geopotencial) no es uniforme sobre el geoide. ^{[ 4 ]}

La superficie del geoide es irregular, a diferencia del elipsoide de referencia (que es una representación matemática idealizada de la Tierra física como un elipsoide ), pero es considerablemente más lisa que la superficie física de la Tierra. Si bien el "suelo" de la Tierra presenta variaciones del orden de +8800 m ( Monte Everest ) y -11 000 m ( Fosa de las Marianas ), la desviación del geoide respecto a un elipsoide oscila entre +85  m (Islandia) y -106  m (sur de la India), menos de 200 m en total. ^{[ 5 ]}

Si el océano tuviera una densidad constante y no estuviera afectado por mareas, corrientes ni condiciones climáticas, su superficie se asemejaría al geoide. La desviación permanente entre el geoide y el nivel medio del mar se denomina topografía de la superficie oceánica . Si las masas continentales estuvieran surcadas por una serie de túneles o canales, el nivel del mar en dichos canales también coincidiría casi exactamente con el geoide. Los geodestas pueden determinar la altura de los puntos continentales sobre el geoide mediante la nivelación .

Al ser una superficie equipotencial , el geoide es, por definición, una superficie sobre la cual la fuerza de gravedad es perpendicular en todas partes, salvo por las fluctuaciones temporales de las mareas. Esto significa que, al viajar en barco, no se percibe la ondulación del geoide ; si se ignoran las mareas, la vertical local (plomada) siempre es perpendicular al geoide y el horizonte local tangente a él. Del mismo modo, los niveles de burbuja siempre serán paralelos al geoide.

Ejemplo simplificado

El campo gravitatorio terrestre no es uniforme. Generalmente se utiliza un esferoide achatado como representación ideal de la Tierra, pero incluso si fuera esférica y no rotara, la intensidad de la gravedad no sería la misma en todas partes debido a las variaciones de densidad en todo el planeta. Esto se debe a la distribución del magma, la densidad y el peso de las diferentes composiciones geológicas de la corteza terrestre , las cordilleras, las fosas oceánicas, la compactación de la corteza por los glaciares, etc.

Si esa esfera se cubriera de agua, el nivel del agua no sería uniforme en todas partes. En cambio, estaría más alto o más bajo con respecto al centro de la Tierra, dependiendo de la integral de la fuerza de gravedad desde el centro de la Tierra hasta ese punto. El nivel del geoide coincide con el nivel del agua. Generalmente, el geoide se eleva donde la materia terrestre es localmente más densa, ejerce mayor fuerza gravitatoria y atrae más agua de la zona circundante.

La ondulación del geoide (también conocida como altura del geoide o anomalía del geoide ), N , es la altura del geoide en relación con un elipsoide de referencia dado : $${\displaystyle N=hH.}$$ La ondulación no está estandarizada, ya que diferentes países utilizan diferentes niveles medios del mar como referencia, pero lo más común es que se refiera al geoide EGM96 .

En mapas y uso común, la altura sobre el nivel medio del mar (como la altura ortométrica , H ) se utiliza para indicar la altura de las elevaciones, mientras que la altura elipsoidal , h , resulta del sistema GPS y GNSS similares : $${\displaystyle H=hN.}$$ (Existe una relación análoga entre las alturas normales y el cuasigeoide , que no tiene en cuenta las variaciones de densidad local). En la práctica, muchos receptores GPS portátiles interpolan N en un mapa geoide precalculado (una tabla de consulta ). ^{[ 6 ]}

Así, un receptor GPS a bordo de un barco puede, durante un viaje largo, indicar variaciones de altura, aunque el barco se encuentre siempre al nivel del mar (sin tener en cuenta los efectos de las mareas). Esto se debe a que los satélites GPS , que orbitan alrededor del centro de gravedad de la Tierra, solo pueden medir alturas con respecto a un elipsoide de referencia geocéntrico. Para obtener la altura ortométrica , es necesario corregir la lectura GPS sin procesar. Por el contrario, la altura determinada mediante nivelación con un mareógrafo , como en la topografía tradicional, se aproxima más a la altura ortométrica. Los receptores GPS modernos incorporan una cuadrícula en su software que les permite obtener, a partir de la posición actual, la altura del geoide (por ejemplo, el geoide EGM96) sobre el elipsoide del Sistema Geodésico Mundial (WGS). De esta forma, pueden corregir la altura sobre el elipsoide WGS a la altura sobre el geoide EGM96. Cuando la altura de un barco no es cero, la discrepancia se debe a otros factores como las mareas oceánicas, la presión atmosférica (efectos meteorológicos), la topografía local de la superficie del mar y las incertidumbres de medición.

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  Ondulación del geoide en pseudocolor , relieve sombreado y exageración vertical (factor de escala vertical de 10000).
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  Ondulación del geoide en pseudocolor, sin exageración vertical.
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  Perfil meridional de la ondulación del geoide (rojo) en relación con el elipsoide de referencia (negro), muy exagerado; véase también la forma de pera de la Tierra.
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  Perfil ecuatorial de la ondulación del geoide (rojo) en relación con el elipsoide de referencia (negro), muy exagerado; véase también Tierra triaxial

La ondulación del geoide N está estrechamente relacionada con el potencial perturbador T según la fórmula de Bruns (que lleva el nombre de Heinrich Bruns ):

${\displaystyle N=T/\gamma \,,}$

dónde${\displaystyle \gamma }$es la fuerza de gravedad normal , calculada a partir del potencial del campo normal${\displaystyle U}$.

Otra forma de determinar N es utilizando valores de anomalía gravitatoria.${\displaystyle \Delta g}$, diferencias entre la gravedad de referencia verdadera y normal, segúnFórmula de Stokes (ointegral de Stokes), publicada en 1849 porGeorge Gabriel Stokes:

${\displaystyle N={\frac {R}{4\pi \gamma _{0}}}\iint _{\sigma }\Delta g\,S(\psi )\,d\sigma .}$

El núcleo integral S , llamado función de Stokes , fue derivado por Stokes en forma analítica cerrada. ^{[ 7 ]} Nótese que la determinación${\displaystyle N}$en cualquier lugar de la Tierra según esta fórmula se requiere${\displaystyle \Delta g}$ser conocido en todas partes de la Tierra , incluidos océanos, zonas polares y desiertos. Para las mediciones gravimétricas terrestres, esto es prácticamente imposible, a pesar de la estrecha cooperación internacional dentro de la Asociación Internacional de Geodesia (IAG), por ejemplo, a través de la Oficina Internacional de Gravedad (BGI, Bureau Gravimétrique International).

Otro método para determinar el geoide consiste en combinar múltiples fuentes de información: no solo la gravimetría terrestre, sino también datos geodésicos satelitales sobre la forma de la Tierra, obtenidos mediante el análisis de perturbaciones orbitales de satélites y, más recientemente, de misiones de gravedad satelital como GOCE y GRACE . En estas soluciones combinadas, la parte de baja resolución de la solución del geoide la proporcionan los datos satelitales, mientras que una versión "ajustada" de la ecuación de Stokes mencionada anteriormente se utiliza para calcular la parte de alta resolución, a partir de datos gravimétricos terrestres de una vecindad del punto de evaluación únicamente.

Calcular la ondulación es matemáticamente complejo. ^{[ 8 ] [ 9 ]} La solución precisa del geoide propuesta por Petr Vaníček y colaboradores mejoró el enfoque de Stokes para el cálculo del geoide. ^{[ 10 ]} Su solución permite una precisión de milímetros a centímetros en el cálculo del geoide , una mejora de un orden de magnitud con respecto a las soluciones clásicas anteriores. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

Las ondulaciones del geoide presentan incertidumbres que pueden estimarse mediante diversos métodos, como la colocación por mínimos cuadrados (LSC), la lógica difusa , las redes neuronales artificiales , las funciones de base radial (RBF) y las técnicas geoestadísticas . El enfoque geoestadístico se ha definido como la técnica más eficaz para la predicción de la ondulación del geoide. ^{[ 15 ]}

Las variaciones en la altura de la superficie geoidal están relacionadas con distribuciones de densidad anómalas dentro de la Tierra. Por lo tanto, las mediciones del geoide ayudan a comprender la estructura interna del planeta. Los cálculos sintéticos muestran que la firma geoidal de una corteza engrosada (por ejemplo, en cinturones orogénicos producidos por colisión continental ) es positiva, opuesta a lo que cabría esperar si el engrosamiento afectara a toda la litosfera . La convección del manto también cambia la forma del geoide con el tiempo. ^{[ 16 ]}

La superficie del geoide es más alta que el elipsoide de referencia dondequiera que haya una anomalía gravitatoria positiva o un potencial perturbador negativo (exceso de masa) y más baja que el elipsoide de referencia dondequiera que haya una anomalía gravitatoria negativa o un potencial perturbador positivo (déficit de masa). ^{[ 17 ]}

Esta relación se comprende mejor si recordamos que el potencial gravitatorio se define con valores negativos y es inversamente proporcional a la distancia al cuerpo. Así, un exceso de masa intensifica la aceleración gravitatoria, pero disminuye el potencial gravitatorio. En consecuencia, la superficie equipotencial que define el geoide se encontrará desplazada en dirección opuesta al exceso de masa. De forma análoga, un déficit de masa debilita la atracción gravitatoria, pero aumenta el geopotencial a una distancia determinada, lo que provoca que el geoide se desplace hacia la zona con déficit de masa.

La presencia de una inclusión localizada en el medio circundante rotará ligeramente los vectores de aceleración gravitatoria hacia o lejos de un cuerpo más denso o más ligero, respectivamente, causando una protuberancia o hendidura en la superficie equipotencial. ^{[ 18 ]}

La mayor desviación absoluta se encuentra en el Bajo Geoide del Océano Índico , 106 metros por debajo del nivel medio del mar. ^{[ 19 ]} Otra característica importante es el Alto Geoide del Atlántico Norte (o Elevación del Geoide del Atlántico Norte), causado en parte por el peso de la capa de hielo sobre América del Norte y el norte de Europa durante la Edad de Hielo del Cenozoico Tardío . ^{[ 20 ]}

Las misiones satelitales recientes, como el Explorador de Campo Gravitatorio y Circulación Oceánica en Estado Estacionario (GOCE) y GRACE , han permitido el estudio de señales de geoide variables en el tiempo. Los primeros productos basados ​​en datos del satélite GOCE estuvieron disponibles en línea en junio de 2010, a través de la Agencia Espacial Europea. ^{[ 21 ] [ 22 ]} La ESA lanzó el satélite en marzo de 2009 en una misión para mapear la gravedad de la Tierra con una precisión y resolución espacial sin precedentes. El 31 de marzo de 2011, se presentó un nuevo modelo de geoide en el Cuarto Taller Internacional de Usuarios de GOCE organizado en la Universidad Técnica de Múnich , Alemania. ^{[ 23 ]} Los estudios que utilizan el geoide variable en el tiempo calculado a partir de datos de GRACE han proporcionado información sobre ciclos hidrológicos globales, ^{[ 24 ]} balances de masa de capas de hielo , ^{[ 25 ]} y rebote postglacial . ^{[ 26 ]} A partir de mediciones de rebote postglacial, los datos variables en el tiempo de GRACE se pueden utilizar para deducir la viscosidad del manto terrestre . ^{[ 27 ]}

Los armónicos esféricos se utilizan a menudo para aproximar la forma del geoide. El mejor conjunto actual de coeficientes de armónicos esféricos es EGM2020 (Modelo Gravitacional Terrestre 2020), determinado en un proyecto de colaboración internacional liderado por la Agencia Nacional de Imágenes y Cartografía (ahora Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial , o NGA). La descripción matemática de la parte no rotatoria de la función potencial en este modelo es: ^{[ 28 ]}$${\displaystyle V={\frac {GM}{r}}\left(1+{\sum _{n=2}^{n_{\text{max}}}}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}{\sum _{m=0}^{n}}{\overline {P}}_{nm}(\sin \phi )\left[{\overline {C}}_{nm}\cos m\lambda +{\overline {S}}_{nm}\sin m\lambda \right]\right),}$$ dónde${\displaystyle \phi \ }$y${\displaystyle \lambda \ }$son la latitud y la longitud geocéntricas (esféricas) respectivamente,${\displaystyle {\overline {P}}_{nm}}$son los polinomios de Legendre asociados totalmente normalizados de grado${\displaystyle n\ }$y orden${\displaystyle m\ }$, y${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$y${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$son los coeficientes numéricos del modelo basados ​​en datos medidos. La ecuación anterior describe el potencial gravitatorio de la Tierra.${\displaystyle V}$, no el geoide en sí, en la ubicación${\displaystyle \phi ,\;\lambda ,\;r,\ }$la coordenada${\displaystyle r\ }$siendo el radio geocéntrico , es decir, la distancia desde el centro de la Tierra. El geoide es una superficie equipotencial particular, ^{[ 28 ]} y su cálculo es algo complejo. El gradiente de este potencial también proporciona un modelo de la aceleración gravitacional. El EGM96 más utilizado contiene un conjunto completo de coeficientes hasta el grado y orden 360 (es decir,${\displaystyle n_{\text{max}}=360}$), describiendo detalles en el geoide global tan pequeños como 55  km (o 110  km, dependiendo de la definición de resolución). El número de coeficientes,${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$y${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$, se puede determinar observando primero en la ecuación para${\displaystyle V}$que para un valor específico de${\displaystyle n}$Hay dos coeficientes para cada valor de${\displaystyle m}$excepto${\displaystyle m=0}$. Solo hay un coeficiente cuando${\displaystyle m=0}$desde${\displaystyle \sin(0\lambda )=0}$. Por lo tanto, existen${\displaystyle (2n+1)}$coeficientes para cada valor de${\displaystyle n}$. Utilizando estos hechos y la fórmula,${\textstyle \sum _{I=1}^{L}I={\frac {1}{2}}L(L+1)}$De ello se deduce que el número total de coeficientes viene dado por $${\displaystyle \sum _{n=2}^{n_{\text{max}}}(2n+1)=n_{\text{max}}(n_{\text{max}}+1)+n_{\text{max}}-3=130317,}$$ utilizando el valor EGM96 de${\displaystyle n_{\text{max}}=360}$.

Para muchas aplicaciones, la serie completa es innecesariamente compleja y se trunca después de unos pocos (quizás varias docenas) términos.

Aun así, se han desarrollado modelos de resolución aún mayor. Muchos de los autores de EGM96 han publicado EGM2008. Este incorpora gran parte de los nuevos datos de gravedad satelital (por ejemplo, el Experimento de Recuperación de la Gravedad y el Clima ) y admite hasta el grado y orden 2160 (1/6 de grado, que requiere más de 4 millones de coeficientes), ^{[ 29 ]} con coeficientes adicionales que se extienden hasta el grado 2190 y el orden 2159. ^{[ 30 ]} EGM2020 es el seguimiento internacional que originalmente estaba programado para 2020 (todavía sin publicarse en 2025), que contiene el mismo número de armónicos generados con mejores datos. ^{[ 31 ]}

• Desviación de la vertical
• Datum geodésico
• Geopotencial
• Marco de Referencia Terrestre Internacional
• Geodesia física
• geoide planetario
  • Areoides (geoide de Marte)
  • Selenoide (geoide de la Luna)

• Página web de la NGA sobre modelos gravitacionales de la Tierra
• Página web de la NASA sobre EGM96
• Página web de la NOAA sobre modelos geoidales
• Centro Internacional de Modelos Terrestres Globales (ICGEM)
• Servicio Internacional para el Geoide (ISG)