cálculo geométrico

En matemáticas , el cálculo geométrico extiende el álgebra geométrica para incluir la diferenciación y la integración . El formalismo es potente y se puede demostrar que reproduce otras teorías matemáticas, como el cálculo vectorial , la geometría diferencial y las formas diferenciales . ^{[ 1 ]}

Con un álgebra geométrica dada, sea${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$sean vectores y dejemos que${\displaystyle F}$sea ​​una función multivectorial con valores en un vector. La derivada direccional de${\displaystyle F}$a lo largo de${\displaystyle b}$en${\displaystyle a}$se define como $${\displaystyle (\nabla _{b}F)(a)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(a+\epsilon b)-F(a)}{\epsilon }},}$$ siempre que el límite exista para todos .${\displaystyle b}$⁠ , donde el límite se toma para el escalar ⁠${\displaystyle \epsilon }$Esto es similar a la definición habitual de una derivada direccional, pero la extiende a funciones que no son necesariamente escalares.

A continuación, elige un conjunto de vectores base.${\displaystyle \{e_{i}\}}$y consideremos los operadores, denotados ⁠${\displaystyle \partial _{i}}$⁠ , que realizan derivadas direccionales en las direcciones de ⁠${\displaystyle e_{i}}$:​ $${\displaystyle \partial _{i}:F\mapsto (x\mapsto (\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$$

Luego, utilizando la notación de sumatoria de Einstein , consideremos el operador: $${\displaystyle e^{i}\partial _{i},}$$ lo que significa $${\displaystyle F\mapsto e^{i}\partial _{i}F,}$$ donde el producto geométrico se aplica después de la derivada direccional. De forma más detallada: $${\displaystyle F\mapsto (x\mapsto e^{i}(\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$$

Este operador es independiente de la elección del sistema de referencia y, por lo tanto, puede utilizarse para definir lo que en cálculo geométrico se denomina derivada vectorial : $${\displaystyle \nabla =e^{i}\partial _{i}.}$$

Esto es similar a la definición habitual del gradiente , pero también se extiende a funciones que no son necesariamente escalares.

La derivada direccional es lineal con respecto a su dirección, es decir: $${\displaystyle \nabla _{\alpha a+\beta b}=\alpha \nabla _{a}+\beta \nabla _{b}.}$$ De esto se deduce que la derivada direccional es el producto escalar de su dirección por la derivada vectorial. Todo lo que hay que observar es que la dirección${\displaystyle a}$se puede escribir${\displaystyle a=(a\cdot e^{i})e_{i}}$⁠ , de modo que: $${\displaystyle \nabla _{a}=\nabla _{(a\cdot e^{i})e_{i}}=(a\cdot e^{i})\nabla _{e_{i}}=a\cdot (e^{i}\nabla _{e_{i}})=a\cdot \nabla .}$$ Por esta razón,${\displaystyle \nabla _{a}F(x)}$Se suele observar${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)}$.​

El orden estándar de operaciones para la derivada vectorial es que actúa solo sobre la función más cercana a su derecha inmediata. Dadas dos funciones${\displaystyle F}$y​${\displaystyle G}$⁠ , entonces, por ejemplo, tenemos $${\displaystyle \nabla FG=(\nabla F)G.}$$

Dejar${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ser un conjunto de vectores base que abarcan un${\displaystyle n}$Espacio vectorial de dimensión ⁠ . Desde el álgebra geométrica, interpretamos el pseudoescalar${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$ser el volumen firmado de la${\displaystyle n}$- Paralelotopo subtendido por estos vectores base. Si los vectores base son ortonormales , entonces este es el pseudoescalar unitario.

En términos más generales, podemos restringirnos a un subconjunto de${\displaystyle k}$de los vectores base, donde${\displaystyle 1\leq k\leq n}$⁠ , para tratar la longitud, el área u otra característica general ⁠${\displaystyle k}$-volumen de un subespacio en el espacio total${\displaystyle n}$Espacio vectorial de dimensión ⁠ . Denotamos estos vectores base seleccionados por ⁠${\displaystyle \{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}}$⁠ . Un general ⁠${\displaystyle k}$-volumen del​${\displaystyle k}$-paralelotopo subtendido por estos vectores base es el grado${\displaystyle k}$multivector​${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$.​

De forma aún más general, podemos considerar un nuevo conjunto de vectores.${\displaystyle \{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}}$proporcional a la${\displaystyle k}$vectores base, donde cada uno de los${\displaystyle \{x^{i_{j}}\}}$es un componente que escala uno de los vectores base. Podemos elegir componentes tan infinitesimalmente pequeños como deseemos, siempre que permanezcan distintos de cero. Dado que el producto exterior de estos términos puede interpretarse como un ⁠${\displaystyle k}$-volumen , una forma natural de definir una medida es $${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la medida siempre es proporcional al pseudoescalar unitario de un ⁠${\displaystyle k}$Subespacio -dimensional del espacio vectorial. Compárese con la forma de volumen riemanniana en la teoría de formas diferenciales. La integral se toma con respecto a esta medida: $${\displaystyle \int _{V}F(x)\,d^{k}X=\int _{V}F(x)\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.}$$

Más formalmente, consideremos algún volumen dirigido.${\displaystyle V}$del subespacio. Podemos dividir este volumen en una suma de símplices . Sea${\displaystyle \{x_{i}\}}$sean las coordenadas de los vértices. En cada vértice asignamos una medida.${\displaystyle \Delta U_{i}(x)}$como la medida promedio de los símplices que comparten el vértice. Entonces la integral de${\displaystyle F(x)}$con respecto a${\displaystyle U(x)}$sobre este volumen se obtiene en el límite de partición más fina del volumen en símplices más pequeños: $${\displaystyle \int _{V}F\,dU=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}F(x_{i})\,\Delta U_{i}(x_{i}).}$$

Una superficie suficientemente lisa${\displaystyle k}$-superficie en un${\displaystyle n}$El espacio -dimensional se considera una variedad . A cada punto de la variedad, podemos adjuntar un${\displaystyle k}$-hoja​${\displaystyle B}$que es tangente a la variedad. Localmente,${\displaystyle B}$actúa como un pseudoescalar del ⁠${\displaystyle k}$Espacio de -dimensiones. Esta hoja define una proyección de vectores sobre la variedad: $${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\cdot B^{-1})B.}$$

Al igual que la derivada vectorial${\displaystyle \nabla }$se define en todo el ⁠${\displaystyle n}$En un espacio de -dimensiones, podríamos desear definir una derivada intrínseca .${\displaystyle \partial }$, definido localmente en la variedad: $${\displaystyle \partial F={\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F.}$$

(Nota: El lado derecho de lo anterior puede no estar en el espacio tangente a la variedad. Por lo tanto, no es lo mismo que ⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)}$( que necesariamente se encuentra en el espacio tangente.)

Si${\displaystyle a}$Si es un vector tangente a la variedad, entonces tanto la derivada vectorial como la derivada intrínseca dan la misma derivada direccional: $${\displaystyle a\cdot \partial F=a\cdot \nabla F.}$$

Aunque esta operación es perfectamente válida, no siempre es útil porque${\displaystyle \partial F}$en sí misma no necesariamente está en la variedad. Por lo tanto, definimos la derivada covariante como la proyección forzada de la derivada intrínseca de vuelta sobre la variedad: $${\displaystyle a\cdot DF={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot {\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F).}$$

Dado que cualquier multivector general puede expresarse como una suma de una proyección y un rechazo, en este caso $${\displaystyle a\cdot \partial F={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)+{\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$$ Introducimos una nueva función, el tensor de forma .${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)}$⁠ , lo cual satisface $${\displaystyle F\times {\mathsf {S}}(a)={\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$$ dónde${\displaystyle \times }$es el producto conmutador . En una base de coordenadas locales${\displaystyle \{e_{i}\}}$El tensor de forma que abarca la superficie tangente viene dado por $${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)=e^{i}\wedge {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial e_{i}).}$$

Es importante destacar que, en una variedad general, la derivada covariante no conmuta. En particular, el conmutador está relacionado con el tensor de forma mediante $${\displaystyle [a\cdot D,\,b\cdot D]F=-({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b))\times F.}$$

Claramente el término${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)}$es de interés. Sin embargo, al igual que la derivada intrínseca, no necesariamente está sobre la variedad. Por lo tanto, podemos definir el tensor de Riemann como la proyección de vuelta sobre la variedad: $${\displaystyle {\mathsf {R}}(a\wedge b)=-{\mathcal {P}}_{B}({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)).}$$

Por último, si${\displaystyle F}$es de grado${\displaystyle r}$⁠ , entonces podemos definir las derivadas covariantes interiores y exteriores como $${\displaystyle {\begin{aligned}D\cdot F&=\langle DF\rangle _{r-1},\\D\wedge F&=\langle DF\rangle _{r+1},\\\end{aligned}}}$$ y lo mismo ocurre con la derivada intrínseca.

En una variedad, localmente podemos asignar una superficie tangente generada por un conjunto de vectores base .${\displaystyle \{e_{i}\}}$Podemos asociar los componentes de un tensor métrico , los símbolos de Christoffel y el tensor de curvatura de Riemann de la siguiente manera :

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij}&=e_{i}\cdot e_{j},\\\Gamma _{ij}^{k}&=(e_{i}\cdot De_{j})\cdot e^{k},\\R_{ijkl}&=({\mathsf {R}}(e_{i}\wedge e_{j})\cdot e_{k})\cdot e_{l}.\end{aligned}}}$$

Estas relaciones integran la teoría de la geometría diferencial dentro del cálculo geométrico.

En un sistema de coordenadas local ( ⁠${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$) , los diferenciales de coordenadas${\displaystyle dx^{1},\ldots ,dx^{n}}$⁠ forman un conjunto básico de formas unitarias dentro de la carta de coordenadas . Dado un índice múltiple${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$con${\displaystyle 1\leq i_{p}\leq n}$para​${\displaystyle 1\leq p\leq k}$⁠ , podemos definir un ⁠${\displaystyle k}$-formulario​ $${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I}=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}$$

Alternativamente podemos introducir un${\displaystyle k}$multivector de grado -${\displaystyle A}$como $${\displaystyle A=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}}$$ y una medida $${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$$

Aparte de una sutil diferencia de significado para el producto exterior con respecto a las formas diferenciales frente al producto exterior con respecto a los vectores (en el primero los incrementos son covectores, mientras que en el segundo representan escalares), vemos las correspondencias de la forma diferencial. $${\displaystyle \omega \cong A^{\dagger }\cdot d^{k}X=A\cdot \left(d^{k}X\right)^{\dagger },}$$ su derivado $${\displaystyle d\omega \cong (D\wedge A)^{\dagger }\cdot d^{k+1}X=(D\wedge A)\cdot \left(d^{k+1}X\right)^{\dagger },}$$ y su Hodge dual$${\displaystyle \star \omega \cong (I^{-1}A)^{\dagger }\cdot d^{k}X,}$$ Integrar la teoría de las formas diferenciales dentro del cálculo geométrico.

A continuación se muestra un diagrama que resume la historia del cálculo geométrico.

• Macdonald, Alan (2012). Cálculo vectorial y geométrico . Charleston: CreateSpace. ISBN 9781480132450OCLC 829395829 .​