Rigidez geométrica

En geometría discreta , la rigidez geométrica es una teoría para determinar si un sistema de restricciones geométricas (SCG) tiene un número finito de restricciones geométricas. $d$ soluciones o marcos dimensionales en algún espacio métrico . Un marco de un GCS es rígido en $d$ -dimensiones, para un dado $d$ Si se trata de una solución aislada del GCS, factorizando el conjunto de movimientos triviales, o grupo isométrico , del espacio métrico, por ejemplo, traslaciones y rotaciones en el espacio euclidiano . En otras palabras, un marco rígido. $(G,p)$ de una GCS no tiene un marco cercano de la GCS que sea alcanzable a través de un movimiento continuo no trivial de $(G,p)$ que preserva las restricciones del GCS. La rigidez estructural es otra teoría de rigidez que se refiere a marcos genéricos , es decir, marcos cuyas propiedades de rigidez son representativas de todos los marcos con el mismo grafo de restricciones. Los resultados en rigidez geométrica se aplican a todos los marcos; en particular, a los marcos no genéricos.

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} — Izquierda: un gráfico genérico rígido en $\mathbb {R} ^{2}$ Asignación del borde $(b,d)$ la distancia $0$ El resultado es una familia de sistemas de barras y uniones flexibles no genéricos. Derecha: una estructura flexible de dicho sistema.

La rigidez geométrica fue explorada por primera vez por Euler , quien conjeturó que todos los poliedros en $3$ Las dimensiones son rígidas. Se ha trabajado mucho para demostrar la conjetura, lo que ha dado lugar a numerosos resultados interesantes que se comentan a continuación. Sin embargo, finalmente se encontró un contraejemplo. También existen algunos resultados de rigidez genérica sin componentes combinatorios , por lo que están relacionados tanto con la rigidez geométrica como con la estructural.

Definiciones

Las definiciones que aparecen a continuación, que se pueden encontrar en ^{[ 1 ],} se refieren a estructuras de juntas de barra en $d$ espacio euclidiano de -dimensiones , y se generalizará para otros marcos y espacios métricos según sea necesario. Consideremos un enlace $(G,\delta )$ , es decir, un grafo de restricciones $G=(V,E)$ con restricciones de distancia $\delta$ asignado a sus bordes y el espacio de configuración ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ compuesto por marcos $(G,p)$ de $(G,\delta )$ . Los marcos en ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ constan de mapas $p:V\rightarrow \mathbb {R} ^{d|V|}$ que satisfacen

$\|p(u)-p(v)\|^{2}=\delta _{uv},$

para todos los bordes $(u,v)$ de $G$ . En otras palabras, $p$ es una colocación de los vértices de $G$ como puntos en $d$ -dimensiones que satisfacen todas las restricciones de distancia $\delta$ El espacio de configuración ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ es un conjunto algebraico .

Movimientos continuos y triviales. Un movimiento continuo es una trayectoria continua en ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ que describe el movimiento físico entre dos marcos de $(G,\delta )$ que preserva todas las restricciones. Un movimiento trivial es un movimiento continuo resultante de la $d+1 \choose 2$ Isometrías euclidianas , es decir, traslaciones y rotaciones. En general, cualquier espacio métrico posee un conjunto de movimientos triviales derivados del grupo isométrico del espacio.

Rigidez local. La estructura de un sistema de coordenadas geográficas es localmente rígida, o simplemente rígida, si todos sus movimientos continuos son triviales.

La comprobación de la rigidez local es un problema de complejidad co-NP .

Mapa de rigidez. El mapa de rigidez ${\displaystyle \rho$ toma un marco $(G,p)$ y devuelve las distancias al cuadrado. $\|p(u)-p(v)\|^{2}$ entre todos los pares de puntos que están conectados por una arista.

Matriz de rigidez. El jacobiano , o derivada , del mapa de rigidez produce un sistema de ecuaciones lineales de la forma

$(p(u)-p(v))\cdot (p'(v)-p'(u))=0,$

para todos los bordes $(u,v)$ de $G$ La matriz de rigidez $R(G,p)$ es un $|E|\times d|V|$ matriz que codifica la información en estas ecuaciones. Cada arista de $G$ corresponde a una fila de $R(G,p)$ y cada vértice corresponde a $d$ columnas de $R(G,p)$ La fila correspondiente al borde $(u,v)$ se define de la siguiente manera.

${\begin{bmatrix}\,&\dots &{\text{columns for }}u&\dots &{\text{columns for }}v&\dots \\\vdots &\,&\,&\vdots &\,&\,\\{\text{row for }}(u,v)&0\dots 0&p(u)-p(v)&0\dots 0&p(v)-p(u)&0\dots 0\\\vdots &\,&\,&\vdots &\,&\,\end{bmatrix}}$

Movimiento infinitesimal. Un movimiento infinitesimal es una asignación $p':V\rightarrow \mathbb {R} ^{d}$ de velocidades a los vértices de un marco $(G,p)$ de tal manera que $R(G,p)p'=0$ Por lo tanto, el núcleo de la matriz de rigidez es el espacio de movimientos infinitesimales. Un movimiento infinitesimal trivial se define de forma análoga a un movimiento continuo trivial.

Estrés. El estrés es una tarea $\omega :E\rightarrow \mathbb {R}$ hasta los bordes de un marco $(G,p)$ . Un acento es propio si sus entradas son no negativas y es un acento propio si satisface $\omega R(G,p)=0$ Una tensión que satisface esta ecuación también se denomina tensión resoluble, tensión de equilibrio, pretensión o, a veces, simplemente tensión.

Matriz de estrés. Para un estrés $\omega$ aplicado a los bordes de un marco $(G,p)$ con el grafo de restricciones $G=(V,E)$ , definir el $|V|\times |V|$ matriz de estrés $\Omega$ como

$\Omega _{uv}={\begin{cases}-\omega _{uv}&{\text{if }}u\neq v\\\sum _{v\in V}{\omega _{uv}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ .

Se puede verificar fácilmente que para cualesquiera dos $p,q\in \mathbb {R} ^{d|V|}$ y cualquier estrés $\omega$ ,

$\omega R(p)q=p^{T}\Omega q.$

La matriz de rigidez como una transformación lineal

La información de esta sección se puede encontrar en ^{[ 1 ]} . La matriz de rigidez puede verse como una transformación lineal de $\mathbb {R} ^{d|V|}$ a $\mathbb {R} ^{|E|}$ . El dominio de esta transformación es el conjunto de $1\times d|V|$ vectores columna, llamados vectores de velocidad o desplazamiento, denotados por $p'$ y la imagen es el conjunto de $1\times |E|$ vectores de distorsión de borde, denotados por $e'$ . Las entradas del vector $p'$ son velocidades asignadas a los vértices de un marco $(G,p)$ y la ecuación $R(G,p)p'=e'$ Describe cómo los bordes se comprimen o se estiran como resultado de estas velocidades.

La transformación lineal dual conduce a una interpretación física diferente. El codominio de la transformación lineal es el conjunto de $1\times |E|$ vectores columna, o tensiones, denotados por $\omega$ , que aplican una tensión $\omega _{uv}$ a cada borde $(u,v)$ de un marco $(G,p)$ El estrés $\omega _{uv}$ aplica fuerzas a los vértices de $(u,v)$ que son iguales en magnitud pero opuestas en dirección, dependiendo de si $(u,v)$ está siendo comprimido o estirado por $\omega _{uv}$ . Consideremos la ecuación $\omega ^{T}R(p)=f,$ dónde $f$ es un $1\times d|V|$ vector. Los términos de la izquierda corresponden al $d$ columnas de un vértice $v$ en $R(p)$ devuelva la entrada en $f$ esa es la fuerza neta $f_{v}$ aplicado a $v$ por las tensiones en los bordes incidentes a $v$ Por lo tanto, el dominio de la transformación lineal dual es el conjunto de tensiones en las aristas y la imagen es el conjunto de fuerzas netas en los vértices. Una fuerza neta $f$ puede considerarse capaz de contrarrestar o resolver la fuerza $-f$ , por lo tanto, la imagen de la transformación lineal dual es realmente el conjunto de fuerzas resolubles.

La relación entre estas transformaciones lineales duales se describe mediante el trabajo realizado por un vector de velocidad. $p'$ bajo una fuerza neta $f$ :

$W=fp'=(\omega R(p))p'=\omega (R(p)p')=\omega e',$

dónde $\omega$ es un estrés y $e'$ es una distorsión de borde. En términos de la matriz de tensión, esta ecuación anterior se convierte en $W=p^{T}\Omega p'$ .

Tipos de rigidez

Esta sección abarca los distintos tipos de rigidez y cómo se relacionan entre sí. Para más información, véase ^{[ 1 ].}

Rigidez infinitesimal

La rigidez infinitesimal es la forma más fuerte de rigidez que restringe un marco para que no admita ni siquiera movimientos infinitesimales no triviales. También se la llama rigidez de primer orden debido a su relación con la matriz de rigidez. Más precisamente, consideremos las ecuaciones lineales

$(p(u)-p(v))\cdot (p'(u)-p'(v))=0$

resultante de la ecuación $R(G,p)p'=0$ Estas ecuaciones establecen que las proyecciones de las velocidades $p'(u)$ y $p'(v)$ al borde $(u,v)$ cancelar. Cada una de las siguientes afirmaciones es suficiente para una $d$ marco dimensional para ser infinitesimalmente rígido en $d$ -dimensiones:

Todos sus movimientos infinitesimales son triviales;
la dimensión del núcleo de $R(p)$ es $d+1 \choose 2$ ; o
el rango de $R(p)$ es $d|V|-{d+1 \choose 2}$ .

En general, cualquier tipo de marco es infinitesimalmente rígido en $d$ -dimensiones si el espacio de sus movimientos infinitesimales es el espacio de movimientos infinitesimales triviales del espacio métrico. El siguiente teorema de Asimow y Roth relaciona la rigidez infinitesimal y la rigidez.

Teorema. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Si un marco es infinitesimalmente rígido, entonces es rígido.

El recíproco de este teorema no es cierto en general; sin embargo, es cierto para marcos rígidos genéricos (con respecto a la rigidez infinitesimal), véanse las caracterizaciones combinatorias de grafos genéricos rígidos .

Rigidez estática

A $d$ marco dimensional $(G,p)$ es estáticamente rígido en $d$ -dimensiones si cada vector de fuerza $f$ en los vértices de $(G,p)$ que es ortogonal a los movimientos triviales puede resolverse mediante la fuerza neta de alguna tensión propia $\omega$ ; o escrito matemáticamente, para cada vector de fuerza de este tipo $f$ existe un estrés adecuado $\omega$ de tal manera que

$f+\omega R(p)=0.$

De forma equivalente, el rango de $R(p)$ debe ser $d|V|-{d+1 \choose 2}$ La rigidez estática es equivalente a la rigidez infinitesimal.

Rigidez de segundo orden

La rigidez de segundo orden es más débil que la rigidez infinitesimal y estática. La segunda derivada del mapa de rigidez consta de ecuaciones de la forma

$(p(u)-p(v))\cdot (p''(u)-p''(v))+(p'(u)-p'(v))\cdot (p'(u)-p'(v))=0.$

El vector $p''$ asigna una aceleración a cada vértice de un marco $(G,p)$ Estas ecuaciones se pueden escribir en términos de matrices: $R(p)p''=-R(p')p'$ , dónde $R(p')$ se define de manera similar a la matriz de rigidez. Cada una de las siguientes afirmaciones es suficiente para una $d$ marco dimensional para ser rígido de segundo orden en $d$ -dimensiones:

cada par de soluciones $(p',p'')$ La ecuación anterior consiste en un movimiento infinitesimal trivial. $p'$ ;
para cada movimiento infinitesimal no trivial $p'$ No hay aceleración. $p''$ que satisfaga la ecuación anterior; o
para cada movimiento infinitesimal no trivial $p'$ , existe cierta tensión de equilibrio $\omega$ de tal manera que $\omega ^{T}R(p')p'>0$ .

La tercera afirmación muestra que para cada uno de esos $p'$ , $R(p')p'$ no está en el rango de columna de $R(p)$ , es decir, no es una distorsión de borde resultante de $p'$ . Esto se deduce de la alternativa de Fredholm : puesto que el tramo de columna de $R(p)$ es ortogonal al núcleo de $R(p)^{T}$ , es decir, el conjunto de tensiones de equilibrio, ya sea $R(p)p''=-R(p')p'$ para cierta aceleración $p''$ o existe una tensión de equilibrio $\omega$ que satisface la tercera condición. La tercera condición se puede escribir en términos de la matriz de tensiones: $p'^{T}\Omega p'>0$ . Resolviendo para $\omega$ es un problema no lineal en $p'$ sin que se conozca ningún algoritmo eficiente. ^{[ 4 ]}

Estabilidad de preesfuerzo

La estabilidad de pretensado es más débil que la rigidez infinitesimal y estática, pero más fuerte que la rigidez de segundo orden. Consideremos la tercera condición suficiente para la rigidez de segundo orden. A $d$ marco dimensional $(G,p)$ es estable la pretensión si existe una tensión de equilibrio $\omega$ de tal manera que para todas las velocidades no triviales $p'$ , $p'^{T}\Omega p'>0$ La estabilidad de la pretensión se puede verificar mediante técnicas de programación semidefinida . ^{[ 4 ]}

Rigidez global

A $d$ marco dimensional $(G,p)$ de un enlace $(G,\delta )$ es globalmente rígido en $d$ -dimensiones si todos los marcos están en el espacio de configuración ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ son equivalentes salvo movimientos triviales, es decir, factorizando los movimientos triviales, solo hay un marco de referencia de $(G,\delta )$ .

Teorema. La rigidez global es una propiedad genérica de los grafos.

Rigidez mínima

A $d$ marco dimensional $(G,p)$ es mínimamente rígido en $d$ -dimensiones si $(G,p)$ es rígido y elimina cualquier borde de $(G,p)$ Esto da como resultado un marco que no es rígido.

Rigidez redundante

Existen dos tipos de rigidez redundante: rigidez redundante de vértices y rigidez redundante de aristas. $d$ marco dimensional $(G,p)$ es redundantemente rígido en los bordes $d$ -dimensiones si $(G,p)$ es rígido y elimina cualquier borde de $(G,p)$ da como resultado otro marco rígido. La rigidez con redundancia de vértices se define de forma análoga.

Rigidez para diversos tipos de estructuras

Poliedros

Esta sección trata sobre la rigidez de los poliedros en $3$ -dimensiones, véase sistemas poliédricos para una definición de este tipo de GCS. Un poliedro es rígido si su estructura subyacente de barras y uniones es rígida. Uno de los primeros resultados sobre rigidez fue una conjetura de Euler en 1766. ^{[ 5 ]}

Conjetura. ^{[ 5 ]} Una figura espacial cerrada no permite cambios, siempre y cuando no se rompa.

Se ha trabajado mucho para demostrar esta conjetura, que ahora ha sido refutada por un contraejemplo. ^{[ 6 ]} El primer resultado importante es de Cauchy en 1813 y se conoce como el teorema de Cauchy .

Teorema de Cauchy. ^{[ 7 ]} Si existe una isometría entre las superficies de dos poliedros estrictamente convexos que es una isometría en cada una de las caras, entonces los dos poliedros son congruentes.

Hubo errores menores en la demostración de Cauchy. La primera demostración completa se presentó en ^{[ 8 ]} y un resultado ligeramente generalizado se presentó en ^{[ 9 ]} . El siguiente corolario del teorema de Cauchy relaciona este resultado con la rigidez.

Un marco poliédrico estrictamente convexo cuya $2$ -El esqueleto es rígido.

{\displaystyle 2} — Un marco poliédrico estrictamente convexo cuya $2$ -El esqueleto es rígido.

Corolario. El 2-esqueleto de un marco poliédrico estrictamente convexo en $3$ -Las dimensiones son rígidas.

En otras palabras, si tratamos los poliedros convexos como un conjunto de placas rígidas, es decir, como una variante de un marco de cuerpo-barra-bisagra, entonces el marco es rígido. El siguiente resultado, de Bricard en 1897, muestra que la condición de convexidad estricta puede omitirse para $2$ -esqueletos del octaedro .

Teorema. ^{[ 10 ]} El $2$ -esqueleto de cualquier estructura poliédrica del octaedro en $3$ -dimensiones es rígido. Sin embargo, existe un marco del octaedro cuyas $1$ -el esqueleto no es rígido en $3$ -dimensiones.

La demostración de la última parte de este teorema muestra que estos marcos flexibles existen debido a autointersecciones. El progreso en la conjetura de Eurler no se reanudó hasta finales del siglo XIX. El siguiente teorema y corolario se refieren a poliedros triangulados .

Teorema. ^{[ 9 ]} Si se insertan vértices en las aristas de un poliedro estrictamente convexo y se triangulan las caras, entonces el $1$ -El esqueleto del poliedro resultante es infinitesimalmente rígido.

Corolario. Si un poliedro convexo en $3$ -dimensiones tiene la propiedad de que la colección de caras que contienen un vértice dado no se encuentran todas en el mismo plano, entonces el $2$ -el esqueleto de ese poliedro es infinitesimalmente rígido.

El siguiente resultado demuestra que la condición de triangulación en el teorema anterior es necesaria.

Teorema. ^{[ 2 ]} El $1$ -esqueleto de un poliedro estrictamente convexo incrustado en $3$ -Las dimensiones que tienen al menos una cara no triangular no son rígidas.

La siguiente conjetura extiende el resultado de Cauchy a poliedros más generales.

Conjetura. ^{[ 11 ]} Dos poliedros combinatoriamente equivalentes con ángulos diedros correspondientes iguales son isogonales .

Esta conjetura se ha demostrado para algunos casos especiales. ^{[ 12 ]} El siguiente resultado se aplica en el contexto genérico, es decir, a casi todos los poliedros con la misma estructura combinatoria, véase rigidez estructural .

Teorema. ^{[ 13 ]} Toda superficie poliédrica cerrada simplemente conexa con una $3$ El marco dimensional es genéricamente rígido.

Este teorema demuestra que la conjetura de Euler es cierta para casi todos los poliedros. Sin embargo, se encontró un poliedro no genérico que no es rígido en $3$ -dimensiones, refutando la conjetura. ^{[ 6 ]} Este poliedro es topológicamente una esfera, lo que muestra que el resultado genérico anterior es óptimo. Los detalles sobre cómo construir este poliedro se pueden encontrar en. ^{[ 14 ]} Una propiedad interesante de este poliedro es que su volumen permanece constante a lo largo de cualquier trayectoria de movimiento continuo, lo que lleva a la siguiente conjetura.

Conjetura de Bellows. ^{[ 15 ]} Toda superficie poliédrica cerrada orientable se flexiona con volumen constante.

Esta conjetura se demostró primero para poliedros esféricos ^{[ 16 ]} y luego en general. ^{[ 17 ]}

Tensegridades

Esta sección trata sobre la rigidez de las tensegridades ; consulte la sección sobre sistemas de tensegridad para obtener una definición de este tipo de GCS.

Definiciones

Las definiciones que aparecen a continuación se pueden encontrar en ^{[ 1 ] .}

Movimiento infinitesimal. Un movimiento infinitesimal de una estructura de tensegridad. $(G,p)$ es un vector de velocidad $p':V\rightarrow \mathbb {R} ^{d}$ de tal manera que para cada arista $(u,v)$ del marco,

$(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})=0$ , si $(u,v)$ es un bar;
$(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})\leq 0$ , si $(u,v)$ es un cable; y
$(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})\geq 0$ , si $(u,v)$ es un puntal.

Movimiento de segundo orden. Un movimiento de segundo orden de una estructura de tensegridad. $(G,p)$ es una solución $(p',p'')$ a las siguientes restricciones:

Restricción de barra: $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})=0$ y $\|p'_{u}-p'_{v}\|^{2}+(p_{u}-p_{v})\cdot (p''_{u}-p''_{v})=0$ ;
Restricción del cable: $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})=0$ y $\|p'_{u}-p_{v}\|^{2}+(p_{u}-p_{v})\cdot (p''_{u}-p'_{v})\leq 0$ o $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})<0$ ; y
Restricción del cable: $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})=0$ y $\|p'_{u}-p_{v}\|^{2}+(p_{u}-p_{v})\cdot (p''_{u}-p'_{v})\geq 0$ o $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})>0$ .

Rigidez global.' A $d$ Marco de tensegridad dimensional $(G,p)$ de una GCS de tensegridad es globalmente rígida en $d$ -dimensiones si cada uno de los demás $d$ marco dimensional $(G,q)$ del mismo GCS que está dominado por $(G,p)$ se puede obtener mediante un movimiento trivial de $(G,p)$ .

Rigidez universal. A $d$ Marco de tensegridad dimensional $(G,p)$ Un sistema de coordenadas geográficas de tensegridad es universalmente rígido si es globalmente rígido en cualquier dimensión.

Rigidez dimensional. A $d$ Marco de tensegridad dimensional $(G,p)$ de un GCS de tensegridad es dimensionalmente rígido en $d$ -dimensiones si las hay otras $D$ Marco de tensegridad dimensional $(G,q)$ , para cualquier $D$ que satisface las restricciones del GCS, tiene un intervalo afín de dimensión como máximo $d$ .

Súper estable. A $d$ Marco de tensegridad dimensional $(G,p)$ es súper estable en $d$ -dimensiones si es rígido en $d$ -dimensiones como una estructura de unión de barras y tiene una tensión de equilibrio adecuada $\omega$ de tal manera que la matriz de tensión $\Omega$ es semidefinido positivo y tiene rango $|V|-d-1$ .

Teoremas de rigidez

Resultados genéricos.

La rigidez infinitesimal no es una propiedad genérica de las tensegridades, véase rigidez estructural . En otras palabras, no todas las tensegridades genéricas con el mismo grafo de restricciones tienen las mismas propiedades de rigidez infinitesimal. Por lo tanto, se ha trabajado en la identificación de clases específicas de grafos para los cuales la rigidez infinitesimal es una propiedad genérica de las tensegridades. Los grafos que satisfacen esta condición se denominan fuertemente rígidos. Probar un grafo para la rigidez fuerte es NP-difícil, incluso para $1$ -dimensión. ^{[ 18 ]} El siguiente resultado equipara la rigidez redundante genérica de los grafos con tensegridades infinitesimalmente rígidas.

Teorema. ^{[ 19 ]} Un gráfico $G$ tiene un marco de tensegridad infinitesimalmente rígido en $d$ -dimensiones, para alguna partición de los bordes de $G$ en barras, cables y puntales si y solo si $G$ es genéricamente redundante en los bordes rígido en $d$ -dimensiones.

El primer resultado demuestra cuándo la rigidez y la rigidez infinitesimal de las tensegridades son equivalentes.

Teorema. ^{[ 20 ]} Sea $(G,p)$ ser un $d$ marco de tensegridad -dimensional donde: los vértices de $G$ se realizan como un polígono estrictamente convexo ; las barras forman un ciclo hamiltoniano en el límite de este polígono; y no hay puntales. Entonces, $(G,p)$ es rígido en $d$ -dimensiones si y solo si es infinitesimalmente rígido en $d$ -dimensiones.

La siguiente es una condición necesaria para la rigidez.

Teorema. ^{[ 21 ]} Sea $(G,p)$ ser un $d$ -estructura de tensegridad dimensional con al menos un cable o puntal. Si $(G,p)$ es rígido en $d$ -dimensiones, entonces tiene una tensión de equilibrio propia distinta de cero.

La rigidez de las tensegridades también se puede escribir en términos de marcos de unión de barras de la siguiente manera.

Teorema. ^{[ 22 ]} Sea $(G,p)$ ser un $d$ -estructura de tensegridad dimensional con al menos un cable o puntal. Entonces $(G,p)$ es infinitesimalmente rígido en $d$ -dimensiones si es rígido en $d$ -dimensiones como una estructura de unión de barras y tiene una tensión adecuada estricta.

La siguiente es una condición suficiente para la rigidez de segundo orden.

Teorema. ^{[ 20 ]} Sea $(G,p)$ ser un $d$ Marco de tensegridad -dimensional. Si para todos los movimientos infinitesimales no triviales $p'$ de $(G,p)$ Existe una tensión de equilibrio adecuada. $\omega$ de tal manera que

$\sum _{u,v\in V}\omega _{uv}(p'_{u}-p'_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})>0,$

entonces $(G,p)$ es rígido de segundo orden.

Una aplicación interesante de las tensegridades se encuentra en los empaquetamientos de esferas en contenedores poliédricos. Dicho empaquetamiento puede modelarse como una tensegridad con puntales entre pares de esferas tangentes y entre los límites del contenedor y las esferas tangentes a ellos. Este modelo se ha estudiado para calcular las densidades máximas locales de estos empaquetamientos. ^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}

El siguiente resultado demuestra cuándo las estructuras de tensegridad tienen las mismas tensiones de equilibrio.

Teorema. ^{[ 25 ]} Sea $(G,p)$ ser un $d$ -marco de tensegridad dimensional con una tensión adecuada $\omega$ de tal manera que la matriz de tensión $\Omega$ es semidefinida positiva . Entonces, $\omega$ es un estrés adecuado de todos $d$ Marcos de tensegridad -dimensionales dominados por $(G,p)$ .

Teoremas de rigidez global

La siguiente es una condición suficiente para la rigidez global de los marcos de tensegridad genéricos basados en matrices de tensión.

Teorema. ^{[ 26 ]} Sea $(G,p)$ ser un $d$ Marco de tensegridad genérico -dimensional con una tensión de equilibrio adecuada $\omega$ . Si la matriz de tensión $\Omega$ tiene rango $|V|-d-1$ , entonces $(G,p)$ es globalmente rígido en $d$ dimensiones.

Si bien este teorema se refiere al contexto genérico, no ofrece una caracterización combinatoria de la rigidez global genérica, por lo que no es exactamente un resultado de la rigidez estructural .

Rigidez universal y dimensional

Dejar $(G,p)$ ser un $d$ marco de tensegridad genérico -dimensional, de tal manera que el alcance afín de $p$ es $\mathbb {R} ^{d}$ , con una tensión de equilibrio adecuada $\omega$ y la matriz de tensiones $\Omega$ . Un conjunto finito de vectores no nulos en $\mathbb {R} ^{d}$ yace sobre una cónica en el infinito si, tratándolos como puntos en $(d-1)$ Espacio proyectivo de dimensión , se encuentran sobre una cónica. Consideremos las siguientes tres afirmaciones:

$\Omega$ es semidefinida positiva.
$rank(\Omega )=|V|-d-1$ .
Las direcciones de borde de $(G,p)$ con una tensión distinta de cero, y las barras no se encuentran sobre una cónica en el infinito.

Si las afirmaciones 1 y 2 son ciertas, entonces $(G,p)$ es dimensionalmente rígido en $d$ -dimensiones, ^{[ 25 ]} y si la afirmación 3 también es cierta, entonces $(G,p)$ es universalmente rígido en $d$ -dimensiones. ^{[ 27 ]}

Referencias

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Definiciones

La matriz de rigidez como una transformación lineal

Tipos de rigidez

Rigidez infinitesimal

Rigidez estática

Rigidez de segundo orden

Estabilidad de preesfuerzo

Rigidez global

Rigidez mínima

Rigidez redundante

Rigidez para diversos tipos de estructuras

Poliedros

Tensegridades

Definiciones

Teoremas de rigidez

Teoremas de rigidez global

Rigidez universal y dimensional

Referencias

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