El problema de los tanques alemanes

Según las estimaciones de inteligencia aliadas convencionales, los alemanes producían alrededor de 1400  tanques al mes entre junio  de 1940 y septiembre  de 1942. Aplicando la fórmula que figura a continuación a los números de serie de los tanques capturados, se calculó que la cifra era de 246 al mes. Tras la guerra, las cifras de producción alemanas capturadas, procedentes del ministerio de Albert Speer, mostraron que la cifra real era de 245. ^{[ 4 ]}

Las estimaciones para algunos meses específicos se dan como: ^{[ 8 ]}

Se utilizó un análisis de números de serie similar para otros equipos militares durante  la Segunda Guerra Mundial, con mayor éxito para el cohete V-2 . ^{[ 9 ]}

Las marcas de fábrica en el equipo militar soviético fueron analizadas durante la Guerra de Corea y por la inteligencia alemana durante la  Segunda Guerra Mundial. ^{[ 10 ]}

En la década de 1980, algunos estadounidenses tuvieron acceso a la línea de producción de los tanques Merkava de Israel . Las cifras de producción eran clasificadas, pero los tanques tenían números de serie, lo que permitió estimar la producción. ^{[ 11 ]}

La fórmula se ha utilizado en contextos no militares, por ejemplo, para estimar el número de ordenadores Commodore 64 fabricados, donde el resultado (12,5  millones) coincide con las estimaciones más bajas. ^{[ 12 ]}

Para la estimación puntual (estimar un único valor para el total,${\displaystyle {\widehat {N}}}$), el estimador insesgado de mínima varianza (MVUE, o estimador UMVU) viene dado por: ^{[ e ]}

${\displaystyle {\widehat {N}}=m(1+k^{-1})-1,}$

donde m es el número de serie más grande observado ( máximo de la muestra ) y k es el número de tanques observados ( tamaño de la muestra ). ^{[ 11 ] [ 14 ]} Tenga en cuenta que una vez que se ha observado un número de serie, ya no está en el grupo y no se volverá a observar.

Esto tiene una varianza ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \operatorname {var} \left({\widehat {N}}\right)={\frac {1}{k}}{\frac {(Nk)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ para muestras pequeñas }}k\ll N,}$

por lo que la desviación estándar es aproximadamente N / k , el tamaño esperado de la brecha entre las observaciones ordenadas en la muestra.

La fórmula puede entenderse intuitivamente como el máximo de la muestra más la diferencia promedio entre las observaciones de la muestra, siendo el máximo de la muestra elegido como estimador inicial, debido a que es el estimador de máxima verosimilitud , ^{[ f ]} con la diferencia añadida para compensar el sesgo negativo del máximo de la muestra como estimador del máximo de la población, ^{[ g ]} y escrito como

${\displaystyle {\widehat {N}}=m+{\frac {mk}{k}}=m+mk^{-1}-1=m(1+k^{-1})-1.}$

Esto se puede visualizar imaginando que las observaciones en la muestra están espaciadas uniformemente en todo el rango, con observaciones adicionales justo fuera del rango en 0 y N  +  1. Si se comienza con un intervalo inicial entre 0 y la observación más baja en la muestra (el mínimo de la muestra), el intervalo promedio entre observaciones consecutivas en la muestra es${\displaystyle (mk)/k}$, el${\displaystyle -k}$ya que las observaciones mismas no se cuentan al calcular la brecha entre observaciones. ^{[ h ]} Una derivación del valor esperado y la varianza del máximo de la muestra se muestran en la página de la distribución uniforme discreta .

Esta filosofía se formaliza y generaliza en el método de estimación de espaciamiento máximo ; se utiliza una heurística similar para trazar la posición en un gráfico Q-Q , trazando puntos de muestra en k / ( n + 1) , que está uniformemente en la distribución uniforme, con un hueco al final.

En lugar de, o además de, la estimación puntual , se puede realizar una estimación por intervalos , como los intervalos de confianza . Estos se calculan fácilmente, basándose en la observación de que la probabilidad de que k observaciones de la muestra caigan en un intervalo que cubra p del rango (0  ≤ p ≤ 1) es p ^k (suponiendo en esta sección que las extracciones son con reemplazo, para simplificar los cálculos; si las extracciones son sin reemplazo, esto sobreestima la probabilidad y los intervalos serán demasiado conservadores).   

Así, la distribución muestral del cuantil del máximo de la muestra es la gráfica x ^{1/ k} de 0 a 1: el cuantil p al q del máximo de la muestra m son el intervalo [ p ^{1/ k} N , q ^{1/ k} N ]. Invirtiendo esto se obtiene el intervalo de confianza correspondiente para el máximo de la población de [ m / q ^{1/ k} , m / p ^{1/ k} ].  

Por ejemplo, tomando el intervalo simétrico del 95% p = 2,5% y q = 97,5% para k = 5 se obtiene 0,025 ^1/5 ≈ 0,48, 0,975 ^1/5 ≈ 0,995, por lo que el intervalo de confianza es aproximadamente [1,005 m , 2,08 m ]. El límite inferior está muy cerca de m , por lo que es más informativo el intervalo de confianza asimétrico de p = 5% a 100%; para k = 5 esto produce 0,05 ^1/5 ≈ 0,55 y el intervalo [ m ,  1,82 m ].

En términos más generales, el intervalo de confianza del 95 % (sesgado a la baja) es [ m , m /0,05 ^{1/ k} ] = [ m , m ·20 ^1/k ]. Para un rango de valores de k , con el estimador puntual UMVU (más 1 para mayor legibilidad) como referencia, se obtiene:

Las observaciones inmediatas son:

• Para tamaños de muestra pequeños, el intervalo de confianza es muy amplio, lo que refleja una gran incertidumbre en la estimación.
• El rango se reduce rápidamente, lo que refleja la probabilidad, que disminuye exponencialmente, de que todas las observaciones de la muestra estén significativamente por debajo del máximo.
• El intervalo de confianza presenta asimetría positiva, ya que N nunca puede estar por debajo del máximo de la muestra, pero puede ser potencialmente arbitrariamente alto por encima de él.

Tenga en cuenta que m / k no se puede usar ingenuamente (o más bien ( m  + m / k − 1) / k ) como una estimación del error estándar SE , ya que el error estándar de un estimador se basa en el máximo de la población (un parámetro), y usar una estimación para estimar el error en esa misma estimación es un razonamiento circular .   

La regla para la probabilidad condicional da

${\displaystyle (n\mid m,k)(m\mid k)=(m\mid n,k)(n\mid k)=(m,n\mid k)}$

La expresión

${\displaystyle (m\mid n,k)=(M=m\mid N=n,K=k)}$

es la probabilidad condicional de que el número de serie máximo observado,${\displaystyle M}$, es igual a${\displaystyle m}$, cuando el número de tanques enemigos,${\displaystyle N}$, se sabe que es igual a${\displaystyle n}$y el número de tanques enemigos observados,${\displaystyle K}$, se sabe que es igual a${\displaystyle k}$.

Es

${\displaystyle (m\mid n,k)={\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}^{-1}[k\leq m][m\leq n]}$

dónde${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$es un coeficiente binomial y${\displaystyle [k\leq n]}$es un soporte Iverson .

La expresión se puede derivar de la siguiente manera: ${\displaystyle (m\mid n,k)}$responde a la pregunta: "¿Cuál es la probabilidad de un número de serie específico?"${\displaystyle m}$siendo el número más alto observado en una muestra de${\displaystyle k}$tanques, dado que hay${\displaystyle n}$¿tanques en total?

Se puede pensar en la muestra de tamaño${\displaystyle k}$ser el resultado de${\displaystyle k}$sorteos individuales sin reemplazo. Suponga${\displaystyle m}$se observa en el número de sorteo${\displaystyle d}$La probabilidad de que esto ocurra es: $${\displaystyle \underbrace {{\frac {m-1}{n}}\cdot {\frac {m-2}{n-1}}\cdot {\frac {m-3}{n-2}}\cdots {\frac {m-d+1}{n-d+2}}} _{d-1{\text{ times}}}\cdot \underbrace {\frac {1}{n-d+1}} _{{\text{draw no. }}d}\cdot \underbrace {{\frac {m-d}{n-d}}\cdot {\frac {m-d-1}{n-d-1}}\cdots {\frac {m-d-(k-d-1)}{n-d-(k-d-1)}}} _{k-d{\text{ times}}}={\frac {(n-k)!}{n!}}\cdot {\frac {(m-1)!}{(m-k)!}}.}$$

Como se puede observar en el lado derecho, esta expresión es independiente de${\displaystyle d}$y por lo tanto lo mismo para cada uno${\displaystyle d\leq k}$. Como${\displaystyle m}$se puede dibujar${\displaystyle k}$diferentes sorteos, la probabilidad de cualquier específico${\displaystyle m}$siendo el más grande observado es${\displaystyle k}$veces la probabilidad anterior: $${\displaystyle (m\mid n,k)=k\cdot {\frac {(n-k)!}{n!}}\cdot {\frac {(m-1)!}{(m-k)!}}={\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}^{-1}.}$$

Visto de otra manera, después${\displaystyle k}$sorteos sin reemplazo, un sorteo fue para objeto${\displaystyle m}$y el otro${\displaystyle k-1}$eran para objetos en el rango${\displaystyle 1}$a${\displaystyle m-1}$ ; hay${\displaystyle {\binom {m-1}{k-1}}}$formas de lograr esto. Y hay${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ formas de dibujar sin reemplazo${\displaystyle k}$objetos de una colección de${\displaystyle n}$objetos.

La expresión${\displaystyle (m\mid k)=(M=m\mid K=k)}$es la probabilidad de que el número de serie máximo sea igual a${\displaystyle m}$una vez${\displaystyle k}$Se han observado los tanques, pero antes se han podido observar los números de serie.

La expresión${\displaystyle (m\mid k)}$puede reescribirse en términos de las otras cantidades marginalizando sobre todas las posibles${\displaystyle n}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}(m\mid k)&=\sum _{n=0}^{\infty }(m,n\mid k)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(m\mid n,k)(n\mid k)\end{aligned}}}$

Suponemos que${\displaystyle k}$está fijado de antemano para que no tengamos que considerar ninguna distribución sobre${\displaystyle k}$Por lo tanto, nuestro a priori puede depender de${\displaystyle k}$.

La expresión

${\displaystyle (n\mid k)=(N=n\mid K=k)}$

es la credibilidad que el número total de tanques,${\displaystyle N}$, es igual a${\displaystyle n}$cuando el número${\displaystyle K}$Se sabe que los tanques observados son${\displaystyle k}$pero antes de que se hayan observado los números de serie. Supongamos que se trata de una distribución uniforme discreta.

${\displaystyle (n\mid k)=(\Omega -k)^{-1}[k\leq n][n<\Omega ]}$

El límite superior ${\displaystyle \Omega }$debe ser finito, porque la función

${\displaystyle f(n)=\lim _{\Omega \rightarrow \infty }(\Omega -k)^{-1}[k\leq n][n<\Omega ]=0}$

no es una función de distribución de masa. Nuestro resultado a continuación no dependerá de${\displaystyle \Omega }$.

Siempre que${\displaystyle \Omega >m}$, de modo que la distribución a priori sea consistente con los datos observados:

${\displaystyle (n\mid m,k)=(m\mid n,k)\left(\sum _{n=m}^{\Omega -1}(m\mid n,k)\right)^{-1}[m\leq n][n<\Omega ]}$

Como${\displaystyle \Omega \rightarrow \infty }$, los enfoques de suma${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }(m\mid n,k)}$(que es finito si k  ≥  2). Por lo tanto, para valores suficientemente grandes${\displaystyle \Omega }$, tenemos

${\displaystyle (n\mid m,k)\approx (m\mid n,k)\left(\sum _{n=m}^{\infty }(m\mid n,k)\right)^{-1}[m\leq n]}$

Para k  ≥  1, la moda de la distribución del número de tanques enemigos es m .

Para k  ≥  2, la probabilidad de que el número de tanques enemigos sea igual a${\displaystyle n}$, es

${\displaystyle (N=n\mid m,k)=(k-1){\binom {m-1}{k-1}}k^{-1}{\binom {n}{k}}^{-1}[m\leq n]}$

La probabilidad de que el número de tanques enemigos, N , sea mayor que n , es

${\displaystyle (N>n\mid m,k)={\begin{cases}1&{\text{if }}n<m\\{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k-1}}}&{\text{if }}n\geq m\end{cases}}}$

Para k  ≥  3, N tiene un valor medio finito :

${\displaystyle (m-1)(k-1)(k-2)^{-1}}$

Para k  ≥  4, N tiene una desviación estándar finita :

${\displaystyle (k-1)^{1/2}(k-2)^{-1}(k-3)^{-1/2}(m-1)^{1/2}(m+1-k)^{1/2}}$

Estas fórmulas se derivan a continuación.

La siguiente identidad de coeficientes binomiales se utiliza a continuación para simplificar series relacionadas con el problema del tanque alemán.

${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n}{k}}}={\frac {k}{k-1}}{\frac {1}{\binom {m-1}{k-1}}}}$

Esta fórmula de suma es algo análoga a la fórmula integral.

${\displaystyle \int _{n=m}^{\infty }{\frac {dn}{n^{k}}}={\frac {1}{k-1}}{\frac {1}{m^{k-1}}}}$

Estas fórmulas son válidas para k  >  1.

Observar un tanque al azar de una población de n tanques da el número de serie m con probabilidad 1/ n para m  ≤ n , y probabilidad cero para m > n . Usando la notación de corchetes de Iverson, esto se escribe   

${\displaystyle (M=m\mid N=n,K=1)=(m\mid n)={\frac {[m\leq n]}{n}}}$

Esta es la función de distribución de masa de probabilidad condicional de${\displaystyle m}$.

Cuando se considera como una función de n para un m fijo , se trata de una función de verosimilitud.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(n)={\frac {[n\geq m]}{n}}}$

La estimación de máxima verosimilitud para el número total de tanques es N ₀  = m , claramente una estimación sesgada ya que el número real puede ser mayor que este, potencialmente mucho mayor, pero no puede ser menor. 

La verosimilitud marginal (es decir, marginalizada sobre todos los modelos) es infinita , siendo una cola de la serie armónica .

${\displaystyle \sum _{n}{\mathcal {L}}(n)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty }$

pero

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)[n<\Omega ]&=\sum _{n=m}^{\Omega -1}{\frac {1}{n}}\\[5pt]&=H_{\Omega -1}-H_{m-1}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle H_{n}}$es el número armónico .

La función de distribución de masa de credibilidad depende del límite previo.${\displaystyle \Omega }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(N=n\mid M=m,K=1)\\[5pt]={}&(n\mid m)={\frac {[m\leq n]}{n}}{\frac {[n<\Omega ]}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}}\end{aligned}}}$

El valor medio de ${\displaystyle N}$es

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}n\cdot (n\mid m)&=\sum _{n=m}^{\Omega -1}{\frac {1}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}}\\[5pt]&={\frac {\Omega -m}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}}\\[5pt]&\approx {\frac {\Omega -m}{\log \left({\frac {\Omega -1}{m-1}}\right)}}\end{aligned}}}$

Si se observan dos tanques en lugar de uno, entonces la probabilidad de que el mayor de los dos números de serie observados sea igual a m es

${\displaystyle (M=m\mid N=n,K=2)=(m\mid n)=[m\leq n]{\frac {m-1}{\binom {n}{2}}}}$

Cuando se considera una función de n para un m fijo , se trata de una función de verosimilitud.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(n)=[n\geq m]{\frac {m-1}{\binom {n}{2}}}}$

La probabilidad total es

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)&={\frac {m-1}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n}{2}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}\cdot {\frac {2}{2-1}}\cdot {\frac {1}{\binom {m-1}{2-1}}}\\[4pt]&=2\end{aligned}}}$

y la función de distribución de masa de credibilidad es

${\displaystyle {\begin{aligned}&(N=n\mid M=m,K=2)\\[4pt]={}&(n\mid m)\\[4pt]={}&{\frac {{\mathcal {L}}(n)}{\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)}}\\[4pt]={}&[n\geq m]{\frac {m-1}{n(n-1)}}\end{aligned}}}$

La mediana${\displaystyle {\tilde {N}}}$Satisface

${\displaystyle \sum _{n}[n\geq {\tilde {N}}](n\mid m)={\frac {1}{2}}}$

entonces

${\displaystyle {\frac {m-1}{{\tilde {N}}-1}}={\frac {1}{2}}}$

y por lo tanto la mediana es

${\displaystyle {\tilde {N}}=2m-1}$

pero el valor medio de${\displaystyle N}$es infinito

${\displaystyle \mu =\sum _{n}n\cdot (n\mid m)={\frac {m-1}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{n-1}}=\infty }$