Conjetura de Agoh-Giuga

En teoría de números, la conjetura de Agoh-Giuga sobre los números de Bernoulli B _k postula que p es un número primo si y solo si

${\displaystyle pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.}$

Recibe su nombre en honor a Takashi Agoh y Giuseppe Giuga .

La conjetura tal como se indicó anteriormente se debe a Takashi Agoh (1990); una formulación equivalente se debe a Giuseppe Giuga , de 1950, en el sentido de que p es primo si y solo si

${\displaystyle 1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}}$

que también puede escribirse como

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.}$

Es trivial demostrar que el hecho de que p sea primo es suficiente para que se cumpla la segunda equivalencia, ya que si p es primo, el pequeño teorema de Fermat establece que

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$

para${\displaystyle a=1,2,\dots ,p-1}$y la equivalencia se deduce, ya que${\displaystyle p-1\equiv -1{\pmod {p}}.}$

La afirmación sigue siendo una conjetura, ya que aún no se ha demostrado que si un número n no es primo (es decir, n es compuesto ), entonces la fórmula no se cumple. Se ha demostrado que un número compuesto n satisface la fórmula si y solo si es a la vez un número de Carmichael y un número de Giuga , y que si tal número existe, tiene al menos 13.800 dígitos (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996). Laerte Sorini, en un trabajo de 2001, mostró que un posible contraejemplo debería ser un número n mayor que 10³⁶ ^06⁷ , que representa el límite sugerido por Bedocchi para la técnica de demostración especificada por Giuga para su propia conjetura.  

La conjetura de Agoh-Giuga guarda similitud con el teorema de Wilson , que ha sido demostrado como verdadero. El teorema de Wilson establece que un número p es primo si y solo si

${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}},}$

que también puede escribirse como

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1{\pmod {p}}.}$

Para un primo impar p tenemos

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}},}$

y para p=2 tenemos

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}$

Así pues, la veracidad de la conjetura de Agoh-Giuga combinada con el teorema de Wilson daría como resultado: un número p es primo si y solo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}}$

y

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}$

• Número de Bernoulli §  Propiedades aritméticas de los números de Bernoulli

• Giuga, Giuseppe (1951). "Su una presumibile propiedad caratteristica dei numeri primi". Ist.Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Ciencia. Estera. Naturaleza. (en italiano). 83 : 511– 518. ISSN 0375-9164 . Zbl 0045.01801 .  
• Agoh, Takashi (1995). "Sobre la conjetura de Giuga". Manuscripta Matemática . 87 (4): 501– 510. doi : 10.1007/bf02570490 . Zbl 0845.11004 . 
• Borwein, D.; Borwein , JM ; Borwein, PB ; Girgensohn, R. (1996). "La conjetura de Giuga sobre la primalidad" ( PDF) . American Mathematical Monthly . 103 (1): 40– 50. CiteSeerX 10.1.1.586.1424 . doi : 10.2307/2975213 . JSTOR 2975213. Zbl 0860.11003 . Archivado del original (PDF) el 31 de mayo de 2005. Recuperado el 29 de mayo de 2005 .   
• Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (en italiano). 68 . ISSN 1720-9668 .