Movimiento browniano geométrico

Un movimiento browniano geométrico (GBM) (también conocido como movimiento browniano exponencial ) es un proceso estocástico de tiempo continuo en el que el logaritmo de la cantidad que varía aleatoriamente sigue un movimiento browniano (también llamado proceso de Wiener ) con deriva . ^[1] Es un ejemplo importante de procesos estocásticos que satisfacen una ecuación diferencial estocástica (SDE); en particular, se utiliza en finanzas matemáticas para modelar los precios de las acciones en el modelo de Black-Scholes .

Se dice que un proceso estocástico S _t sigue un GBM si satisface la siguiente ecuación diferencial estocástica (SDE):

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

donde es un proceso de Wiener o movimiento browniano , y ('la deriva porcentual') y ('la volatilidad porcentual') son constantes. $Estilo de visualización Wt$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \sigma}$

El primer parámetro se utiliza para modelar tendencias deterministas, mientras que el último parámetro modela eventos impredecibles que ocurren durante el movimiento.

Para un valor inicial arbitrario S ₀ la SDE anterior tiene la solución analítica (según la interpretación de Itô ):

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right).}$

La derivación requiere el uso del cálculo de Itô . La aplicación de la fórmula de Itô conduce a

${\displaystyle d(\ln S_{t})=(\ln S_{t})'dS_{t}+{\frac {1}{2}}(\ln S_{t})''\,dS_{t}\,dS_{t}={\frac {dS_{t}}{S_{t}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{S_{t}^{2}}}\,dS_{t}\,dS_{t}}$

donde es la variación cuadrática de la SDE. ${\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dW_{t}^{2}+2\sigma S_{t}^{2}\mu \,dW_{t}\,dt+\mu ^{2}S_{t}^{2}\,dt^{2}}$

Cuando , converge a 0 más rápido que , ya que . Por lo tanto, el infinitesimal anterior se puede simplificar mediante ${\displaystyle dt\to 0}$${\estilo de visualización dt}$$Estilo de visualización: dW_{t}$${\displaystyle dW_{t}^{2}=O(dt)}$

${\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dt}$

Introduciendo el valor de en la ecuación anterior y simplificando obtenemos $Estilo de visualización dS_{t}$

${\displaystyle \ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)t+\sigma W_{t}\,.}$

Tomando la exponencial y multiplicando ambos lados por obtenemos la solución indicada anteriormente. $Estilo de visualización S_{0}$

El proceso para satisfacer la SDE ${\displaystyle X_{t}=\ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}}$

${\displaystyle dX_{t}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)dt+\sigma dW_{t}\,,}$

o más generalmente el proceso de resolución de la SDE

${\displaystyle dX_{t}=m\,dt+v\,dW_{t}\,,}$

donde y son constantes reales y para una condición inicial , se denomina Movimiento Browniano Aritmético (MBA). Este fue el modelo postulado por Louis Bachelier en 1900 para los precios de las acciones, en el primer intento publicado de modelar el movimiento browniano, conocido hoy como modelo de Bachelier . Como se mostró anteriormente, la SDE del MBA se puede obtener a través del logaritmo de un MBG mediante la fórmula de Itô. De manera similar, un MBA se puede obtener mediante la exponenciación de un MBA mediante la fórmula de Itô. ${\estilo de visualización m}$${\displaystyle v>0}$$Estilo de visualización X_{0}$

La solución anterior (para cualquier valor de t) es una variable aleatoria distribuida log-normalmente con valor esperado y varianza dados por ^[2]$Estilo de visualización S_{t}$

${\displaystyle \operatorname {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t},}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right).}$

Se pueden derivar utilizando el hecho de que es una martingala , y que ${\displaystyle Z_{t}=\exp \left(\sigma W_{t}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\exp \left(2\sigma W_{t}-\sigma ^{2}t\right)\mid {\mathcal {F}}_{s}\right]=e^{\sigma ^{2}(ts)}\exp \left(2\sigma W_{s}-\sigma ^{2}s\right),\quad \forall 0\leq s<t.}$

La función de densidad de probabilidad de es: $Estilo de visualización S_{t}$

${\displaystyle f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right).}$

Al derivar otras propiedades de GBM, se puede hacer uso de la SDE de la cual GBM es la solución, o se puede usar la solución explícita dada anteriormente. Por ejemplo, considere el proceso estocástico log( S _t ). Este es un proceso interesante, porque en el modelo de Black-Scholes está relacionado con el retorno logarítmico del precio de las acciones. Usando el lema de Itô con f ( S ) = log( S ) se obtiene

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f'(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f''(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}}$

De lo cual se deduce que . ${\displaystyle \operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}$

Este resultado también se puede obtener aplicando el logaritmo a la solución explícita de GBM:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\[6pt]&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}}$

Tomando la expectativa obtenemos el mismo resultado que el anterior: . ${\displaystyle \operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}$

# Código Python para la trama

importar  numpy  como  np
importar  matplotlib.pyplot  como  plt

mu  =  1
n  =  50
dt  =  0,1
x0  =  100
np . aleatorio . semilla ( 1 )

sigma  =  np . rango ( 0.8 ,  2 ,  0.2 )

x  =  np . exp (
    ( mu  -  sigma  **  2  /  2 )  *  dt
    +  sigma  *  np . aleatorio . normal ( 0 ,  np . sqrt ( dt ),  tamaño = ( len ( sigma ),  n )) . T
)
x  =  np . vstack ([ np . ones ( len ( sigma )),  x ])
x  =  x0  *  x . cumprod ( eje = 0 )

plt . parcela ( x )
plt . leyenda ( np . ronda ( sigma ,  2 ))
plt .xlabel ( "$t$ " )
plt . ylabel ( "$x$" )
plt . título (
    "Realizaciones del movimiento browniano geométrico con diferentes varianzas \n $\mu=1$"
)
plt . mostrar ()

El GBM se puede extender al caso en que existen múltiples trayectorias de precios correlacionadas. ^[3]

Cada trayectoria de precios sigue el proceso subyacente

${\displaystyle dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sigma _{i}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{i},}$

donde los procesos de Wiener están correlacionados de tal manera que donde . ${\displaystyle \operatorname {E} (dW_{t}^{i}\,dW_{t}^{j})=\rho _{i,j}\,dt}$${\displaystyle \rho _{i,i}=1}$

Para el caso multivariado, esto implica que

${\displaystyle \operatorname {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(\mu _{i}+\mu _{j})t}\left(e^{\rho _{i,j}\sigma _{i}\sigma _{j}t}-1\right).}$

Una formulación multivariada que mantiene independientes los movimientos brownianos impulsores es ${\displaystyle W_{t}^{i}}$

${\displaystyle dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sum _{j=1}^{d}\sigma _{i,j}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{j},}$

donde la correlación entre y ahora se expresa a través de los términos. ${\displaystyle S_{t}^{i}}$${\displaystyle S_{t}^{j}}$${\displaystyle \sigma _{i,j}=\rho _{i,j}\,\sigma _{i}\,\sigma _{j}}$

El movimiento browniano geométrico se utiliza para modelar los precios de las acciones en el modelo Black-Scholes y es el modelo más utilizado para el comportamiento de los precios de las acciones. ^[4]

Algunos de los argumentos para utilizar GBM para modelar los precios de las acciones son:

• Los rendimientos esperados de GBM son independientes del valor del proceso (precio de la acción), lo que coincide con lo que esperaríamos en la realidad. ^[4]
• Un proceso GBM sólo asume valores positivos, como los precios reales de las acciones.
• Un proceso GBM muestra el mismo tipo de “rugosidad” en sus trayectorias que vemos en los precios de las acciones reales.
• Los cálculos con procesos GBM son relativamente fáciles.

Sin embargo, el GBM no es un modelo completamente realista; en particular, se aleja de la realidad en los siguientes puntos:

• En los precios de las acciones reales, la volatilidad cambia con el tiempo (posiblemente de forma estocástica ), pero en GBM se supone que la volatilidad es constante.
• En la vida real, los precios de las acciones a menudo muestran saltos causados ​​por eventos o noticias impredecibles, pero en GBM, la trayectoria es continua (sin discontinuidad).

Además de modelar los precios de las acciones, el movimiento browniano geométrico también ha encontrado aplicaciones en el seguimiento de estrategias comerciales. ^[5]

En un intento de hacer que el GBM sea más realista como modelo para los precios de las acciones, también en relación con el problema de la sonrisa de volatilidad , se puede abandonar el supuesto de que la volatilidad ( ) es constante. Si suponemos que la volatilidad es una función determinista del precio de la acción y el tiempo, esto se llama un modelo de volatilidad local . Una extensión directa del GBM de Black Scholes es una SDE de volatilidad local cuya distribución es una mezcla de distribuciones de GBM, la dinámica de mezcla lognormal, que resulta en una combinación convexa de precios de Black Scholes para opciones. ^{[3] [6] [7] [8]} Si en cambio suponemos que la volatilidad tiene una aleatoriedad propia, a menudo descrita por una ecuación diferente impulsada por un movimiento browniano diferente, el modelo se llama modelo de volatilidad estocástica , véase por ejemplo el modelo de Heston . ^[9]${\displaystyle \sigma }$

• Superficie browniana

• Modelos de movimiento browniano geométrico para el movimiento de acciones excepto en eventos raros.
• Simulación en Excel de un movimiento browniano geométrico para simular precios de acciones
• "Aplicación web interactiva: Procesos estocásticos utilizados en finanzas cuantitativas". Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2015. Consultado el 3 de julio de 2015 .
• Sitio web sobre cálculo no newtoniano
• Monitoreo de la estrategia comercial: modelado del PnL como un movimiento browniano geométrico