Hispanopedia WikiEn geometría , un grupo de isometrías del espacio hiperbólico se denomina geométricamente finito si tiene un dominio fundamental que se comporta bien . Una variedad hiperbólica se denomina geométricamente finita si se puede describir en términos de grupos geométricamente finitos .
Poliedros geométricamente finitos
Un poliedro convexo C en el espacio hiperbólico se llama geométricamente finito si su clausura C en la compactificación conforme del espacio hiperbólico tiene la siguiente propiedad:
- Para cada punto x en C , existe un vecindario U de x tal que todas las caras de C que se encuentran con U también pasan por x (Ratcliffe 1994, 12.4).
Por ejemplo, todo poliedro con un número finito de caras es geométricamente finito. En el espacio hiperbólico de dimensión 2 como máximo, todo poliedro geométricamente finito tiene un número finito de lados, pero hay poliedros geométricamente finitos en dimensiones 3 y superiores con infinitos lados. Por ejemplo, en el espacio euclidiano R n de dimensión n ≥2 hay un poliedro P con un número infinito de lados. El modelo del semiplano superior del espacio hiperbólico de dimensión n +1 en R n +1 se proyecta a R n , y la imagen inversa de P bajo esta proyección es un poliedro geométricamente finito con un número infinito de lados.
Un poliedro geométricamente finito tiene sólo un número finito de cúspides, y todos los lados, excepto un número finito, se encuentran con una de las cúspides.
Grupos geométricamente finitos
Un grupo discreto G de isometrías del espacio hiperbólico se denomina geométricamente finito si tiene un dominio fundamental C que es convexo, geométricamente finito y exacto (cada cara es la intersección de C y gC para algún g ∈ G ) (Ratcliffe 1994, 12.4).
En espacios hiperbólicos de dimensión 3 como máximo, todo poliedro exacto, convexo y fundamental para un grupo geométricamente finito tiene sólo un número finito de lados, pero en dimensiones 4 y superiores hay ejemplos con un número infinito de lados (Ratcliffe 1994, teorema 12.4.6).
En espacios hiperbólicos de dimensión 2 como máximo, los grupos discretos generados finitamente son geométricamente finitos, pero Greenberg (1966) demostró que hay ejemplos de grupos discretos generados finitamente en dimensión 3 que no son geométricamente finitos.
Variedades geométricamente finitas
Una variedad hiperbólica se denomina geométricamente finita si tiene un número finito de componentes, cada uno de los cuales es el cociente del espacio hiperbólico por un grupo discreto geométricamente finito de isometrías (Ratcliffe 1994, 12.7).
Véase también
Referencias
- Greenberg, L. (1966), "Poliedros fundamentales para grupos kleinianos", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 84 : 433–441, doi :10.2307/1970456, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970456, MR 0200446
- Ratcliffe, John G. (1994), Fundamentos de variedades hiperbólicas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0
