Geometrotermodinámica

En física, la geometrotermodinámica (GTD) es un formalismo desarrollado en 2007 por Hernando Quevedo para describir las propiedades de los sistemas termodinámicos en términos de conceptos de geometría diferencial. ^[1]

Consideremos un sistema termodinámico en el marco de la termodinámica de equilibrio clásica. Los estados de equilibrio termodinámico se consideran como puntos de un espacio de equilibrio abstracto en el que se puede introducir una métrica de Riemann de varias maneras. En particular, se pueden introducir métricas hessianas como la métrica de información de Fisher , la métrica de Weinhold , la métrica de Ruppeiner y otras, cuyos componentes se calculan como la hessiana de un potencial termodinámico particular .

Otra posibilidad es introducir métricas que sean independientes del potencial termodinámico, una propiedad que comparten todos los sistemas termodinámicos en la termodinámica clásica. ^[2] Dado que un cambio de potencial termodinámico es equivalente a una transformación de Legendre , y las transformaciones de Legendre no actúan en el espacio de equilibrio, es necesario introducir un espacio auxiliar para manejar correctamente las transformaciones de Legendre. Este es el llamado espacio de fase termodinámico. Si el espacio de fase está equipado con una métrica de Riemann invariante de Legendre, se puede introducir un mapa suave que induce una métrica termodinámica en la variedad de equilibrio. La métrica termodinámica se puede utilizar entonces con diferentes potenciales termodinámicos sin cambiar las propiedades geométricas de la variedad de equilibrio. Se espera que las propiedades geométricas de la variedad de equilibrio estén relacionadas con las propiedades físicas macroscópicas.

Los detalles de esta relación se pueden resumir en tres puntos principales:

1. La curvatura es una medida de la interacción termodinámica.
2. Las singularidades de curvatura corresponden a transiciones de fase de curvatura.
3. Las geodésicas termodinámicas corresponden a procesos cuasiestáticos.

El ingrediente principal de GTD es una variedad (2 n  + 1)-dimensional con coordenadas , donde es un potencial termodinámico arbitrario, , , son las variables extensivas, y las variables intensivas. También es posible introducir de manera canónica la uni-forma fundamental (suma sobre índices repetidos) con , que satisface la condición , donde es el número de grados de libertad termodinámicos del sistema, y ​​es invariante con respecto a las transformaciones de Legendre ^[3]${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle Z^{A}=\{\Phi ,E^{a},I^{a}\}}$${\estilo de visualización \Phi}$$Estilo de visualización E^{a}}$${\displaystyle a=1,2,\lpuntos ,n}$${\displaystyle I^{a}}$${\displaystyle \Theta = d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b}}$${\displaystyle \delta _{ab}={\rm {diag}}(+1,\ldots ,+1)}$${\displaystyle \Theta \cuña (d\Theta )^{n}\neq 0}$${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle \{Z^{A}\}\longrightarrow \{{\widetilde {Z}}^{A}\}=\{{\tilde {\Phi }},{\tilde {E}}^{a},{\tilde {I}}^{a}\}\ ,\quad \Phi ={\tilde {\Phi }}-\delta _{kl}{\tilde {E}}^{k}{\tilde {I}}^{l},\quad E^{i}=-{\tilde {I}}^{i},\quad E^{j}={\tilde {E}}^{j},\quad I^{i}={\tilde {E}}^{i},\quad I^{j}={\tilde {I}}^{j}\ ,}$

donde es cualquier descomposición disjunta del conjunto de índices , y . En particular, para y obtenemos la transformación de Legendre total y la identidad, respectivamente. También se supone que en existe una métrica que también es invariante con respecto a las transformaciones de Legendre. La tríada define una variedad de contacto de Riemann que se llama espacio de fase termodinámico (variedad de fase). El espacio de estados de equilibrio termodinámico (variedad de equilibrio) es una subvariedad de Riemann de n dimensiones inducida por una función suave , es decir , con y , tal que se cumple, donde es el pullback de . La variedad está naturalmente equipada con la métrica de Riemann . El propósito de GTD es demostrar que las propiedades geométricas de están relacionadas con las propiedades termodinámicas de un sistema con ecuación termodinámica fundamental . La condición de invariancia con respecto a las transformaciones de Legendre totales conduce a las métricas ${\displaystyle i\cup j}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle k,l=1,\lpuntos ,i}$${\displaystyle i=\{1,\lpuntos ,n\}}$${\displaystyle i=\conjunto vacío}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle ({\mathcal {T}},\Theta ,G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subconjunto {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \varphi :{\mathcal {E}}\rightarrow {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \varphi :\{E^{a}\}\mapsto \{\Phi ,E^{a},I^{a}\}}$${\displaystyle \Phi =\Phi (E^{a})}$${\displaystyle I^{a}=I^{a}(E^{a})}$${\displaystyle \varphi ^{*}(\Theta )=\varphi ^{*}(d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b})=0}$${\displaystyle \varphi ^{*}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle g=\varphi ^{*}(G)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \Phi =\Phi (E^{a})}$

${\displaystyle G^{I}=(d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b})^{2}+\Lambda \,(\xi _{ab}E^{a}I^{b})\left(\delta _{cd}dE^{c}dI^{d}\right)\ ,\quad \delta _{ab}={\rm {diag}}(1,\ldots ,1)}$

${\displaystyle G^{II}=(d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b})^{2}+\Lambda \,(\xi _{ab}E^{a}I^{b})\left(\eta _{cd}dE^{c}dI^{d}\right)\ ,\quad \eta _{ab}={\rm {diag}}(-1,1,\ldots ,1)}$

donde es una matriz diagonal constante que se puede expresar en términos de y , y es una función invariante de Legendre arbitraria de . Las métricas y se han utilizado para describir sistemas termodinámicos con transiciones de fase de primer y segundo orden, respectivamente. La métrica más general que es invariante con respecto a las transformaciones de Legendre parciales es ${\displaystyle \xi _{ab}}$${\displaystyle \delta _{ab}}$${\displaystyle \eta _{ab}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle Z^{A}}$${\displaystyle G^{I}}$${\displaystyle G^{II}}$

${\displaystyle G^{III}=(d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b})^{2}+\Lambda \,(E_{a}I_{a})^{2k+1}\left(dE^{a}dI^{a}\right)\ ,\quad E_{a}=\delta _{ab}E^{b}\ ,\quad I_{a}=\delta _{ab}I^{b}\ .}$

Los componentes de la métrica correspondiente para la variedad de equilibrio se pueden calcular como ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle g_{ab}={\frac {\partial Z^{A}}{\partial E^{a}}}{\frac {\partial Z^{B}}{\partial E^{b}}}G_{AB}\ .}$

GTD se ha aplicado para describir sistemas de laboratorio como el gas ideal, el gas de van der Waals, el modelo de Ising, etc., sistemas más exóticos como los agujeros negros en diferentes teorías de gravedad, ^[4] en el contexto de la cosmología relativista, ^[5] y para describir reacciones químicas. ^[6]