Distribución geométrica estable

Una distribución geométrica estable o distribución geoestable es un tipo de distribución de probabilidad leptocúrtica . Las distribuciones geométricas estables fueron introducidas en Klebanov, LB, Maniya, GM y Melamed, IA (1985). Un problema de Zolotarev y análogos de distribuciones infinitamente divisibles y estables en un esquema para sumar un número aleatorio de variables aleatorias. ^[1] Estas distribuciones son análogas para distribuciones estables para el caso en que el número de sumandos es aleatorio, independiente de la distribución del sumando y tiene una distribución geométrica. La distribución geométrica estable puede ser simétrica o asimétrica. Una distribución geométrica estable simétrica también se conoce como distribución de Linnik . ^[2] La distribución de Laplace y la distribución de Laplace asimétrica son casos especiales de la distribución geométrica estable. La distribución de Mittag-Leffler también es un caso especial de una distribución geométrica estable. ^[3]

La distribución geométrica estable tiene aplicaciones en la teoría financiera. ^{[4] [5] [6] [7]}

Para la mayoría de las distribuciones geométricas estables, la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa no tienen una forma cerrada. Sin embargo, una distribución geométrica estable se puede definir por su función característica , que tiene la forma: ^[8]

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }\omega -i\mu t]^{-1}}$

dónde . ${\displaystyle \omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)\,\operatorname {signo} (t)&{\text{si }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log |t|\operatorname {signo} (t)&{\text{si }}\alpha =1\end{cases}}}$

El parámetro , que debe ser mayor que 0 y menor o igual a 2, es el parámetro de forma o índice de estabilidad, que determina qué tan pesadas son las colas. ^[8] Cuanto menor sea el valor , corresponde a colas más pesadas . ${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \alpha}$

El parámetro , que debe ser mayor o igual a −1 y menor o igual a 1, es el parámetro de asimetría. ^[8] Cuando es negativo la distribución está sesgada hacia la izquierda y cuando es positivo la distribución está sesgada hacia la derecha. Cuando es cero la distribución es simétrica y la función característica se reduce a: ^[8]${\estilo de visualización \beta}$${\estilo de visualización \beta}$${\estilo de visualización \beta}$${\estilo de visualización \beta}$

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}}$.

La distribución estable geométrica simétrica con también se conoce como distribución de Linnik. ^[9] Una distribución estable geométrica completamente sesgada, es decir, con , , con también se conoce como distribución de Mittag-Leffler. ^[10] Aunque determina la asimetría de la distribución, no debe confundirse con el coeficiente de asimetría típico o el tercer momento estandarizado , que en la mayoría de las circunstancias no está definido para una distribución estable geométrica. ${\displaystyle \mu = 0}$${\displaystyle \beta = 1}$${\displaystyle \alpha <1}$${\displaystyle 0<\mu <1}$${\estilo de visualización \beta}$

El parámetro se denomina parámetro de escala y es el parámetro de ubicación. ^[8]${\displaystyle \lambda >0}$${\estilo de visualización \mu}$

Cuando = 2, = 0 y = 0 (es decir, una distribución geométrica estable simétrica o distribución de Linnik con = 2), la distribución se convierte en la distribución de Laplace simétrica con media de 0, ^[9] que tiene una función de densidad de probabilidad de: ${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \beta}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \alpha}$

${\displaystyle f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!}$.

La distribución de Laplace tiene una varianza igual a . Sin embargo, la varianza de la distribución geométrica estable es infinita. ${\estilo de visualización 2\lambda ^{2}}$${\displaystyle \alpha <2}$

Una distribución estable tiene la propiedad de que si son variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas, tomadas de dicha distribución, la suma tiene la misma distribución que la de para algunos y . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\puntos ,X_{n}}$${\displaystyle Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}}$$Estilo de visualización X_{i}}$${\displaystyle a_{n}}$$Estilo de visualización b_{n}$

Las distribuciones geométricas estables tienen una propiedad similar, pero donde el número de elementos en la suma es una variable aleatoria distribuida geométricamente . Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tomadas de una distribución geométrica estable, el límite de la suma se aproxima a la distribución de las para algunos coeficientes y cuando p se acerca a 0, donde es una variable aleatoria independiente de las tomadas de una distribución geométrica con parámetro p. ^[5] En otras palabras: ${\displaystyle X_{1},X_{2},\puntos}$${\displaystyle Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}}$$Estilo de visualización X_{i}}$$Estilo de visualización aNp$$Estilo de visualización bNp$$Estilo de visualización N_{p}$$Estilo de visualización X_{i}}$

${\displaystyle \Pr(N_{p}=n)=(1-p)^{n-1}\,p\,.}$

La distribución es estrictamente geométricamente estable sólo si la suma es igual a la distribución de las para algún  a . ^[4]${\displaystyle Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})}$$Estilo de visualización X_{i}}$

También existe una relación entre la función característica de la distribución estable y la función característica de la distribución estable geométrica. La distribución estable tiene una función característica de la forma:

${\displaystyle \Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=\exp \left[~it\mu \!-\!|\lambda t|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \operatorname {signo} (t)\Omega )~\right],}$

dónde

${\displaystyle \Omega ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{si }}\alpha \neq 1,\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{si }}\alpha =1.\end{cases}}}$

La función característica estable geométrica se puede expresar en términos de una función característica estable como: ^[11]

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1-\log(\Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu ))]^{-1 }.}$

• Distribución Mittag-Leffler