Teorema de Girsanov

En teoría de la probabilidad , el teorema de Girsanov explica cómo cambian los procesos estocásticos ante cambios en la medida . El teorema es especialmente importante en la teoría de las matemáticas financieras , ya que explica cómo convertir la medida física , que describe la probabilidad de que un instrumento subyacente (como el precio de una acción o una tasa de interés ) tome un valor o valores particulares, a la medida neutral al riesgo , que es una herramienta muy útil para evaluar el valor de los derivados sobre el subyacente.

Resultados de este tipo fueron demostrados por primera vez por Cameron-Martin en la década de 1940 y por Igor Girsanov en 1960. Posteriormente se extendieron a clases más generales de procesos, culminando en la forma general de Lenglart (1977).

El teorema de Girsanov es importante en la teoría general de los procesos estocásticos ya que permite el resultado clave de que si Q es una medida absolutamente continua con respecto a P , entonces toda P -semimartingala es una Q -semimartingala.

Enunciemos primero el teorema para el caso especial en el que el proceso estocástico subyacente es un proceso de Wiener . Este caso especial es suficiente para la fijación de precios neutrales al riesgo en el modelo de Black-Scholes .

Sea un proceso de Wiener en el espacio de probabilidad de Wiener . Sea un proceso medible adaptado a la filtración natural del proceso de Wiener ; suponemos que se han cumplido las condiciones habituales. $Estilo de visualización: Wt$${\displaystyle \{\Omega ,{\mathcal {F}},P\}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}$

Dado un proceso adaptado definir ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t},\,}$

donde es el exponencial estocástico de X con respecto a W , es decir ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}\right),}$

y denota la variación cuadrática del proceso X . ${\displaystyle [X]_{t}}$

Si es una martingala , entonces se puede definir una medida de probabilidad Q tal que la derivada de Radon-Nikodym${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle \{\Omega ,{\mathcal {F}}\}}$

${\displaystyle \left.{\frac {dQ}{dP}}\right|_{{\mathcal {F}}_{t}}=Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t}}$

Entonces, para cada t, la medida Q restringida a los campos sigma no aumentados es equivalente a P restringida a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{o}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{o}.\,}$

Además, si es una martingala local bajo P entonces el proceso ${\displaystyle Y_{t}}$

${\displaystyle {\tilde {Y}}_{t}=Y_{t}-\left[Y,X\right]_{t}}$

es una martingala local Q en el espacio de probabilidad filtrado . ${\displaystyle \{\Omega ,F,Q,\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}\}}$

Si X es un proceso continuo y W es movimiento browniano bajo medida P entonces

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\left[W,X\right]_{t}}$

es el movimiento browniano bajo Q .

El hecho de que sea continua es trivial; por el teorema de Girsanov es una martingala local Q , y calculando ${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$

${\displaystyle \left[{\tilde {W}}\right]_{t}=\left[W\right]_{t}=t}$

De la caracterización que hace Levy del movimiento browniano se deduce que se trata de un movimiento browniano Q.

En muchas aplicaciones comunes, el proceso X se define mediante

${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\,dW_{s}.}$

Para X de esta forma entonces una condición necesaria y suficiente para que sea una martingala es la condición de Novikov que requiere que ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

${\displaystyle E_{P}\left[\exp \left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}\,ds\right)\right]<\infty .}$

La exponencial estocástica es el proceso Z que resuelve la ecuación diferencial estocástica ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

${\displaystyle Z_{t}=1+\int _{0}^{t}Z_{s}\,dX_{s}.\,}$

La medida Q construida anteriormente no es equivalente a P en , ya que esto solo sería así si la derivada de Radon-Nikodym fuera una martingala uniformemente integrable, lo que no es la martingala exponencial descrita anteriormente. Por otra parte, siempre que se cumpla la condición de Novikov, las medidas son equivalentes en . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$

Además, al combinar esta observación anterior en este caso, vemos que el proceso

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}Y_{s}ds}$

porque es un movimiento browniano Q. Ésta fue la formulación original de Igor Girsanov del teorema anterior. ${\displaystyle t\in [0,T]}$

Este teorema se puede utilizar para mostrar en el modelo de Black-Scholes que la única medida neutral al riesgo, es decir, la medida en la que el valor razonable de un derivado es el valor esperado descontado, Q, se especifica mediante

${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{t}{\frac {r_{s}-\mu _{s}}{\sigma _{s}}}\,dW_{s}\right).}$

Otra aplicación de este teorema, también dada en el artículo original de Igor Girsanov, es para ecuaciones diferenciales estocásticas . En concreto, consideremos la ecuación

${\displaystyle dX_{t}=\mu (t,X_{t})dt+dW_{t},}$

donde denota un movimiento browniano. Aquí y son funciones deterministas fijas. Suponemos que esta ecuación tiene una solución fuerte única en . En este caso, el teorema de Girsanov puede usarse para calcular funcionales de directamente en términos de un funcional relacionado para el movimiento browniano. Más específicamente, tenemos para cualquier funcional acotado en funciones continuas que ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle C([0,T])}$

${\displaystyle E\Phi (X)=E\left[\Phi (W)\exp \left(\int _{0}^{T}\mu (s,W_{s})dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\mu (s,W_{s})^{2}ds\right)\right].}$

Esto se deduce de la aplicación del teorema de Girsanov y la observación anterior al proceso martingala.

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}\mu (s,W_{s})dW_{s}.}$

En particular, observamos que con la notación anterior, el proceso

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}\mu (s,W_{s})ds}$

es un movimiento browniano Q. Reescribiendo esto en forma diferencial como

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}+\mu (t,W_{t})dt,}$

Vemos que la ley de bajo Q resuelve la ecuación que define , ya que es un movimiento browniano Q. En particular, vemos que el lado derecho puede escribirse como , donde Q es la medida tomada con respecto al proceso Y, por lo que el resultado ahora es simplemente el enunciado del teorema de Girsanov. ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$${\displaystyle E_{Q}[\Phi (W)]}$

Una forma más general de esta aplicación es que si ambos

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)dt+\sigma (X_{t},t)dW_{t},}$ ${\displaystyle dY_{t}=(\mu (Y_{t},t)+\nu (Y_{t},t))dt+\sigma (Y_{t},t)dW_{t},}$

admitir soluciones fuertes únicas en , entonces para cualquier funcional acotado en , tenemos que ${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle C([0,T])}$

${\displaystyle E\Phi (X)=E\left[\Phi (Y)\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s},s)}{\sigma (Y_{s},s)}}dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s},s)^{2}}{\sigma (Y_{s},s)^{2}}}ds\right)\right].}$

• Teorema de Cameron-Martin  : Teorema que define la traducción de medidas gaussianas (medidas de Wiener) en espacios de Hilbert.

• Liptser, Robert S.; Shiriaev, AN (2001). Estadística de procesos aleatorios (2.ª ed. rev. y exp.). Springer. ISBN 3-540-63929-2.
• Dellacherie, C.; Meyer, P.-A. (1982). "Descomposición de supermartingalas, aplicaciones". Probabilidades y potencial . Vol. B. Traducido por Wilson, JP North-Holland. págs. 183–308. ISBN 0-444-86526-8.
• Lenglart, E. (1977). "Transformación de martingales locales par changement absolue continu de probabilités". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit (en francés). 39 : 65–70. doi : 10.1007/BF01844873 .

• Notas sobre cálculo estocástico que contienen una prueba esquemática y sencilla del teorema de Girsanov.