acústica geométrica

La acústica geométrica o acústica de rayos es una rama de la acústica que estudia la propagación del sonido basándose en el concepto de rayos acústicos , definidos como líneas a lo largo de las cuales se transporta la energía acústica . ^{[ 1 ]} Este concepto es similar a la óptica geométrica u óptica de rayos, que estudia la propagación de la luz en términos de rayos ópticos . La acústica geométrica es una teoría aproximada, válida en el caso límite de longitudes de onda muy pequeñas o frecuencias muy altas. La tarea principal de la acústica geométrica es determinar las trayectorias de los rayos de sonido. Los rayos tienen la forma más simple en un medio homogéneo , donde son líneas rectas. Si los parámetros acústicos del medio son funciones de las coordenadas espaciales, las trayectorias de los rayos se vuelven curvilíneas, describiendo la reflexión, la refracción, el posible enfoque, etc., del sonido. Las ecuaciones de la acústica geométrica tienen esencialmente la misma forma que las de la óptica geométrica. Las mismas leyes de reflexión y refracción se aplican a los rayos de sonido que a los rayos de luz. La acústica geométrica no toma en cuenta efectos ondulatorios tan importantes como la difracción . Sin embargo, proporciona una muy buena aproximación cuando la longitud de onda es muy pequeña en comparación con las dimensiones características de las inclusiones no homogéneas a través de las cuales se propaga el sonido.

La siguiente discusión proviene de Landau y Lifshitz. ^{[ 2 ]} Si la amplitud y la dirección de propagación varían lentamente a lo largo de distancias de longitud de onda, entonces una onda sonora arbitraria puede aproximarse localmente como una onda plana. En este caso, el potencial de velocidad puede escribirse como

${\displaystyle \phi =\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }}$

Para onda plana${\displaystyle \psi ={\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}-\omega t+\alpha }$, dónde${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$es un vector de número de onda constante,${\displaystyle \omega }$es una frecuencia constante,${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$es el vector de radio,${\displaystyle t}$es el momento y${\displaystyle \alpha }$es alguna constante compleja arbitraria. La función${\displaystyle \psi }$se denomina eikonal . Esperamos que el eikonal varíe lentamente con las coordenadas y el tiempo de acuerdo con la aproximación; entonces, en ese caso, una expansión en serie de Taylor proporciona

${\displaystyle \psi =\psi _{o}+{\boldsymbol {r}}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial {\boldsymbol {r}}}}+t{\frac {\partial \psi }{\partial t}}.}$

Igualando los dos términos para${\displaystyle \psi }$, uno encuentra

${\displaystyle {\boldsymbol {k}}={\frac {\partial \psi }{\partial {\boldsymbol {r}}}},\quad \omega =-{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$

Para las ondas sonoras, la relación${\displaystyle \omega ^{2}=c^{2}k^{2}}$sostiene, donde${\displaystyle c}$es la velocidad del sonido y${\displaystyle k}$es la magnitud del vector de número de onda. Por lo tanto, el eikonal satisface una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden ,

${\displaystyle \left({\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)^{2}=0.}$

dónde${\displaystyle c}$puede ser una función de las coordenadas si el fluido no es homogéneo. La ecuación anterior es la misma que la ecuación de Hamilton-Jacobi, donde el eikonal puede considerarse como la acción . Dado que la ecuación de Hamilton-Jacobi es equivalente a las ecuaciones de Hamilton , por analogía, se encuentra que

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {k}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial \omega }{\partial {\boldsymbol {r}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \omega }{\partial {\boldsymbol {k}}}}}$

Las aplicaciones prácticas de los métodos de la acústica geométrica se encuentran en áreas muy diversas de la acústica. Por ejemplo, en la acústica arquitectónica, las trayectorias rectilíneas de los rayos sonoros permiten determinar el tiempo de reverberación de forma muy sencilla. El funcionamiento de los sonares y los hidrolocalizadores se basa en la medición del tiempo que tardan los rayos sonoros en viajar hasta un objeto reflectante y regresar. El concepto de rayo se utiliza en el diseño de sistemas de focalización de sonido. Asimismo, la teoría aproximada de la propagación del sonido en medios no homogéneos (como el océano y la atmósfera ) se ha desarrollado en gran medida a partir de las leyes de la acústica geométrica. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Los métodos de acústica geométrica tienen un rango de aplicabilidad limitado porque el concepto de rayo solo es válido para aquellos casos en los que la amplitud y la dirección de una onda experimentan pequeñas variaciones en distancias del orden de la longitud de onda de una onda sonora . Más específicamente, es necesario que las dimensiones de las salas u obstáculos en la trayectoria del sonido sean mucho mayores que la longitud de onda . Si las dimensiones características de un problema dado se vuelven comparables a la longitud de onda, entonces la difracción de ondas comienza a desempeñar un papel importante, y esto no está contemplado por la acústica geométrica. ^{[ 1 ]}

El concepto de acústica geométrica se utiliza ampliamente en aplicaciones de software . Algunas aplicaciones de software que utilizan la acústica geométrica para sus cálculos son ODEON, Enhanced Acoustic Simulator for Engineers , Olive Tree Lab Terrain, CATT-Acoustic™ y COMSOL Multiphysics .

• Software de acústica de salas ODEON
• EASE – Estándar industrial para la simulación acústica de salas
• Terreno del Laboratorio del Olivo