Geodesia

La geodesia ( / dʒ iː ˈ ɒ d ɪ s i / , jee- OD -iss-ee ) o geodésica ^{[ 1 ]} es la ciencia de medir y representar la geometría , la gravedad y la orientación espacial de la Tierra en un espacio 3D que varía temporalmente . Se denomina geodesia planetaria cuando se estudian otros cuerpos astronómicos , como planetas o sistemas circumplanetarios . ^{[ 2 ]} Entre los títulos profesionales en geodesia se incluyen geodesta y topógrafo geodésico . ^{[ 3 ]}

Mediante observaciones de gran precisión , la geodesia proporciona la base científica para la cartografía , la navegación y el posicionamiento , y respalda aplicaciones como el desarrollo de infraestructuras (incluida la construcción ), la gestión de recursos naturales , la exploración minera y la geofísica . Sus mediciones sustentan los modernos sistemas de referencia geoespaciales utilizados en el transporte , los sistemas satelitales , el comercio mundial y la medición del tiempo .

Los fenómenos geodinámicos , incluidos el movimiento de la corteza terrestre , las mareas y el movimiento polar , se estudian mediante redes de control globales y nacionales , geodesia espacial y técnicas geodésicas terrestres, y el uso de sistemas de referencia y coordenadas .

La geodesia se originó en la antigüedad precientífica , por lo que la palabra geodesia proviene del término griego antiguo γεωδαισία o geodaisia ​​(literalmente, "división de la Tierra"). ^{[ 4 ]}

Las primeras ideas sobre la forma de la Tierra sostenían que la Tierra era plana y los cielos una bóveda física que la cubría. ^{[ 5 ]} Dos argumentos iniciales a favor de una Tierra esférica fueron que los eclipses lunares aparecen para un observador como sombras circulares y que Polaris aparece cada vez más abajo en el cielo para un viajero que se dirige al sur. ^{[ 6 ]}

La geodesia se refiere a la ciencia de medir y representar información geoespacial , mientras que la geomática abarca las aplicaciones prácticas de la geodesia a escalas locales y regionales, incluyendo la topografía .

La geodesia se originó como la ciencia de medir y comprender la forma geométrica de la Tierra, su orientación en el espacio y su campo gravitatorio; ahora también se aplica a otros cuerpos astronómicos del Sistema Solar . ^{[ 2 ]}

En gran medida, la forma de la Tierra es resultado de la rotación , que provoca su abultamiento ecuatorial , y de la interacción de procesos geológicos como la colisión de placas y el vulcanismo , contrarrestados por el campo gravitatorio terrestre. Esto se aplica a la superficie sólida, la superficie líquida ( topografía dinámica de la superficie marina ) y la atmósfera terrestre . Por esta razón, el estudio del campo gravitatorio terrestre se denomina geodesia física .

El geoide es, esencialmente, la figura de la Tierra abstraída de sus características topográficas . Es una superficie de equilibrio idealizada del agua de mar , la superficie media del nivel del mar en ausencia de corrientes y variaciones de la presión atmosférica , y se extiende bajo las masas continentales. A diferencia de un elipsoide de referencia , el geoide es irregular y demasiado complejo para servir como superficie de cálculo para resolver problemas geométricos como el posicionamiento de puntos. La separación geométrica entre el geoide y un elipsoide de referencia se denomina ondulación geoidal , y varía globalmente entre ±110 m según el elipsoide GRS 80.

Un elipsoide de referencia, habitualmente elegido del mismo tamaño (volumen) que el geoide, se describe mediante su semieje mayor (radio ecuatorial) a y su achatamiento f . La cantidad f = ⁠ a − b / a ⁠ , donde b es el semieje menor (radio polar), es puramente geométrica. La elipticidad mecánica de la Tierra (achatamiento dinámico, símbolo J ₂ ) puede determinarse con alta precisión mediante la observación de perturbaciones en la órbita de los satélites . Su relación con el achatamiento geométrico es indirecta y depende de la distribución interna de la densidad o, en términos más simples, del grado de concentración central de masa.

El Sistema de Referencia Geodésico de 1980 ( GRS 80 ), adoptado en la XVII Asamblea General de la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica ( IUGG ), estableció un semieje mayor de 6.378.137 m y un achatamiento de 1:298,257. El GRS 80 constituye la base del posicionamiento geodésico mediante el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) y, por lo tanto, se utiliza ampliamente fuera del ámbito geodésico. Numerosos sistemas empleados para cartografía están quedando obsoletos a medida que los países adoptan cada vez más sistemas de referencia geocéntricos globales que utilizan el elipsoide de referencia GRS 80.

El geoide es una superficie «realizable», lo que significa que puede ubicarse de forma consistente en la Tierra mediante mediciones sencillas y adecuadas realizadas con objetos físicos como un mareógrafo . Por lo tanto, el geoide puede considerarse una superficie física («real»). Sin embargo, el elipsoide de referencia tiene muchas instancias posibles y no es fácilmente realizable, por lo que es una superficie abstracta. La tercera superficie principal de interés geodésico —la superficie topográfica de la Tierra— también es realizable.

La ubicación de los puntos en el espacio tridimensional se describe de forma más conveniente mediante tres coordenadas cartesianas o rectangulares: X , Y y Z. Desde la llegada del posicionamiento por satélite, estos sistemas de coordenadas suelen ser geocéntricos , con el eje Z alineado con el eje de rotación (convencional o instantáneo) de la Tierra.

Antes de la era de la geodesia satelital , los sistemas de coordenadas asociados a un datum geodésico intentaban ser geocéntricos , pero con un origen que difería del geocentro en cientos de metros debido a desviaciones regionales en la dirección de la vertical . Estos datums geodésicos regionales, como ED 50 (Datum Europeo 1950) o NAD 27 (Datum Norteamericano 1927), tienen elipsoides asociados que son los "mejores ajustes" regionales a los geoides dentro de sus áreas de validez, minimizando las desviaciones de la vertical en dichas áreas.

Es precisamente porque los satélites GPS orbitan alrededor del geocentro que este punto se convierte naturalmente en el origen de un sistema de coordenadas definido por medios geodésicos satelitales, ya que las posiciones de los satélites en el espacio se calculan dentro de dicho sistema.

Los sistemas de coordenadas geocéntricas utilizados en geodesia se pueden dividir naturalmente en dos clases:

1. Los sistemas de referencia inerciales , donde los ejes de coordenadas conservan su orientación relativa a las estrellas fijas o, equivalentemente, a los ejes de rotación de giroscopios ideales . El eje X apunta al equinoccio vernal .
2. Los sistemas de referencia corrotantes (también ECEF o "Earth Centred, Earth Fixed"), en los que los ejes están "fijos" al cuerpo sólido de la Tierra. El eje X se encuentra dentro del plano meridiano del observatorio de Greenwich .

La transformación de coordenadas entre estos dos sistemas, con buena aproximación, se describe mediante el tiempo sideral (aparente) , que tiene en cuenta las variaciones en la rotación axial de la Tierra ( variaciones en la duración del día ). Una descripción más precisa también considera el movimiento polar , un fenómeno que los geodestas monitorean de cerca.

Sistemas de coordenadas en el plano

En aplicaciones geodésicas como la topografía y la cartografía , se utilizan dos tipos generales de sistemas de coordenadas en el plano:

1. Plano-polar , con puntos en el plano definidos por su distancia, s , desde un punto especificado a lo largo de un rayo que tiene una dirección α desde una línea base o eje.
2. Rectangular , con puntos definidos por distancias a dos ejes mutuamente perpendiculares, x e y . Contrariamente a la convención matemática, en la práctica geodésica, el eje x apunta al Norte y el eje y al Este .

Se pueden usar intuitivamente coordenadas rectangulares en el plano para la ubicación actual, en cuyo caso el eje x apuntará al norte local. De forma más formal, dichas coordenadas se pueden obtener a partir de coordenadas 3D mediante una proyección cartográfica . Es imposible proyectar la superficie curva de la Tierra sobre un mapa plano sin deformarla. La solución de compromiso más utilizada —llamada proyección conforme— conserva los ángulos y las proporciones de longitud, de modo que los círculos pequeños se representan como círculos pequeños y los cuadrados pequeños como cuadrados.

Un ejemplo de este tipo de proyección es la UTM (Proyección Universal Transversa de Mercator ). En el plano cartográfico, tenemos coordenadas rectangulares x e y . En este caso, la dirección norte utilizada como referencia es el norte cartográfico , no el norte local . La diferencia entre ambos se denomina convergencia meridiana .

Es bastante sencillo "trasladar" entre coordenadas polares y rectangulares en el plano: sean, como se indicó anteriormente, la dirección y la distancia α y s respectivamente; entonces tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=s\cos \alpha \\y&=s\sin \alpha \end{aligned}}}$

La transformación inversa viene dada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\alpha &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}}$

En geodesia, las alturas de puntos o terrenos se definen " sobre el nivel del mar " como una superficie irregular y físicamente definida. Los sistemas de alturas en uso son:

1. alturas ortométricas
2. alturas dinámicas
3. Alturas geopotenciales
4. alturas normales

^{Cada sistema tiene sus ventajas y desventajas. Tanto las alturas ortométricas como las} normales se expresan en metros sobre el nivel del mar, mientras que los números geopotenciales son medidas de energía potencial (unidad: m²s⁻² ⁾ y no métricas. La superficie de referencia es el geoide , una superficie equigeopotencial que se aproxima al nivel medio del mar , como se describió anteriormente. Para las alturas normales, la superficie de referencia es el llamado cuasi-geoide , que se separa del geoide por unos pocos metros debido a la suposición de densidad en su continuación bajo las masas continentales. ^{[ 7 ]}

Estas alturas pueden relacionarse, mediante el concepto de ondulación del geoide, con las alturas elipsoidales (también conocidas como alturas geodésicas ), que representan la altura de un punto sobre el elipsoide de referencia . Los receptores de posicionamiento por satélite suelen proporcionar alturas elipsoidales, a menos que estén equipados con un software de conversión especial basado en un modelo del geoide.

Dado que las coordenadas y alturas de los puntos geodésicos siempre se obtienen dentro de un sistema construido a partir de observaciones del mundo real, los geodestas introdujeron el concepto de "datum geodésico" (plural: datums ): una realización física (del mundo real) de un sistema de coordenadas utilizado para describir la ubicación de puntos. Esta realización se obtiene al elegir valores de coordenadas (por lo tanto, convencionales) para uno o más puntos de referencia. En el caso de los datos de altura, basta con elegir un punto de referencia: el punto de referencia, generalmente un mareógrafo en la costa. Así, tenemos datums verticales, como el NAVD 88 (North American Vertical Datum 1988), el NAP ( Normaal Amsterdams Peil ), el datum de Kronstadt, el datum de Trieste y muchos otros.

Tanto en matemáticas como en geodesia, un sistema de coordenadas se denomina «sistema de coordenadas» según la terminología ISO , mientras que el Servicio Internacional de Rotación Terrestre y Sistemas de Referencia (IERS) utiliza el término «sistema de referencia». Cuando las coordenadas se obtienen eligiendo puntos de referencia y fijando un datum geodésico, la ISO habla de un «sistema de referencia de coordenadas», mientras que el IERS utiliza un «marco de referencia». El término ISO para una transformación de datum es, de nuevo, «transformación de coordenadas». ^{[ 8 ]}

El geoposicionamiento general , o simplemente posicionamiento, consiste en determinar la ubicación de puntos en la Tierra mediante diversas técnicas. El posicionamiento geodésico emplea métodos geodésicos para determinar un conjunto de coordenadas geodésicas precisas de un punto en tierra, mar o espacio. Puede realizarse dentro de un sistema de coordenadas ( posicionamiento de punto o posicionamiento absoluto ) o en relación con otro punto ( posicionamiento relativo ). La posición de un punto en el espacio se calcula a partir de mediciones que vinculan puntos terrestres o extraterrestres de ubicación conocida ("puntos conocidos") con puntos terrestres de ubicación desconocida ("puntos desconocidos"). El cálculo puede implicar transformaciones entre sistemas de coordenadas astronómicas y terrestres. Los puntos conocidos utilizados en el posicionamiento de punto pueden ser estaciones de referencia GNSS de operación continua o puntos de triangulación de una red de orden superior.

Tradicionalmente, los geodestas construían una jerarquía de redes para permitir la localización de puntos dentro de un país. En el nivel más alto de esta jerarquía se encontraban las redes de triangulación, densificadas en redes de poligonales ( polígonos ) a las que se unían las mediciones locales de cartografía y topografía, generalmente recopiladas con una cinta métrica, un prisma angular y postes rojos y blancos.

Actualmente, el GPS es de uso común, salvo para mediciones especializadas (por ejemplo, en ingeniería subterránea o de alta precisión). Las redes de orden superior se miden con GPS estático , utilizando la medición diferencial para determinar vectores entre puntos terrestres. Estos vectores se ajustan posteriormente de forma convencional. Un poliedro global de estaciones GPS de funcionamiento permanente bajo los auspicios del IERS constituye la base para definir un único marco de referencia geocéntrico global que sirve como referencia de orden cero (global) a la que se vinculan las mediciones nacionales.

El posicionamiento cinemático en tiempo real (RTK GPS) se utiliza con frecuencia en la cartografía topográfica . Mediante esta técnica de medición, los puntos desconocidos pueden vincularse rápidamente con puntos terrestres conocidos cercanos.

Uno de los propósitos del posicionamiento de puntos es proporcionar puntos conocidos para mediciones cartográficas, también conocido como control (horizontal y vertical). Puede haber miles de estos puntos determinados geodéticamente en un país, generalmente documentados por agencias cartográficas nacionales. Los topógrafos que trabajan en el sector inmobiliario y de seguros los utilizan para vincular sus mediciones locales.

En geodesia geométrica, existen dos problemas principales:

• Primer problema geodésico (también conocido como problema geodésico directo o hacia adelante ): dadas las coordenadas de un punto y la dirección ( acimut ) y la distancia a un segundo punto, determinar las coordenadas de ese segundo punto.
• Segundo problema geodésico (también conocido como problema geodésico inverso ) : dadas las coordenadas de dos puntos, determinar el acimut y la longitud de la línea (recta, curva o geodésica ) que conecta esos puntos.

Las soluciones a ambos problemas en geometría plana se reducen a trigonometría simple y son válidas para áreas pequeñas en la superficie de la Tierra; en una esfera, las soluciones se vuelven significativamente más complejas ya que, por ejemplo, en el problema inverso, los acimuts difieren al ir entre los dos puntos extremos a lo largo del arco del círculo máximo de conexión .

La solución general se denomina geodésica para la superficie considerada, y las ecuaciones diferenciales para la geodésica se pueden resolver numéricamente. En el elipsoide de revolución, las geodésicas se pueden expresar en términos de integrales elípticas, que generalmente se evalúan en términos de un desarrollo en serie; véanse, por ejemplo, las fórmulas de Vincenty .

Tal como se define en geodesia (y también en astronomía ), algunos conceptos básicos de observación, como ángulos y coordenadas, incluyen (generalmente desde el punto de vista de un observador local):

• Plomada o vertical : (la línea a lo largo de) la dirección de la gravedad local.
• Cenit : la (dirección hacia la) intersección del vector de gravedad que se extiende hacia arriba en un punto y la esfera celeste .
• Nadir : el punto antipodal (dirección hacia el) donde el vector de gravedad que se extiende hacia abajo interseca la esfera celeste (oculta).
• Horizonte celeste : un plano perpendicular al vector de gravedad en un punto.
• Acimut : el ángulo de dirección dentro del plano del horizonte, que normalmente se cuenta en el sentido de las agujas del reloj desde el norte (en geodesia y astronomía) o desde el sur (en Francia).
• Elevación : la altura angular de un objeto sobre el horizonte; alternativamente: distancia cenital igual a 90 grados menos la elevación.
• Coordenadas topocéntricas locales : acimut (ángulo de dirección dentro del plano del horizonte), ángulo de elevación (o ángulo cenital), distancia.
• Polo celeste norte : la extensión del eje de rotación instantánea de la Tierra ( que precesa y nuta ) hacia el norte, donde intersecta la esfera celeste. (Lo mismo ocurre con el polo celeste sur).
• Ecuador celeste : la intersección (instantánea) del plano ecuatorial de la Tierra con la esfera celeste.
• Plano meridiano : cualquier plano perpendicular al ecuador celeste que contiene los polos celestes.
• Meridiano local : el plano que contiene la dirección hacia el cenit y el polo celeste.

La superficie de referencia (nivel) utilizada para determinar las diferencias de altura y los sistemas de referencia de altura se conoce como nivel medio del mar . El nivel de burbuja tradicional proporciona directamente estas alturas (que son las más útiles para fines prácticos) sobre el nivel del mar ; el uso más económico de instrumentos GPS para la determinación de alturas requiere un conocimiento preciso de la figura del geoide , ya que el GPS solo proporciona alturas sobre el elipsoide de referencia GRS80 . A medida que mejore la determinación del geoide, cabe esperar que el uso del GPS en la determinación de alturas también aumente.

El teodolito es un instrumento que se utiliza para medir ángulos horizontales y verticales (con respecto a la vertical local) hacia puntos de referencia. Además, el taquímetro determina, electrónica o electroópticamente , la distancia a un objetivo y su funcionamiento es altamente automatizado o incluso robótico. El método de posición de estación libre se utiliza ampliamente con el mismo propósito.

Para levantamientos topográficos locales detallados, se suelen emplear taquímetros, aunque la técnica rectangular tradicional con prisma angular y cinta métrica sigue siendo una alternativa económica. Como ya se mencionó, también existen técnicas GPS cinemáticas en tiempo real (RTK) rápidas y relativamente precisas. Los datos recopilados se etiquetan y registran digitalmente para su ingreso en bases de datos de Sistemas de Información Geográfica (SIG).

Los receptores GNSS geodésicos (generalmente GPS ) generan directamente coordenadas 3D en un sistema de coordenadas geocéntricas . Uno de estos sistemas es el WGS84 , así como los sistemas del Servicio Internacional de Rotación Terrestre y Sistemas de Referencia ( IERS ). Los receptores GNSS han reemplazado casi por completo a los instrumentos terrestres en los levantamientos topográficos de redes base a gran escala.

Para monitorizar las irregularidades de la rotación terrestre y los movimientos de las placas tectónicas, así como para realizar estudios geodésicos a escala planetaria, se emplean métodos como la interferometría de muy larga base (VLBI), que mide las distancias a los cuásares ; la telemetría láser lunar (LLR), que mide las distancias a los prismas en la Luna; y la telemetría láser satelital (SLR), que mide las distancias a los prismas en satélites artificiales .

La gravedad se mide con gravímetros , de los cuales existen dos tipos. Primero, los gravímetros absolutos , que se basan en la medición de la aceleración de la caída libre (por ejemplo, de un prisma reflectante en un tubo de vacío ). Se utilizan para establecer el control geoespacial vertical o en el campo. Segundo, los gravímetros relativos , que se basan en resortes y son más comunes. Se utilizan en estudios gravimétricos de grandes áreas para determinar la forma del geoide en dichas áreas. Los gravímetros relativos más precisos son los gravímetros superconductores , que son sensibles a una milmillonésima parte de la gravedad de la superficie terrestre. Se utilizan más de veinte gravímetros superconductores en todo el mundo para estudiar las mareas , la rotación , el interior, la carga oceánica y atmosférica de la Tierra, así como para verificar la constante de gravitación newtoniana .

En el futuro, la gravedad y la altitud podrían llegar a ser medibles utilizando el concepto de dilatación del tiempo propio de la relatividad especial, tal como se mediría mediante relojes ópticos .

La latitud y la longitud geográficas se expresan en grados, minutos de arco y segundos de arco. Son ángulos , no medidas métricas, y describen la dirección de la normal local al elipsoide de revolución de referencia. Esta dirección coincide aproximadamente con la de la plomada, es decir, la de la gravedad local, que también es la normal a la superficie del geoide. Por este motivo, la determinación de la posición astronómica —la medición de la dirección de la plomada mediante métodos astronómicos— funciona razonablemente bien cuando se utiliza un modelo elipsoidal de la figura de la Tierra.

Una milla geográfica, definida como un minuto de arco en el ecuador, equivale a 1855,32571922 metros. Una milla náutica equivale a un minuto de latitud astronómica. El radio de curvatura del elipsoide varía con la latitud, siendo mayor en el polo y menor en el ecuador, al igual que ocurre con la milla náutica.

Originalmente, un metro se definía como la diezmillonésima parte de la longitud desde el ecuador hasta el Polo Norte a lo largo del meridiano que pasa por París (este objetivo no se alcanzó del todo en la práctica, ya que existe una diferencia de 200 ppm en las definiciones actuales). Esto significa que un kilómetro equivale aproximadamente a (1/40 000) * 360 * 60 minutos meridionales de arco, o 0,54 millas náuticas. (Esto no es exactamente así, ya que las dos unidades se definieron sobre bases diferentes, por lo que la milla náutica internacional es exactamente 1852 m, lo que corresponde a redondear el cociente de 1000/0,54 m a cuatro cifras decimales).

En geodesia se utilizan diversas técnicas para estudiar superficies, masas, campos físicos y sistemas dinámicos que cambian con el tiempo. Los puntos de la superficie terrestre cambian de ubicación debido a diversos mecanismos:

• movimiento de placas continentales, tectónica de placas ^{[ 9 ]}
• El movimiento episódico de origen tectónico, especialmente cerca de las líneas de falla.
• Efectos periódicos debidos a las mareas y la carga mareal ^{[ 10 ]}
• Elevación del terreno posglacial debido al ajuste isostático
• Variaciones de masa debidas a cambios hidrológicos, incluyendo la atmósfera, la criosfera, la hidrología terrestre y los océanos.
• Movimiento polar subdiario ^{[ 11 ]}
• Variabilidad de la duración del día ^{[ ​​12 ]}
• Variaciones del centro de masas (geocentro) de la Tierra ^{[ 13 ]}
• Movimientos antropogénicos como la construcción de embalses o la extracción de petróleo o agua.

La geodinámica es la disciplina que estudia las deformaciones y los movimientos de la corteza terrestre y su solidez en su conjunto. A menudo, el estudio de la rotación irregular de la Tierra se incluye en la definición anterior. Los estudios geodinámicos requieren marcos de referencia terrestres ^{[ 14 ]} realizados por las estaciones pertenecientes al Sistema Global de Observación Geodésica (GGOS ^{[ 15 ]} ).

Las técnicas para estudiar los fenómenos geodinámicos a escala global incluyen:

• Posicionamiento por satélite mediante GPS , GLONASS , Galileo y BeiDou.
• Interferometría de línea de base muy larga (VLBI)
• Medición láser de satélites (SLR) ^{[ 16 ]} y medición láser lunar (LLR)
• DORIS
• Nivelación precisa a nivel regional y local.
• Taquímetros de precisión
• Monitorización de los cambios de gravedad mediante gravimetría terrestre, aérea, marítima y espacial.
• Altimetría satelital basada en observaciones de microondas y láser para el estudio de la superficie oceánica, el aumento del nivel del mar y el monitoreo de la capa de hielo.
• Radar de apertura sintética interferométrica (InSAR) mediante imágenes satelitales.

• Ciencia del sistema terrestre : estudio científico de las esferas de la Tierra y sus sistemas naturales integrados. 
• Lista de geodestas
• Ingeniería geomática – Disciplina de datos geográficos Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento 
• Historia de la geofísica
• Geodinámica – Estudio de la dinámica de la Tierra 
• Ciencia planetaria : ciencia de los planetas y los sistemas planetarios. 

• FR Helmert, Teorías matemáticas y físicas de la geodesia superior , Parte 1 , ACIC (St. Louis, 1964). Esta es una traducción al inglés de Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie , Vol 1 (Teubner, Leipzig, 1880).
• FR Helmert, Teorías matemáticas y físicas de la geodesia superior , Parte 2 , ACIC (St. Louis, 1964). Esta es una traducción al inglés de Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie , Vol 2 (Teubner, Leipzig, 1884).
• B. Hofmann-Wellenhof y H. Moritz, Geodesia física , Springer-Verlag Wien, 2005. (Este texto es una edición actualizada del clásico de 1967 de WA Heiskanen y H. Moritz).
• W. Kaula, Teoría de la geodesia satelital  : aplicaciones de los satélites a la geodesia , Dover Publications, 2000. (Este texto es una reimpresión del clásico de 1966).
• Vaníček P. y EJ Krakiwsky, Geodesia: los conceptos , págs.  714, Elsevier, 1986.
• Torge, W (2001), Geodesia (3.ª edición), publicado por de Gruyter, ISBN 3-11-017072-8.
• Thomas H. Meyer, Daniel R. Roman y David B. Zilkoski. "¿Qué significa realmente la altura ?" (Esta es una serie de cuatro artículos publicados en Surveying and Land Information Science, SaLIS ).
  • "Parte I: Introducción" SaLIS Vol. 64, No. 4, páginas 223–233, diciembre de 2004.
  • "Parte II: Física y gravedad" SaLIS Vol. 65, No. 1, páginas 5–15, marzo de 2005.
  • "Parte III: Sistemas de altura" SaLIS Vol. 66, No. 2, páginas 149–160, junio de 2006.
  • "Parte IV: Determinación de alturas mediante GPS" SaLIS Vol. 66, No. 3, páginas 165–183, septiembre de 2006.

• Nota orientativa sobre concienciación geodésica, Subcomité de Geodesia, Comité de Geomática, Asociación Internacional de Productores de Petróleo y Gas.
• "Geodesia"  . Encyclopædia Britannica . Vol. 11 (11.ª ed.). 1911. págs. 607–615 .