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Representación P de Glauber-Sudarshan

La representación P de Glauber-Sudarshan es una forma sugerida de escribir la distribución del espacio de fases de un sistema cuántico en la formulación del espacio de fases de ...

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La representación P de Glauber-Sudarshan es una forma sugerida de escribir la distribución del espacio de fases de un sistema cuántico en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica. La representación P es la distribución de cuasiprobabilidad en la que los observables se expresan en orden normal . En óptica cuántica , esta representación, formalmente equivalente a varias otras representaciones, [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] a veces se prefiere sobre dichas representaciones alternativas para describir la luz en el espacio de fases óptico , porque los observables ópticos típicos, como el operador de número de partículas , se expresan naturalmente en orden normal. Recibe su nombre de George Sudarshan [ 4 ] y Roy J. Glauber , [ 5 ] quienes trabajaron en el tema en 1963. [ 6 ] A pesar de muchas aplicaciones útiles en la teoría láser y la teoría de la coherencia, la representación P de Sudarshan-Glauber tiene la peculiaridad de que no siempre es positiva y no es una función de probabilidad genuina.

Definición

Deseamos construir una funciónPAG(α){\displaystyle P(\alpha )}con la propiedad de que la matriz de densidadρ^{\displaystyle {\hat {\rho }}}es diagonal en la base de estados coherentes{|α⟩}{\displaystyle \{|\alpha \rangle \}}, es decir,

ρ^=∫PAG(α)|α⟩⟨α|d2α,d2α≡dRmi(α)dImetro(α).{\displaystyle {\hat {\rho }}=\int P(\alpha )|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,\qquad d^{2}\alpha \equiv d\,{\rm {Re}}(\alpha )\,d\,{\rm {Estoy}}(\alpha ).}

También deseamos construir la función de tal manera que el valor esperado de un operador ordenado normalmente satisfaga el teorema de equivalencia óptica . Esto implica que la matriz de densidad debe estar en orden antinormal para que podamos expresarla como una serie de potencias.

ρ^A=∑j,kdoj,k⋅a^ja^†k.{\displaystyle {\hat {\rho }}_{A}=\sum _{j,k}c_{j,k}\cdot {\hat {a}}^{j}{\hat {a}}^{\dagger k}.}

Insertar la resolución de la identidad

I^=1π∫|α⟩⟨α|d2α,{\displaystyle {\hat {I}}={\frac {1}{\pi }}\int |{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,}

vemos que

ρA(a^,a^†)=1π∑j,k∫doj,k⋅a^j|α⟩⟨α|a^†kd2α=1π∑j,k∫doj,k⋅αj|α⟩⟨α|α∗kd2α=1π∫∑j,kdoj,k⋅αjα∗k|α⟩⟨α|d2α=1π∫ρA(α,α∗)|α⟩⟨α|d2α,{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{A}({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })&={\frac {1}{\pi }}\sum _{j,k}\int c_{j,k}\cdot {\hat {a}}^{j}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|{\hat {a}}^{\dagger k}\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{j,k}\int c_{j,k}\cdot \alpha ^{j}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\alpha ^{*k}\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\int \sum _{j,k}c_{j,k}\cdot \alpha ^{j}\alpha ^{*k}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\int \rho _ {A}(\alpha ,\alpha ^{*})|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,\end{alineado}}}

y por lo tanto asignamos formalmente

PAG(α)=1πρA(α,α∗).{\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi }}\rho _{A}(\alpha ,\alpha ^{*}).}

Para cualquier cálculo práctico se necesitan fórmulas integrales más útiles para P. Un método [ 7 ] consiste en definir la función característica .

χnorte(β)=tr⁡(ρ^⋅miiβ⋅a^†miiβ∗⋅a^){\displaystyle \chi _{N}(\beta )=\operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot e^{i\beta \cdot {\hat {a}}^{\dagger }}e^{i\beta ^{*}\cdot {\hat {a}}})}

y luego tomar la transformada de Fourier

PAG(α)=1π2∫χnorte(β)mi−βα∗+β∗αd2β.{\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int \chi _{N}(\beta )e^{-\beta \alpha ^{*}+\beta ^{*}\alpha }\,d^{2}\beta .}

Otra fórmula integral útil para P es [ 8 ].

PAG(α)=mi|α|2π2∫⟨−β|ρ^|β⟩mi|β|2−βα∗+β∗αd2β.{\displaystyle P(\alpha )={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{\pi ^{2}}}\int \langle -\beta |{\hat {\rho }}|\beta \rangle e^{|\beta |^{2}-\beta \alpha ^{*}+\beta ^{*}\alpha }\,d^{2}\beta .}

Nótese que ambas fórmulas integrales no convergen en ningún sentido habitual para sistemas "típicos" . También podemos utilizar los elementos de matriz deρ^{\displaystyle {\hat {\rho }}}en la base de Fock{|norte⟩}{\displaystyle \{|n\rangle \}}. La siguiente fórmula muestra que siempre es posible [ 4 ] escribir la matriz de densidad en esta forma diagonal sin recurrir a ordenaciones de operadores utilizando la inversión (dada aquí para un solo modo),

PAG(α)=∑norte∑k⟨norte|ρ^|k⟩norte¡k¡2πr(norte+k)¡mir2−i(norte−k)θ[(−∂∂r)norte+kδ(r)],{\displaystyle P(\alpha )=\sum _{n}\sum _{k}\langle n|{\hat {\rho }}|k\rangle {\frac {\sqrt {n!k!}}{2\pi r(n+k)!}}e^{r^{2}-i(nk)\theta }\left[\left(-{\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{n+k}\delta (r)\right],}

donde r y θ son la amplitud y la fase de α . Aunque esta es una solución formal completa de esta posibilidad, requiere infinitas derivadas de funciones delta de Dirac , mucho más allá del alcance de cualquier teoría de distribución temperada ordinaria .

Discusión

Si el sistema cuántico tiene un análogo clásico, por ejemplo, un estado coherente o radiación térmica , entonces P es no negativo en todas partes como una distribución de probabilidad ordinaria. Sin embargo, si el sistema cuántico no tiene un análogo clásico, por ejemplo, un estado de Fock incoherente o un sistema entrelazado , entonces P es negativo en algún lugar o más singular que una función delta de Dirac. (Según un teorema de Schwartz , las distribuciones que son más singulares que la función delta de Dirac siempre son negativas en algún lugar). Dicha " probabilidad negativa " o alto grado de singularidad es una característica inherente a la representación y no disminuye el significado de los valores esperados tomados con respecto a P. Sin embargo, incluso si P se comporta como una distribución de probabilidad ordinaria, el asunto no es tan simple. Según Mandel y Wolf: "Los diferentes estados coherentes no son [mutuamente] ortogonales, de modo que incluso siPAG(α){\displaystyle P(\alpha )}se comportaba como una verdadera función de densidad de probabilidad, no describiría probabilidades de estados mutuamente excluyentes." [ 9 ]

Ejemplos

Fock afirma

Fock afirma:|ψ⟩=|norte⟩{\displaystyle |\psi \rangle =|n\rangle }para enteronorte{\displaystyle n}, corresponden a una distribución P altamente singular , que puede escribirse como [ 10 ]PAGnorte(α,α∗)=mi|α|2norte¡∂2norte∂α∗norte∂αnorteδ2(α).{\displaystyle P_{n}(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{*n}\,\partial \alpha ^{n}}}\delta ^{2}(\alpha ).}Si bien esto no es una función, esta expresión corresponde a una distribución temperada . En particular para el estado de vacío.|0⟩{\displaystyle |0\rangle }La distribución P es una función delta de Dirac en el origen, comoPAG0(α,α∗)=mi|α|2δ2(α)=δ2(α){\displaystyle P_{0}(\alpha ,\alpha ^{*})=e^{|\alpha |^{2}}\delta ^{2}(\alpha )=\delta ^{2}(\alpha )}. De manera similar, el estado de Fock|1⟩{\displaystyle |1\rangle }daPAG1(α,α∗)=mi|α|2∂2∂α∂α∗δ2(α)=δ2(α)+∂2∂α∂α∗δ2(α).{\displaystyle P_{1}(\alpha ,\alpha ^{*})=e^{|\alpha |^{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \alpha ^{*}}}\delta ^{2}(\alpha )=\delta ^{2}(\alpha )+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \alpha ^{*}}}\delta ^{2}(\alpha ).}También podemos verificar fácilmente que la expresión anterior paraPAGnorte{\displaystyle P_{n}}obras más generalmente observando que∫d2α(mi|α|2norte¡∂2norte∂αnorte∂α∗norteδ2(α))|α⟩⟨α|=∑j,k=0∞|j⟩⟨k|norte¡j¡k¡∫d2α(∂2norte∂αnorte∂α∗norteδ2(α))αjα∗k,{\displaystyle \int \mathrm {d} ^{2}\alpha \left({\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*n}}}\delta ^{2}(\alpha )\right)|\alpha \rangle \!\langle \alpha |=\sum _{j,k=0}^{\infty }{\frac {|j\rangle \!\langle k|}{n!{\sqrt {j!k!}}}}\int \mathrm {d} ^{2}\alpha \left({\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*n}}}\delta ^{2}(\alpha )\right)\alpha ^{j}\alpha ^{*k},}junto con la identidad∫d2α(∂2norte∂αnorte∂α∗norteδ2(α))αjα∗k=∂2norte∂αnorte∂α∗norte(αjα∗k)|α=0=norte¡2δj,norteδk,norte.{\displaystyle \int \mathrm {d} ^{2}\alpha \left({\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*n}}}\delta ^{2}(\alpha )\right)\alpha ^{j}\alpha ^{*k}=\left.{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*n}}}(\alpha ^{j}\alpha ^{*k})\right\vert _{\alpha =0}=n!^{2}\delta _{j,n}\delta _{k,n}.}El mismo razonamiento puede utilizarse para demostrar de forma más general que la función P de los operadores|norte⟩⟨metro|{\displaystyle |n\rangle \!\langle m|}es dado porPAGnorte,metro(α,α∗)=(−1)norte+metromi|α|2norte¡metro¡∂norte+metro∂αnorte∂α∗metroδ2(α).{\displaystyle P_{n,m}(\alpha ,\alpha ^{*})=(-1)^{n+m}{\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{\sqrt {n!m!}}}{\frac {\partial ^{n+m}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*m}}}\delta ^{2}(\alpha ).}

Otra expresión formal concisa para la función P de los estados de Fock utilizando los polinomios de Laguerre es [ 3 ].PAGnorte(α,α∗)=Lnorte(−14∂α∂α∗)δ2(α).{\displaystyle P_{n}(\alpha ,\alpha ^{*})=L_{n}(-{\frac {1}{4}}\partial _{\alpha }\partial _{\alpha ^{*}})\delta ^{2}(\alpha ).}

radiación térmica

A partir de argumentos de mecánica estadística en la base de Fock, se sabe que el número medio de fotones de un modo con vector de onda k y estado de polarización s para un cuerpo negro a temperatura T es

⟨norte^k,s⟩=1miℏω/kBT−1.{\displaystyle \langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle ={\frac {1}{e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1}}.}

La representación P del cuerpo negro es

PAG({αk,s})=∏k,s1π⟨norte^k,s⟩mi−|α|2/⟨norte^k,s⟩.{\displaystyle P(\{\alpha _{\mathbf {k} ,s}\})=\prod _{\mathbf {k} ,s}{\frac {1}{\pi \langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle }}e^{-|\alpha |^{2}/\langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle }.}

En otras palabras, cada modo del cuerpo negro se distribuye normalmente en la base de estados coherentes. Dado que P es positivo y acotado, este sistema es esencialmente clásico. Este es un resultado bastante notable, ya que para el equilibrio térmico la matriz de densidad también es diagonal en la base de Fock, pero los estados de Fock no son clásicos.

Ejemplo muy singular

Incluso los estados de apariencia muy simple pueden exhibir un comportamiento altamente no clásico. Consideremos una superposición de dos estados coherentes.

|ψ⟩=do0|α0⟩+do1|α1⟩{\displaystyle |\psi \rangle =c_{0}|\alpha _{0}\rangle +c_{1}|\alpha _{1}\rangle }

donde c 0 , c 1 son constantes sujetas a la restricción de normalización.

1=|do0|2+|do1|2+2mi−(|α0|2+|α1|2)/2Re⁡(do0∗do1miα0∗α1).{\displaystyle 1=|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}+2e^{-(|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2})/2}\operatorname {Re} \left(c_{0}^{*}c_{1}e^{\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}}\right).}

Tenga en cuenta que esto es bastante diferente de un cúbit porque|α0⟩{\displaystyle |\alpha _{0}\rangle }y|α1⟩{\displaystyle |\alpha _{1}\rangle }no son ortogonales. Como es sencillo calcular⟨−α|ρ^|α⟩=⟨−α|ψ⟩⟨ψ|α⟩{\displaystyle \langle -\alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle =\langle -\alpha |\psi \rangle \langle \psi |\alpha \rangle }, podemos usar la fórmula de Mehta anterior para calcular P ,

PAG(α)=|do0|2δ2(α−α0)+|do1|2δ2(α−α1)+2do0∗do1mi|α|2−12|α0|2−12|α1|2mi(α1∗−α0∗)⋅∂/∂(2α∗−α0∗−α1∗)mi(α0−α1)⋅∂/∂(2α−α0−α1)⋅δ2(2α−α0−α1)+2do0do1∗mi|α|2−12|α0|2−12|α1|2mi(α0∗−α1∗)⋅∂/∂(2α∗−α0∗−α1∗)mi(α1−α0)⋅∂/∂(2α−α0−α1)⋅δ2(2α−α0−α1).{\displaystyle {\begin{aligned}P(\alpha )={}&|c_{0}|^{2}\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0})+|c_{1}|^{2}\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{1})\\[5pt]&{}+2c_{0}^{*}c_{1}e^{|\alpha |^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{0}|^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{1}|^{2}}e^{(\alpha _{1}^{*}-\alpha _{0}^{*})\cdot \partial /\partial (2\alpha ^{*}-\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})}e^{(\alpha _{0}-\alpha _{1})\cdot \partial /\partial (2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})}\cdot \delta ^{2}(2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})\\[5pt]&{}+2c_{0}c_{1}^{*}e^{|\alpha |^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{0}|^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{1}|^{2}}e^{(\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})\cdot \partial /\partial (2\alpha ^{*}-\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})}e^{(\alpha _{1}-\alpha _{0})\cdot \partial /\partial (2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})}\cdot \delta ^{2}(2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1}).\end{aligned}}}

A pesar de tener infinitas derivadas de funciones delta, P sigue obedeciendo el teorema de equivalencia óptica. Si el valor esperado del operador número, por ejemplo, se toma con respecto al vector de estado o como un promedio en el espacio de fases con respecto a P , los dos valores esperados coinciden:

⟨ψ|norte^|ψ⟩=∫PAG(α)|α|2d2α=|do0α0|2+|do1α1|2+2mi−(|α0|2+|α1|2)/2Re⁡(do0∗do1α0∗α1miα0∗α1).{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\hat {n}}|\psi \rangle &=\int P(\alpha )|\alpha |^{2}\,d^{2}\alpha \\&=|c_{0}\alpha _{0}|^{2}+|c_{1}\alpha _{1}|^{2}+2e^{-(|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2})/2}\operatorname {Re} \left(c_{0}^{*}c_{1}\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}e^{\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}}\right).\end{aligned}}}

Véase también

Referencias

  1. ↑ L. Cohen (1966). "Funciones de distribución generalizadas en el espacio de fases". J. Math. Phys . 7 (5): 781– 786. Bibcode : 1966JMP.....7..781C . doi : 10.1063/1.1931206 .
  2. ↑ L. Cohen (1976). "Problema de cuantización y principio variacional en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica". J. Math. Phys . 17 (10): 1863– 1866. Bibcode : 1976JMP....17.1863C . doi : 10.1063/1.522807 .
  3. 1 2 Schleich, Wolfgang P. (2001-02-09). Óptica cuántica en el espacio de fases (1.ª ed.). Wiley. doi : 10.1002/3527602976 . ISBN  978-3-527-29435-0.
  4. 1 2 E. CG Sudarshan (1963). "Equivalencia de descripciones semiclasicas y cuánticas de haces de luz estadísticos". Phys. Rev. Lett . 10 (7): 277– 279. Bibcode : 1963PhRvL..10..277S . doi : 10.1103/PhysRevLett.10.277 .
  5. ↑ RJ Glauber (1963). "Estados coherentes e incoherentes del campo de radiación". Phys. Rev. 131 ( 6): 2766– 2788. Bibcode : 1963PhRv..131.2766G . doi : 10.1103/PhysRev.131.2766 .
  6. ↑ Fue objeto de controversia cuando Glauber recibió una parte del Premio Nobel de Física de 2005 por su trabajo en este campo yla contribución de George Sudarshan no fue reconocida, cf. Zhou, Lulu (2005-12-06). "Científicos cuestionan el Nobel" . The Harvard Crimson . Recuperado el 28 de abril de 2016 .El artículo de Sudarshan fue recibido en Physical Review Letters el 1 de marzo de 1963 y publicado el 1 de abril de 1963, mientras que el artículo de Glauber fue recibido en Physical Review el 29 de abril de 1963 y publicado el 15 de septiembre de 1963.
  7. ↑ CL Mehta; ECG Sudarshan (1965). "Relación entre la descripción cuántica y semiclasica de la coherencia óptica". Phys. Rev. 138 ( 1B): B274– B280. Bibcode : 1965PhRv..138..274M . doi : 10.1103/PhysRev.138.B274 .
  8. ↑ CL Mehta (1967). "Representación diagonal de estados coherentes de operadores cuánticos". Phys. Rev. Lett . 18 (18): 752– 754. Bibcode : 1967PhRvL..18..752M . doi : 10.1103/PhysRevLett.18.752 .
  9. ↑ Mandel y Wolf 1995 , pág. 541 
  10. ↑ Gerry, Christopher; Knight, Peter (2004). Óptica cuántica introductoria . Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511791239 . ISBN 978-0-521-52735-4.

Bibliografía

Mandel, L.; Wolf , E. (1995), Coherencia óptica y óptica cuántica , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 0-521-41711-2