Teorema maestro de Glasser

En cálculo integral , el teorema maestro de Glasser explica cómo una cierta clase amplia de sustituciones puede simplificar ciertas integrales en todo el intervalo de a Es aplicable en casos en los que las integrales deben interpretarse como valores principales de Cauchy y, a fortiori, es aplicable cuando la integral converge absolutamente . Recibe su nombre en honor a M. L. Glasser, quien lo introdujo en 1983. ^[1]${\estilo de visualización -\infty}$${\estilo de visualización +\infty .}$

Cauchy conocía un caso especial llamado sustitución de Cauchy-Schlömilch o transformación de Cauchy-Schlömilch ^[2] a principios del siglo XIX. ^[3] Establece que si

${\displaystyle u=x-{\frac {1}{x}}\,}$

entonces

${\displaystyle \operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,dx=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,dx\qquad ({\text{Nota: }}F(u)\,dx,{\text{ no }}F(u)\,du)}$

donde PV denota el valor principal de Cauchy.

Si , , y son números reales y ${\estilo de visualización a}$$Estilo de visualización ai$$Estilo de visualización b_{i}$

${\displaystyle u=xa-\sum _{n=1}^{N}{\frac {|a_{n}|}{x-b_{n}}}}$

entonces

${\displaystyle \operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,dx=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,dx.}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}\,dx}{x^{4}+1}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{\left(x-{\frac {1}{x}}\right)^{2}+2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+2}}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}.}$

• Weisstein, Eric W. "Teorema maestro de Glasser". MathWorld .