Teorema de Girsanov

En teoría de la probabilidad , el teorema de Girsanov , o teorema de Cameron-Martin-Girsanov, explica cómo cambian los procesos estocásticos ante variaciones en la medida . Este teorema es especialmente importante en la teoría de las matemáticas financieras, ya que explica cómo convertir la medida física , que describe la probabilidad de que un instrumento subyacente (como el precio de una acción o un tipo de interés ) tome un valor o valores determinados, a la medida neutral al riesgo, que es una herramienta muy útil para evaluar el valor de los derivados sobre el instrumento subyacente.

Resultados de este tipo fueron demostrados por primera vez por Cameron-Martin en la década de 1940 y por Igor Girsanov en 1960. Posteriormente, se extendieron a clases de procesos más generales, culminando en la formulación general de Lenglart (1977).

El teorema de Girsanov es importante en la teoría general de los procesos estocásticos, ya que permite el resultado clave de que si Q es una medida absolutamente continua con respecto a P , entonces toda semimartingala P es una semimartingala Q.

Enunciamos primero el teorema para el caso especial en que el proceso estocástico subyacente es un proceso de Wiener . Este caso especial es suficiente para la fijación de precios neutral al riesgo en el modelo de Black-Scholes .

Dejar${\displaystyle \{W_{t}\}}$ser un proceso de Wiener en el espacio de probabilidad de Wiener${\displaystyle \{\Omega ,{\mathcal {F}},P\}}$. Dejar${\displaystyle X_{t}}$ser un proceso medible adaptado a la filtración natural del proceso de Wiener${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}$Partimos de la base de que se han cumplido las condiciones habituales.

Dado un proceso adaptado${\displaystyle X_{t}}$definir

${\displaystyle Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t},\,}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$es la exponencial estocástica de X con respecto a W , es decir

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}\right),}$

y${\displaystyle [X]_{t}}$denota la variación cuadrática del proceso X.

Si${\displaystyle Z_{t}}$Si es una martingala , entonces se puede definir una medida de probabilidad Q en${\displaystyle \{\Omega,{\mathcal {F}}\}}$de tal manera que la derivada de Radon-Nikodym de Q con respecto a P satisface

${\displaystyle \left.{\frac {dQ}{dP}}\right|_{{\mathcal {F}}_{t}}=Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t}}$.

Luego, para cada t, la medida Q restringida a los campos sigma no aumentados${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{o}}$es equivalente a P restringido a

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{o}.\,}$

Además, si${\displaystyle Y_{t}}$es una martingala local bajo P entonces el proceso

${\displaystyle {\tilde {Y}}_{t}=Y_{t}-\left[Y,X\right]_{t}}$

es una martingala local Q en el espacio de probabilidad filtrado${\displaystyle \{\Omega ,F,Q,\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}\}}$.

Si X es un proceso continuo y W es un movimiento browniano bajo medida P, entonces

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\left[W,X\right]_{t}}$

es un movimiento browniano bajo Q.

El hecho de que${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$es continuo es trivial; por el teorema de Girsanov es una martingala local Q , y al calcular

${\displaystyle \left[{\tilde {W}}\right]_{t}=\left[W\right]_{t}=t}$

De acuerdo con la caracterización del movimiento browniano de Levy, se deduce que se trata de un movimiento browniano Q.

Este teorema se puede utilizar para mostrar en el modelo de Black-Scholes la medida neutral al riesgo única, es decir, la medida en la que el valor justo de un derivado es el valor esperado descontado , Q, se especifica mediante

${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{t}{\frac {r_{s}-\mu _{s}}{\sigma _{s}}}\,dW_{s}\right).}$

Otra aplicación de este teorema, también presentada en el artículo original de Igor Girsanov, es para ecuaciones diferenciales estocásticas . Específicamente, consideremos la ecuación

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)dt+\sigma (X_{t},t)dW_{t},}$

dónde${\displaystyle W_{t}}$denota un movimiento browniano. Aquí${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \sigma }$son funciones deterministas fijas. Suponemos que esta ecuación tiene una única solución fuerte en${\displaystyle [0,T]}$En este caso, el teorema de Girsanov puede utilizarse para calcular funcionales de${\displaystyle X_{t}}$directamente en términos de un funcional relacionado para el movimiento browniano. Más específicamente, tenemos para cualquier funcional acotado${\displaystyle \Phi }$en funciones continuas${\displaystyle C([0,T])}$eso

${\displaystyle E\Phi (X)=E\left[\Phi (W)\exp \left(\int _{0}^{T}\mu (W_{s},s)dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\mu (W_{s},s)^{2}ds\right)\right].}$

Esto se deduce al aplicar el teorema de Girsanov y la observación anterior al proceso de martingala.

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}\mu (W_{s},s)dW_{s}.}$

En particular, con la notación anterior, el proceso

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}\mu (W_{s},s)ds}$

es un movimiento browniano Q. Reescribiendo esto en forma diferencial como

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}+\mu (W_{t},t)dt,}$

vemos que la ley de${\displaystyle W_{t}}$bajo Q resuelve la ecuación que define${\displaystyle X_{t}}$, como${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$es un movimiento browniano Q. En particular, vemos que el lado derecho se puede escribir como${\displaystyle E_{Q}[\Phi (W)]}$, donde Q es la medida tomada con respecto al proceso Y, por lo que el resultado ahora es simplemente el enunciado del teorema de Girsanov.

Una forma más general de esta aplicación es que si ambos

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)dt+\sigma (X_{t},t)dW_{t},}$${\displaystyle dY_{t}=(\mu (Y_{t},t)+\nu (Y_{t},t))dt+\sigma (Y_{t},t)dW_{t},}$

admitir soluciones fuertes y únicas en${\displaystyle [0,T]}$, entonces para cualquier funcional acotado en ${\displaystyle C([0,T])}$, tenemos eso

${\displaystyle E\Phi (X)=E\left[\Phi (Y)\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s},s)}{\sigma (Y_{s},s)}}dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s},s)^{2}}{\sigma (Y_{s},s)^{2}}}ds\right)\right].}$

• Teorema de Cameron-Martin : teorema que describe la traslación de medidas gaussianas en espacios de Hilbert. Es un caso especial del teorema de Girsanov, que ha inspirado toda la teoría. 
• El teorema de Girsanov tiene aplicaciones fundamentales en la teoría cuántica de campos, el cálculo de Malliavin, las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas, la teoría del grado y el cálculo de variaciones en los espacios de Wiener clásicos y abstractos.

• Liptser, Robert S.; Shiriaev, AN (2001). Estadística de procesos aleatorios (2.ª ed., revisada y ampliada  ). Springer. ISBN 3-540-63929-2.
• Dellacherie, C.; Meyer, P.-A. (1982). «Descomposición de supermartingalas, aplicaciones». Probabilidades y potencial . Vol.  B. Traducido por Wilson, JP North-Holland. pp. 183–308 . ISBN  0-444-86526-8.
• Lenglart, E. (1977). "Transformación de martingales locales par changement absolue continu de probabilités" . Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit (en francés). 39 : 65– 70. doi : 10.1007/BF01844873 .
• Ustunel, AS; Zakai, M. (2000). Transformación de la medida en el espacio de Wiener (1.ª  ed.). Springer. ISBN 3-540-66455-6.

• Notas sobre cálculo estocástico que contienen una demostración esquemática sencilla del teorema de Girsanov.