isomorfismo de Satake

En matemáticas, el isomorfismo de Satake , introducido por Ichirō Satake ( 1963 ) , identifica el álgebra de Hecke de un grupo reductivo sobre un cuerpo local con un anillo de invariantes del grupo de Weyl . La equivalencia geométrica de Satake es una versión geométrica del isomorfismo de Satake, demostrada por Ivan Mirković y Kari Vilonen ( 2007 ) .  

Isomorfismo de Satake clásico . Sea${\displaystyle G}$sea ​​un grupo algebraico semisimple ,${\displaystyle K}$ser un campo local no arquimediano y${\displaystyle O}$sea ​​su anillo de enteros. Es fácil ver que${\displaystyle Gr=G(K)/G(O)}$es una grassmanniana . Para simplificar, podemos pensar que${\displaystyle K=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((x))}$y${\displaystyle O=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} [[x]]}$, para${\displaystyle p}$un número primo; en este caso,${\displaystyle Gr}$es una variedad algebraica de dimensión infinita ( Ginzburg 2000 ) . Uno denota la categoría de todas las funciones esféricas con soporte compacto en${\displaystyle G(K)}$bi-invariante bajo la acción de${\displaystyle G(O)}$como${\displaystyle \mathbb {C} _{c}[G(O)\backslash G(K)/G(O)]}$,${\displaystyle \mathbb {C} }$el campo de los números complejos, que es un álgebra de Hecke y también puede tratarse como un esquema de grupo sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$. Dejar${\displaystyle T(\mathbb {C} )}$sea ​​el toro maximal de${\displaystyle G(\mathbb {C} )}$,${\displaystyle W}$ser el grupo Weyl de${\displaystyle G}$Se puede asociar una variedad de cocaracteres.${\displaystyle \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))}$a${\displaystyle T(\mathbb {C} )}$. Dejar${\displaystyle X_{*}(T(\mathbb {C} ))}$sea ​​el conjunto de todos los co-caracteres de${\displaystyle T(\mathbb {C} )}$, es decir${\displaystyle X_{*}(T(\mathbb {C} ))=\mathrm {Hom} (\mathbb {C} ^{*},T(\mathbb {C} ))}$. La variedad de cocaracteres${\displaystyle \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))}$es básicamente el esquema de grupo creado al agregar los elementos de${\displaystyle X_{*}(T(\mathbb {C} ))}$como variables para${\displaystyle \mathbb {C} }$, es decir${\displaystyle \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))=\mathbb {C} [X_{*}(T(\mathbb {C} ))]}$. Existe una acción natural de${\displaystyle W}$en la variedad de co-caracteres${\displaystyle \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))}$, inducido por la acción natural de${\displaystyle W}$en${\displaystyle T}$. Entonces, el isomorfismo de Satake es un isomorfismo de álgebra de la categoría de funciones esféricas a la${\displaystyle W}$-parte invariante de la variedad de cocaracteres antes mencionada. En fórmulas:

Isomorfismo geométrico de Satake . Como dijo Ginzburg ( Ginzburg 2000 ) , "geométrico" significa teórico de haces. Para obtener la versión geométrica del isomorfismo de Satake, hay que cambiar la parte izquierda del isomorfismo, utilizando el grupo de Grothendieck de la categoría de haces perversos en${\displaystyle Gr}$para reemplazar la categoría de funciones esféricas ; el reemplazo es de facto un isomorfismo de álgebra sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$( Ginzburg 2000 ) . También hay que reemplazar el lado derecho del isomorfismo por el grupo de Grothendieck de representaciones complejas de dimensión finita del dual de Langlands.${\displaystyle {}^{L}G}$de${\displaystyle G}$; el reemplazo es también un isomorfismo de álgebra sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$( Ginzburg 2000 ) . Let${\displaystyle \mathrm {Pervertido} (Gr)}$denotan la categoría de haces perversos en${\displaystyle Gr}$. Entonces, el isomorfismo geométrico de Satake es

donde el${\displaystyle K}$en${\displaystyle K(\mathrm {Rep} ({}^{L}G))}$representa al grupo Grothendieck . Esto obviamente se puede simplificar a

lo cual es a fortiori una equivalencia de las categorías de Tannak ( Ginzburg 2000 ) .

• Gross, Benedict H. (1998), "Sobre el isomorfismo de Satake", Representaciones de Galois en geometría algebraica aritmética (Durham, 1996) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol.  254, Cambridge University Press , pp. 223–237 , doi : 10.1017/CBO9780511662010.006 , ISBN  9780521644198, MR 1696481 
• Mirković, Ivan; Vilonen, Kari (2007), "Dualidad geométrica de Langlands y representaciones de grupos algebraicos sobre anillos conmutativos", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 166 (1): 95– 143, arXiv : math/0401222 , doi : 10.4007/annals.2007.166.95 , ISSN 0003-486X , MR 2342692 , S2CID 14127684   
• Satake, Ichirō (1963), "Teoría de funciones esféricas en grupos algebraicos reductivos sobre cuerpos p-ádicos" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 18 (18): 5– 69, doi : 10.1007/BF02684781 , ISSN 1618-1913 , MR 0195863 , S2CID 4666554   
• Ginzburg, Victor (2000). "Haces perversos en un grupo de bucles y dualidad de Langlands". arXiv : alg-geom/9511007 .