Teorema de Gibbard

En los campos del diseño de mecanismos y la teoría de la elección social , el teorema de Gibbard es un resultado demostrado por el filósofo Allan Gibbard en 1973. ^[1] Afirma que para cualquier proceso determinista de decisión colectiva, debe cumplirse al menos una de las siguientes tres propiedades:

1. El proceso es dictatorial , es decir, hay un solo elector cuyo voto decide el resultado.
2. El proceso limita los posibles resultados a sólo dos opciones.
3. El proceso no es sencillo: la papeleta óptima para un votante "requiere una votación estratégica ", es decir, depende de sus creencias sobre las papeletas de los demás votantes.

Un corolario de este teorema es el teorema de Gibbard-Satterthwaite sobre las reglas de votación. La diferencia clave entre los dos teoremas es que el de Gibbard-Satterthwaite se aplica únicamente a la votación por orden de preferencia . Debido a su alcance más amplio, el teorema de Gibbard no afirma si los votantes necesitan invertir su orden de preferencia de los candidatos, solo que sus votos óptimos dependen de los votos de los demás votantes. ^{[nota 1]}

El teorema de Gibbard es más general y considera procesos de decisión colectiva que pueden no ser ordinales: por ejemplo, sistemas de votación en los que los votantes asignan calificaciones a los candidatos o los califican de alguna otra manera ( votación cardinal ). El teorema de Gibbard se puede demostrar utilizando el teorema de imposibilidad de Arrow . ^{[ cita requerida ]}

El teorema de Gibbard se generaliza a su vez mediante el teorema de Gibbard de 1978 ^[3] y el teorema de Hylland ^[4] , que extienden estos resultados a procesos no deterministas, es decir, donde el resultado puede no sólo depender de las acciones de los agentes sino que también puede implicar un elemento de azar.

El teorema de Gibbard supone que la decisión colectiva da como resultado exactamente un ganador y no se aplica a las votaciones con múltiples ganadores . Un resultado similar para las votaciones con múltiples ganadores es el teorema de Duggan-Schwartz .

Consideremos algunos votantes , y que desean seleccionar una opción entre tres alternativas: , y . Supongamos que utilizan el voto de aprobación : cada votante asigna a cada candidato la calificación 1 (aprobación) o 0 (no aprobación). Por ejemplo, es una votación autorizada: significa que el votante aprueba a los candidatos y pero no aprueba al candidato . Una vez que se recogen las papeletas, el candidato con la calificación total más alta es declarado ganador. Los empates entre candidatos se rompen por orden alfabético: por ejemplo, si hay un empate entre los candidatos y , entonces gana. ${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización 2}$${\estilo de visualización 3}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización (1,1,0)}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización a}$

Supongamos que el votante prefiere la alternativa , entonces y entonces . ¿Qué papeleta defenderá mejor sus opiniones? Por ejemplo, considere las dos situaciones siguientes. ${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización c}$

• Si los otros dos electores respectivamente emiten sus votos y , entonces el elector sólo tiene un voto que conduce a la elección de su alternativa favorita  : .${\estilo de visualización (0,1,1)}$${\estilo de visualización (1,1,1)}$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización (1,0,0)}$
• Sin embargo, si suponemos en cambio que los otros dos votantes respectivamente emiten sus votos y , entonces el votante no debería votar porque eso hace que gane; debería más bien votar , lo que hace que gane.${\estilo de visualización (0,0,1)}$${\estilo de visualización (0,1,1)}$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización (1,0,0)}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización (1,1,0)}$${\estilo de visualización b}$

En resumen, el votante se enfrenta a un dilema de voto estratégico: dependiendo de las papeletas que emitan los demás votantes, puede ser la papeleta que mejor defienda sus opiniones. Decimos entonces que el voto de aprobación no es a prueba de estrategias : una vez que el votante ha identificado sus propias preferencias, no tiene a su disposición una papeleta que defienda mejor sus opiniones en todas las situaciones; necesita actuar estratégicamente, posiblemente espiando a los demás votantes para determinar cómo piensan votar. ${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización (1,0,0)}$${\estilo de visualización (1,1,0)}$

El teorema de Gibbard establece que un proceso determinista de decisión colectiva no puede ser a prueba de estrategias, excepto posiblemente en dos casos: si hay un agente distinguido que tiene un poder dictatorial ( unilateral ), o si el proceso limita el resultado a sólo dos opciones posibles ( dúple ).

Sea el conjunto de alternativas , que también pueden llamarse candidatos en un contexto de votación. Sea el conjunto de agentes , que también pueden llamarse jugadores o votantes, dependiendo del contexto de aplicación. Para cada agente , sea un conjunto que representa las estrategias disponibles para el agente ; supongamos que es finito. Sea una función que, a cada -tupla de estrategias , asigna una alternativa. La función se llama forma de juego . En otras palabras, una forma de juego se define esencialmente como un juego de n -jugadores , pero sin utilidades asociadas a los resultados posibles: describe solo el procedimiento, sin especificar a priori la ganancia que cada agente obtendría de cada resultado. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{1,\ldots ,n\}}$${\estilo de visualización i}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i}}$${\estilo de visualización i}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i}}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})\in {\mathcal {S}}_{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}_{n}}$${\estilo de visualización g}$

Decimos que es a prueba de estrategias (originalmente llamado: sencillo ) si para cualquier agente y para cualquier orden débil estricto sobre las alternativas, existe una estrategia que es dominante para el agente cuando tiene preferencias : no hay un perfil de estrategias para los otros agentes tal que otra estrategia , diferente de , conduzca a un resultado estrictamente mejor (en el sentido de ). Esta propiedad es deseable para un proceso de decisión democrático: significa que una vez que el agente ha identificado sus propias preferencias , puede elegir una estrategia que defienda mejor sus preferencias, sin necesidad de conocer o adivinar las estrategias elegidas por los otros agentes. ${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización i}$ $Estilo de visualización P_{i}}$${\displaystyle s_{i}^{*}(P_{i})}$${\estilo de visualización i}$$Estilo de visualización P_{i}}$$estilo de visualización s_{i}}$${\displaystyle s_{i}^{*}(P_{i})}$$Estilo de visualización P_{i}}$${\estilo de visualización i}$$Estilo de visualización P_{i}}$${\displaystyle s_{i}^{*}(P_{i})}$

Sea y denotemos por el rango de , es decir, el conjunto de los resultados posibles de la forma de juego. Por ejemplo, decimos que tiene al menos 3 resultados posibles si y solo si la cardinalidad de es 3 o más. Como los conjuntos de estrategias son finitos, es finito también; por lo tanto, incluso si no se supone que el conjunto de alternativas sea finito, el subconjunto de resultados posibles lo es necesariamente. ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}_{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}_{n}}$${\displaystyle g({\mathcal {S}})}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle g({\mathcal {S}})}$${\displaystyle g({\mathcal {S}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle g({\mathcal {S}})}$

Decimos que es dictatorial si existe un agente que es dictador , en el sentido de que para cualquier resultado posible , el agente tiene una estrategia a su disposición que asegura que el resultado sea el esperado , cualesquiera sean las estrategias elegidas por los demás agentes. ${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización i}$${\displaystyle a\ing({\mathcal {S}})}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización a}$

Suponemos que cada votante comunica un estricto orden débil sobre los candidatos. La dictadura serial se define de la siguiente manera: si el votante 1 tiene un único candidato que le gusta más, entonces este candidato es elegido. De lo contrario, los resultados posibles se limitan a sus candidatos igualmente favoritos y los demás candidatos son eliminados. Luego se examina la papeleta del votante 2: si tiene un único candidato que le gusta más entre los no eliminados, entonces este candidato es elegido. De lo contrario, la lista de resultados posibles se reduce de nuevo, etc. Si todavía quedan varios candidatos no eliminados después de que se hayan examinado todas las papeletas, entonces se utiliza una regla de desempate arbitraria.

Esta forma de juego es a prueba de estrategia: cualesquiera sean las preferencias de un votante, éste tiene una estrategia dominante que consiste en declarar su orden de preferencia sincero. También es dictatorial, y su dictador es el votante 1: si desea ver a un candidato elegido, entonces sólo tiene que comunicar un orden de preferencia donde sea el candidato más querido. ${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización a}$

Si sólo hay dos resultados posibles, una forma de juego puede ser a prueba de estrategias y no dictatorial. Por ejemplo, es el caso de la votación por mayoría simple: cada votante emite su voto por la alternativa que más le gusta (entre los dos resultados posibles), y la alternativa con más votos es declarada ganadora. Esta forma de juego es a prueba de estrategias porque siempre es óptimo votar por la alternativa que más le gusta (a menos que uno sea indiferente entre ellas). Sin embargo, claramente no es dictatorial. Muchas otras formas de juego son a prueba de estrategias y no dictatoriales: por ejemplo, supongamos que la alternativa gana si obtiene dos tercios de los votos, y gana en caso contrario. ${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$

Consideremos la siguiente forma de juego. El votante 1 puede votar por un candidato de su elección o puede abstenerse. En el primer caso, el candidato especificado es elegido automáticamente. De lo contrario, los demás votantes utilizan una regla de votación clásica, por ejemplo, el recuento de Borda . Esta forma de juego es claramente dictatorial, porque el votante 1 puede imponer el resultado. Sin embargo, no es a prueba de estrategias: los demás votantes se enfrentan al mismo problema de votación estratégica que en el recuento de Borda habitual. Por lo tanto, el teorema de Gibbard es una implicación y no una equivalencia.

El teorema de Gibbard de 1978 establece que un método de votación no determinista solo es a prueba de estrategias si es una mezcla de reglas unilaterales y duplicadas. Por ejemplo, la regla que lanza una moneda y elige un dictador aleatorio si la moneda cae cara, o elige al ganador por pares entre dos candidatos aleatorios si la moneda cae cruz, es a prueba de estrategias. Se han ideado métodos no deterministas que se aproximan a los resultados de los métodos deterministas y al mismo tiempo son a prueba de estrategias. ^{[5] [6]}

• Teorema de imposibilidad de Arrow
• Teorema de Gibbard-Satterthwaite