Finitud geométrica

En geometría , un grupo de isometrías del espacio hiperbólico se denomina geométricamente finito si posee un dominio fundamental bien definido . Una variedad hiperbólica se denomina geométricamente finita si puede describirse mediante grupos geométricamente finitos.

Un poliedro convexo C en el espacio hiperbólico se denomina geométricamente finito si su clausura C en la compactificación conforme del espacio hiperbólico tiene la siguiente propiedad:

• Para cada punto x en C , existe un entorno U de x tal que todas las caras de C que se encuentran con U también pasan por x ( Ratcliffe 1994 , 12.4) .

Por ejemplo, todo poliedro con un número finito de caras es geométricamente finito. En el espacio hiperbólico de dimensión como máximo  2, todo poliedro geométricamente finito tiene un número finito de lados, pero existen poliedros geométricamente finitos en dimensiones  3 y superiores con infinitos lados. Por ejemplo, en el espacio euclidiano R ⁿ de dimensión n ≥2 existe un poliedro P con un número infinito de lados. El modelo del semiplano superior del espacio hiperbólico de dimensión n +1 en R ^{n +1} se proyecta a R ⁿ , y la imagen inversa de P bajo esta proyección es un poliedro geométricamente finito con un número infinito de lados.

Un poliedro geométricamente finito tiene solo un número finito de cúspides, y todos sus lados, salvo un número finito, intersectan una de esas cúspides.

Un grupo discreto G de isometrías del espacio hiperbólico se denomina geométricamente finito si tiene un dominio fundamental C que es convexo, geométricamente finito y exacto (cada cara es la intersección de C y gC para algún g  ∈ G ) ( Ratcliffe 1994 , 12.4) . 

En espacios hiperbólicos de dimensión como máximo  3, todo poliedro fundamental, convexo y exacto para un grupo geométricamente finito tiene solo un número finito de lados, pero en dimensiones 4 y superiores hay ejemplos con un número infinito de lados ( Ratcliffe 1994 , teorema 12.4.6) .

En espacios hiperbólicos de dimensión como máximo 2, los grupos discretos finitamente generados son geométricamente finitos, pero Greenberg (1966) demostró que hay ejemplos de grupos discretos finitamente generados en dimensión 3 que no son geométricamente finitos.

Una variedad hiperbólica se denomina geométricamente finita si tiene un número finito de componentes, cada una de las cuales es el cociente del espacio hiperbólico por un grupo discreto geométricamente finito de isometrías ( Ratcliffe 1994 , 12.7) .

• Teorema de densidad para grupos kleinianos

• Greenberg, L. (1966), "Poliedros fundamentales para grupos kleinianos", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 84 : 433–441 , doi : 10.2307/1970456 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970456 , MR 0200446   
• Ratcliffe, John G. (1994), Fundamentos de variedades hiperbólicas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0