Geometría de los números

La geometría de los números es la parte de la teoría de números que utiliza la geometría para el estudio de los números algebraicos . Normalmente, un anillo de números enteros algebraicos se considera como una red y el estudio de estas redes proporciona información fundamental sobre los números algebraicos. ^[1] Hermann Minkowski  (1896) inició esta línea de investigación a la edad de 26 años en su obra La geometría de los números . ^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

La geometría de los números tiene una estrecha relación con otros campos de las matemáticas, especialmente el análisis funcional y la aproximación diofántica , el problema de encontrar números racionales que se aproximen a una cantidad irracional . ^[3]

Supóngase que es una red en el espacio euclidiano de dimensión - y es un cuerpo convexo con simetría central. El teorema de Minkowski , a veces llamado primer teorema de Minkowski, establece que si , entonces contiene un vector distinto de cero en . ${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle \nombreoperador {vol} (K)>2^{n}\nombreoperador {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización \Gamma}$

El mínimo sucesivo se define como el inf de los números tales que contiene vectores linealmente independientes de . El teorema de Minkowski sobre mínimos sucesivos , a veces llamado segundo teorema de Minkowski , es un fortalecimiento de su primer teorema y establece que ^[4]${\displaystyle \lambda _{k}}$${\estilo de visualización \lambda}$${\displaystyle \lambda K}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización \Gamma}$

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).}$

Entre 1930 y 1960, numerosos teóricos de números (entre ellos Louis Mordell , Harold Davenport y Carl Ludwig Siegel ) llevaron a cabo investigaciones sobre la geometría de los números . En los últimos años, Lenstra, Brion y Barvinok han desarrollado teorías combinatorias que enumeran los puntos reticulares de algunos cuerpos convexos. ^[5]

En la geometría de los números, el teorema del subespacio fue obtenido por Wolfgang M. Schmidt en 1972. ^[6] Afirma que si n es un entero positivo, y L ₁ ,..., L _n son formas lineales linealmente independientes en n variables con coeficientes algebraicos y si ε>0 es cualquier número real dado, entonces los puntos enteros distintos de cero x en n coordenadas con

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }}$

se encuentran en un número finito de subespacios propios de Q ⁿ .

La geometría de los números de Minkowski tuvo una profunda influencia en el análisis funcional . Minkowski demostró que los cuerpos convexos simétricos inducen normas en espacios vectoriales de dimensión finita. El teorema de Minkowski fue generalizado a los espacios vectoriales topológicos por Kolmogorov , cuyo teorema establece que los conjuntos convexos simétricos que son cerrados y acotados generan la topología de un espacio de Banach . ^[7]

Los investigadores continúan estudiando generalizaciones a conjuntos con forma de estrella y otros conjuntos no convexos . ^[8]

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