Geométricamente (geometría algebraica)

En geometría algebraica , especialmente en teoría de esquemas , se dice que una propiedad se cumple geométricamente sobre un cuerpo si también se cumple sobre la clausura algebraica de dicho cuerpo. En otras palabras, una propiedad se cumple geométricamente si se mantiene después de un cambio de base a un punto geométrico . Por ejemplo, una variedad lisa es una variedad geométricamente regular .

Dado un esquema X que es de tipo finito sobre un cuerpo k , las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^{[ 1 ]}

• X es geométricamente irreducible; es decir,${\displaystyle X\times _{k}{\overline {k}}=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} {\overline {k}}}}$es irreducible , donde${\displaystyle {\overline {k}}}$denota un cierre algebraico de k .
• ${\displaystyle X\times _{k}k_{s}}$es irreducible para un cierre separable${\displaystyle k_{s}}$de k .
• ${\displaystyle X\times _{k}F}$es irreducible para cada extensión de campo F de k .

La misma afirmación también se cumple si se reemplaza "irreducible" por " reducido " y se reemplaza el cierre separable por el cierre perfecto . ^{[ 2 ]}

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157