Teorema de Glaisher

En teoría de números , el teorema de Glaisher es una identidad útil para el estudio de particiones de números enteros . Demostrado en 1883 ^[1] por James Whitbread Lee Glaisher , establece que el número de particiones de un número entero en partes no divisibles por es igual al número de particiones en las que ninguna parte se repite una o más veces. Esto generaliza un resultado establecido en 1748 por Leonhard Euler para el caso . ${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=2}$

Establece que el número de particiones de un entero en partes no divisibles por es igual al número de particiones en las que ninguna parte se repite d o más veces, lo que puede escribirse formalmente como particiones de la forma donde y . ${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}}$${\displaystyle \lambda _{i}\geq \lambda _{i+1}}$${\displaystyle \lambda _{i}\geq \lambda _{i+d-1}+1}$

Cuando esto se convierte en el caso especial conocido como teorema de Euler, el número de particiones de en partes distintas es igual al número de particiones de en partes impares. ${\displaystyle d=2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

En los siguientes ejemplos, utilizamos la notación de multiplicidad de particiones. Por ejemplo, es una notación para la partición 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3. ${\displaystyle 1^{4}2^{1}3^{2}}$

Entre las 15 particiones del número 7, hay 5, mostradas en negrita a continuación, que contienen solo partes impares (es decir, solo números impares):

${\displaystyle \mathbf {7} ,6^{1}1^{1},5^{1}2^{1},\mathbf {5^{1}1^{2}} ,4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},\mathbf {3^{2}1^{1}} ,3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},\mathbf {3^{1}1^{4}} ,2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},\mathbf {1^{7}} }$

Si contamos ahora las particiones de 7 con partes distintas (es decir donde no se repite ningún número), obtenemos también 5:

${\displaystyle \mathbf {7} ,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},\mathbf {4^{1}3^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}1^{1}} ,4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

Las particiones en negrita en el primer y segundo caso no son las mismas, y no es obvio por qué su número es el mismo.

Entre las 11 particiones del número 6, hay 7, mostradas en negrita a continuación, que contienen solo partes no divisibles por 3:

${\displaystyle 6,\mathbf {5^{1}1^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}} ,\mathbf {4^{1}1^{2}} ,3^{2},3^{1}2^{1}1^{1},3^{1}1^{3},\mathbf {2^{3}} ,\mathbf {2^{2}1^{2}} ,\mathbf {2^{1}1^{4}} ,\mathbf {1^{6}} }$

Y si contamos las particiones de 6 sin ninguna parte que se repita más de 2 veces, también obtenemos 7: ${\displaystyle \mathbf {6} ,\mathbf {5^{1}1^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}} ,\mathbf {4^{1}1^{2}} ,\mathbf {3^{2}} ,\mathbf {3^{1}2^{1}1^{1}} ,3^{1}1^{3},2^{3},\mathbf {2^{2}1^{2}} ,2^{1}1^{4},1^{6}}$

Una demostración del teorema se puede obtener con funciones generadoras . Si anotamos el número de particiones sin partes divisibles por d y el número de particiones sin partes repetidas más de d-1 veces, entonces el teorema significa que para todo n . La unicidad de las funciones generadoras ordinarias implica que en lugar de demostrar que para todo n , basta demostrar que las funciones generadoras de y son iguales, es decir que . ${\displaystyle p_{d}(n)}$${\displaystyle q_{d}(n)}$${\displaystyle p_{d}(n)=q_{d}(n)}$${\displaystyle p_{d}(n)=q_{d}(n)}$${\displaystyle p_{d}(n)}$${\displaystyle q_{d}(n)}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p_{d}(n)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }q_{d}(n)x^{n}}$

Cada función generadora se puede reescribir como productos infinitos (con un método similar al producto infinito de la función de partición ):

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p_{d}(n)x^{n}=\prod _{n=1,d\nmid n}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{n}}}}$(es decir, el producto de términos donde n no es divisible por d ).

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q_{d}(n)x^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{dn}}{1-x^{n}}}}$

Si desarrollamos el producto infinito para : ${\displaystyle q_{d}(n)}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{dn}}{1-x^{n}}}={\frac {1-x^{d}}{1-x}}{\frac {1-x^{2d}}{1-x^{2}}}\dots {\frac {1-x^{kd}}{1-x^{k}}}\dots }$

Vemos que cada término del numerador se cancela con el múltiplo de d correspondiente en el denominador. Lo que queda después de cancelar todos los términos del numerador es exactamente el producto infinito de . ${\displaystyle p_{d}(n)}$

Por lo tanto, las funciones generadoras de y son iguales. ${\displaystyle p_{d}(n)}$${\displaystyle q_{d}(n)}$

Si en lugar de contar el número de particiones con partes distintas contamos el número de particiones con partes que difieren en al menos 2, es posible una generalización adicional. Fue descubierta por primera vez por Leonard James Rogers en 1894, y luego de forma independiente por Ramanujan en 1913 y Schur en 1917, en lo que ahora se conoce como las identidades de Rogers-Ramanujan . Establece que:

1) El número de particiones cuyas partes difieren en al menos 2 es igual al número de particiones que involucran solo números congruentes con 1 o 4 (mod 5).

2) El número de particiones cuyas partes difieren en al menos 2 y la parte más pequeña en al menos 2 es igual al número de particiones que involucran solo números congruentes con 2 o 3 (mod 5).

Por ejemplo, solo hay 3 particiones de 7, que se muestran en negrita a continuación, en partes que difieren en al menos 2 (nota: si un número se repite en una partición, significa una diferencia de 0 entre dos partes, por lo tanto, la partición no se cuenta):

${\displaystyle \mathbf {7} ,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

Y también hay sólo 3 particiones de 7 que involucran sólo las partes 1, 4, 6:

${\displaystyle 7,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,5^{1}2^{1},5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},\mathbf {4^{1}1^{3}} ,3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},\mathbf {1^{7}} }$

Para un ejemplo de la segunda declaración de las identidades de Rogers-Ramanujan, consideramos particiones de 7 con la restricción adicional de que la parte más pequeña sea al menos 2, y solo hay 2, que se muestran en negrita a continuación:

${\displaystyle \mathbf {7} ,6^{1}1^{1},\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

Y también hay sólo 2 particiones de 7 que involucran sólo las partes 2, 3, 7:

${\displaystyle \mathbf {7} ,6^{1}1^{1},5^{1}2^{1},5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},\mathbf {3^{1}2^{2}} ,3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

• DH Lehmer (1946). "Dos teoremas de no existencia sobre particiones". Bull. Amer. Math. Soc. 52 (6): 538–544. doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08605-X .