Modelo de armónicos esféricos geopotenciales

En geofísica y geodesia física , un modelo geopotencial es el análisis teórico para medir y calcular los efectos del campo gravitatorio terrestre ( el geopotencial ). La Tierra no es exactamente esférica, principalmente debido a su rotación alrededor del eje polar, que le confiere una forma ligeramente achatada. Sin embargo, un desarrollo en serie de armónicos esféricos reproduce el campo real con creciente precisión.

Si se conociera perfectamente la forma de la Tierra junto con su densidad de masa exacta ρ = ρ( x , y , z ), se podría integrar numéricamente (al combinarla con un núcleo de distancia recíproca ) para obtener un modelo preciso del campo gravitatorio terrestre. Sin embargo, la situación es, de hecho, la opuesta: al observar las órbitas de las naves espaciales y la Luna, el campo gravitatorio terrestre se puede determinar con bastante precisión. La mejor estimación de la masa terrestre se obtiene dividiendo el producto GM , determinado a partir del análisis de la órbita de las naves espaciales, entre un valor para la constante gravitatoria G , determinado con menor precisión relativa mediante otros métodos físicos.

De las ecuaciones definitorias ( 1 ) y ( 2 ) queda claro (tomando las derivadas parciales del integrando) que fuera del cuerpo, en el espacio vacío, las siguientes ecuaciones diferenciales son válidas para el campo causado por el cuerpo:

Funciones de la forma${\displaystyle \phi =R(r)\,\Theta (\theta )\,\Phi (\varphi )}$donde ( r , θ, φ) son las coordenadas esféricas que satisfacen la ecuación diferencial parcial ( 6 ) (la ecuación de Laplace ) se denominan funciones armónicas esféricas .

Adoptan las siguientes formas:

donde se utilizan coordenadas esféricas ( r , θ, φ), dadas aquí en términos cartesianos ( x, y, z ) como referencia:

Además, P ⁰ _n son los polinomios de Legendre y P ^m _n para 1 ≤ m ≤ n son las funciones de Legendre asociadas .

Los primeros armónicos esféricos con n = 0, 1, 2, 3 se presentan en la tabla siguiente. [Tenga en cuenta que la convención de signos difiere de la que aparece en la página sobre los polinomios de Legendre asociados, aquí.]${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=3x{\sqrt {1-x^{2}}}}$mientras que hay${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x{\sqrt {1-x^{2}}}}$.]

El modelo para el potencial gravitatorio de la Tierra es una suma

dónde${\displaystyle \mu =GM}$y las coordenadas ( 8 ) son relativas al sistema de referencia geodésico estándar extendido en el espacio con origen en el centro del elipsoide de referencia y con el eje z en la dirección del eje polar.

Los términos zonales se refieren a términos de la forma:

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}\quad n=0,1,2,\dots }$

y los términos teserales se refieren a términos de la forma:

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi }{r^{n+1}}}\,,\quad 1\leq m\leq n\quad n=1,2,\dots }$

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi }{r^{n+1}}}}$

En ( 9 ), se omiten los términos zonales y teserales para n  = 1. Los coeficientes para el término n = 1 con m = 0 y m = 1 corresponden a un término dipolar con orientación arbitraria en la expansión multipolar. La gravedad no presenta físicamente ningún carácter dipolar, por lo que la integral que caracteriza a n = 1 debe ser cero.   

A continuación, se asignan a los diferentes coeficientes J _n , C _n ^m , S _n ^{m , los valores para los que se obtiene la mejor concordancia posible entre las órbitas de la nave espacial calculadas y observadas.}

Como P ⁰ _n ( x ) = − P ⁰ _n (− x ) los coeficientes no nulos J _n para n impar corresponden a una falta de simetría "norte-sur" con respecto al plano ecuatorial para la distribución de masa de la Tierra. Los coeficientes no nulos C _n ^m , S _n ^m corresponden a una falta de simetría rotacional alrededor del eje polar para la distribución de masa de la Tierra, es decir, a una "triaxialidad" de la Tierra.

Para valores grandes de n , los coeficientes anteriores (que se dividen por r ^{( n + 1)} en ( 9 )) toman valores muy grandes cuando, por ejemplo, se usan kilómetros y segundos como unidades. En la literatura es común introducir un "radio de referencia" arbitrario R cercano al radio de la Tierra y trabajar con los coeficientes adimensionales.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {J_{n}}}&=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {C_{n}^{m}}}&=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {S_{n}^{m}}}&=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}\end{aligned}}}$

y escribir el potencial como

El término dominante (después del término −μ/ r ) en ( 9 ) es el coeficiente J _{2 , el} segundo factor de forma dinámico que representa el achatamiento de la Tierra:

${\displaystyle u={\frac {J_{2}\ P_{2}^{0}(\sin \theta )}{r^{3}}}=J_{2}{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\sin ^{2}\theta -1)=J_{2}{\frac {1}{r^{5}}}{\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})}$

En relación con el sistema de coordenadas

Como se ilustra en la figura 1, los componentes de la fuerza causada por el " término J _{2 " son:}

En el sistema de coordenadas rectangulares ( x, y, z ) con vectores unitarios ( x̂ ŷ ẑ ) las componentes de la fuerza son:

Los componentes de la fuerza correspondientes al " término J _{3 "}

${\displaystyle u={\frac {J_{3}P_{3}^{0}(\sin \theta )}{r^{4}}}=J_{3}{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(5\sin ^{2}\theta -3\right)=J_{3}{\frac {1}{r^{7}}}{\frac {1}{2}}z\left(5z^{2}-3r^{2}\right)}$

son

y

Los valores numéricos exactos de los coeficientes varían (un poco) entre los diferentes modelos terrestres, pero para los coeficientes más bajos coinciden casi exactamente.

Para el modelo JGM-3 ( ver más abajo ) los valores son:

µ = 398600,440 km ³ ⋅s ⁻²

J ₂ = 1,75553 × 10 ¹⁰ km ⁵ ⋅s ⁻²

J ₃ = −2,61913 × 10 ¹¹ km ⁶ ⋅s ⁻²

Por ejemplo, a un radio de 6600  km (aproximadamente 200  km sobre la superficie terrestre), J ₃ /( J ₂ r ) es aproximadamente 0,002; es decir, la corrección a la " fuerza J _{2 " a partir del "término} J ₃ " es del orden de 2 partes por mil. El valor negativo de J ₃ implica que, para una masa puntual en el plano ecuatorial de la Tierra, la fuerza gravitatoria está ligeramente inclinada hacia el sur debido a la falta de simetría en la distribución de masas "norte-sur" de la Tierra.

Las órbitas de las naves espaciales se calculan mediante la integración numérica de la ecuación de movimiento . Para ello, se debe calcular la fuerza gravitatoria, es decir, el gradiente del potencial. Se han diseñado algoritmos recursivos eficientes para calcular la fuerza gravitatoria para cualquier${\displaystyle N_{z}}$y${\displaystyle N_{t}}$(el grado máximo de términos zonales y teserales) y dichos algoritmos se utilizan en el software estándar de propagación de órbitas.

Los primeros modelos terrestres de uso general por la NASA y la ESRO / ESA fueron los "Modelos Terrestres Goddard", desarrollados por el Centro de Vuelo Espacial Goddard (GSFC), denominados "GEM-1", "GEM-2", "GEM-3", etc. Posteriormente, se pusieron a disposición los "Modelos Conjuntos de Gravedad Terrestre", denominados "JGM-1", "JGM-2" y "JGM-3", desarrollados por el GSFC en colaboración con universidades y empresas privadas. Los modelos más recientes generalmente proporcionaban términos de orden superior que sus predecesores. El EGM96 utiliza N _z = N _t = 360, lo que resulta en 130 317 coeficientes. También está disponible un modelo EGM2008.

Para un satélite terrestre normal que requiere una precisión de determinación/predicción de órbita de unos pocos metros, el modelo "JGM-3" truncado a N _z = N _t = 36 (1365 coeficientes) suele ser suficiente. Las imprecisiones derivadas del modelado de la resistencia del aire y, en menor medida, de la presión de la radiación solar , superarán las imprecisiones causadas por los errores en el modelado de la gravedad.

Los coeficientes adimensionales${\displaystyle {\tilde {J_{n}}}=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}}}$,${\displaystyle {\tilde {C_{n}^{m}}}=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$,${\displaystyle {\tilde {S_{n}^{m}}}=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$para los primeros términos zonales y teserales (usando${\displaystyle R}$=6 378 .1363  km y${\displaystyle \mu }$=398 600 .4415  km ³ /s ² ) del modelo JGM-3 son

Según JGM-3, por lo tanto se tiene que J ₂ =0,108 263 5854 × 10 ⁻² × 6378,1363 ² ×398 600 .4415  km ⁵ /s ² =1,755 53 × 10 ¹⁰  km ⁵ /s ² y J ₃ =−0,253 243 5346 × 10 ⁻⁵ × 6378,1363 ³ ×398 600 .4415  km ⁶ /s ² =−2,619 13 × 10 ¹¹  km ⁶ /s ² .

• Geoide#Representación de armónicos esféricos

• http://cddis.nasa.gov/lw13/docs/papers/sci_lemoine_1m.pdf Archivado el 19 de julio de 2011 en Wayback Machine
• http://geodesy.geology.ohio-state.edu/course/refpapers/Tapley_JGR_JGM3_96.pdf Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine