Axioma de elección global

En matemáticas , específicamente en teorías de clases , el axioma de elección global es una variante más fuerte del axioma de elección que se aplica tanto a clases propias de conjuntos como a conjuntos de conjuntos. De manera informal, afirma que se puede elegir simultáneamente un elemento de cualquier conjunto no vacío .

El axioma de elección global establece que existe una función de elección global τ, es decir, una función tal que para cada conjunto no vacío z , τ( z ) es un elemento de z .

El axioma de elección global no puede enunciarse directamente en el lenguaje de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) con el axioma de elección (AC), conocido como ZFC, ya que la función de elección τ es una clase propia y en ZFC no se puede cuantificar sobre clases. Puede enunciarse añadiendo un nuevo símbolo de función τ al lenguaje de ZFC, con la propiedad de que τ es una función de elección global. Esta es una extensión conservadora de ZFC: toda afirmación demostrable de esta teoría extendida que pueda enunciarse en el lenguaje de ZFC ya es demostrable en ZFC ( Fraenkel, Bar-Hillel y Levy 1973 , p. 72) . Alternativamente, Gödel demostró que, dado el axioma de constructibilidad, se puede escribir una función de elección explícita (aunque algo complicada) τ en el lenguaje de ZFC, por lo que, en cierto sentido, el axioma de constructibilidad implica la elección global (de hecho, [ZFC demuestra que] en el lenguaje extendido por el símbolo de función unaria τ, el axioma de constructibilidad implica que si se dice que τ es una función explícitamente definible, entonces esta τ es una función de elección global. Y entonces la elección global se sostiene moralmente, con τ como testigo ).

En el lenguaje de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley , el axioma de elección global se puede enunciar directamente ( Fraenkel, Bar-Hillel y Levy 1973 , p. 133) y es equivalente a varias otras afirmaciones:

• Cada clase de conjuntos no vacíos tiene una función de elección .
• V \ {∅} tiene una función de elección (donde V es la clase de todos los conjuntos ).
• Existe un buen ordenamiento de V.
• Existe una biyección entre V y la clase de todos los números ordinales .

En la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel, la elección global no añade ninguna consecuencia sobre los conjuntos (no sobre las clases propias) más allá de lo que podría haberse deducido del axioma de elección ordinario.

La elección global es consecuencia del axioma de limitación de tamaño .