Espaciotiempo hiperbólico global

En física matemática , la hiperbolicidad global es una condición sobre la estructura causal de una variedad espaciotemporal (es decir, una variedad lorentziana ). Se denomina hiperbólica por analogía con la teoría lineal de la propagación de ondas , donde el estado futuro de un sistema se especifica mediante condiciones iniciales . (A su vez, el símbolo principal del operador de onda es el de un hiperboloide ). Esto es relevante para la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y, potencialmente, para otras teorías gravitacionales métricas.

La hiperbolicidad global comprende dos restricciones físicas básicas en la variedad lorentziana que modela el espacio-tiempo, ambas asociadas con la predictibilidad física y el determinismo filosófico:

El teorema fundamental de escisión de Geroch (1970) ^{[ 3 ]} establece la equivalencia entre la hiperbolicidad global y la existencia de una hipersuperficie de Cauchy. Además, la demostración de que esta hipersuperficie puede elegirse como suave y de tipo espacial (Bernal y Sánchez, 2003) ^{[ 4 ]} hace que la hiperbolicidad global sea adecuada para la existencia de una formulación de valor inicial bien planteada para las ecuaciones de Einstein.

Esto se considera una condición natural y esencial en la Relatividad General: dados datos iniciales arbitrarios, existe una única solución hiperbólica global máxima para las ecuaciones de Einstein. De hecho, la Hipótesis de Censura Cósmica Fuerte propuesta por Penrose ^{[ 5 ]} postula que el universo no contiene singularidades desnudas, lo que lo convierte en hiperbólico global. Cabe destacar que los espaciotiempos hiperbólicos globales también admiten la división ortogonal global de Bernal-Sánchez ^{[ 6 ]} , lo que proporciona una descomposición robusta, estable y altamente no única del espaciotiempo en componentes espaciales y temporales distintos.

Existen varias definiciones equivalentes de hiperbolicidad global. Sea M una variedad lorentziana suave, conexa y orientada en el tiempo, sin frontera. Hacemos las siguientes definiciones preliminares:

• M no es totalmente vicioso si existe al menos un punto tal que ninguna curva temporal cerrada pasa por él.
• M es causal si no tiene curvas causales cerradas.
• M es un encarcelamiento no total si ninguna curva causal inextensible está contenida en un conjunto compacto . Esta propiedad implica causalidad.
• M es fuertemente causal si para cada punto p y cualquier entorno U de p existe un entorno causalmente convexo V de p contenido en U , donde la convexidad causal significa que cualquier curva causal con extremos en V está completamente contenida en V. Esta propiedad implica un encarcelamiento no total.
• Dado cualquier punto p en M ,${\displaystyle J^{+}(p)}$[resp.${\displaystyle J^{-}(p)}$] es el conjunto de puntos que pueden alcanzarse mediante una curva causal continua dirigida hacia el futuro [respectivamente, dirigida hacia el pasado] que parte de p .
• Dado un subconjunto S de M , el dominio de dependencia de S es el conjunto de todos los puntos p en M tales que toda curva causal inextensible que pasa por p interseca a S.
• Un subconjunto S de M es acrónico si ninguna curva de tipo temporal interseca a S más de una vez.
• Una superficie de Cauchy para M es un conjunto acrónico cerrado cuyo dominio de dependencia es M.

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. El espaciotiempo es causal, y para cada par de puntos p y q en M , el espacio de curvas causales continuas dirigidas hacia el futuro desde p hasta q es compacto en el${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$topología .
2. El espacio-tiempo tiene una superficie de Cauchy.
3. El espaciotiempo es causal, y para cada par de puntos p y q en M , el subconjunto${\displaystyle J^{+}(p)\cap J^{-}(q)}$es compacto.
4. El espacio-tiempo es fuertemente causal y el cierre de los diamantes${\displaystyle J^{+}(p)\cap J^{-}(q)}$es compacto.

Si se cumple alguna de estas condiciones, decimos que M es globalmente hiperbólica . Si M es una variedad lorentziana lisa, conexa y orientada en el tiempo con frontera, decimos que es globalmente hiperbólica si su interior es globalmente hiperbólico.

Otras caracterizaciones equivalentes de la hiperbolicidad global utilizan la noción de distancia lorentziana. ${\displaystyle d(p,q):=\sup _ {\gamma }l(\gamma )}$donde el supremo es tomado sobre todos los${\displaystyle C^{1}}$curvas causales que conectan los puntos (por convención d=0 si no existe tal curva). Son

• Un espaciotiempo fuertemente causal para el cual${\displaystyle d}$es de valor finito para cada elección métrica en la clase conforme de la métrica original. ^{[ 7 ]}
• Un espaciotiempo de confinamiento no total tal que${\displaystyle d}$es continua para cada elección métrica en la clase conforme de la métrica original.

Se puede dar una caracterización similar en términos de la clase conforme para${\displaystyle C^{3}}$métricas, utilizando incrustaciones isométricas de tipo Nash , a saber: ^{[ 8 ]} Un espaciotiempo que admite una incrustación isométrica en el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}(=\mathbb {R} _{1}^{N})}$para todas las métricas en su clase conforme.

Los espaciotiempos hiperbólicos globales también pueden caracterizarse en términos de la ausencia de puntos de tipo temporal en el límite causal (ya que estos puntos desempeñan el papel de singularidades desnudas) ^{[ 9 ]} entre otros. ^{[ 10 ]}

La hiperbolicidad global, en la primera forma dada anteriormente, fue introducida por Leray ^{[ 11 ]} para considerar la buena formulación del problema de Cauchy para la ecuación de onda en la variedad. En 1970, Geroch ^{[ 12 ]} demostró la equivalencia de las definiciones 1 y 2. La definición 3, bajo el supuesto de causalidad fuerte en lugar de causalidad, y su equivalencia con las dos primeras, fue dada por Hawking y Ellis ^{[ 13 ]} .

En la primera definición, la condición de causalidad puede omitirse simplemente asumiendo la topología natural en el espacio de curvas causales ^{[ 14 ]} . Como se mencionó anteriormente, en la tercera definición de hiperbolicidad global la condición de causalidad se reemplaza por la condición más fuerte de causalidad fuerte . En 2007, Bernal y Sánchez ^{[ 15 ]} demostraron que la condición de causalidad fuerte puede reemplazarse por causalidad. En particular, cualquier variedad hiperbólica global definida en 3 es fuertemente causal. Posteriormente, Hounnonkpe y Minguzzi ^{[ 16 ]} demostraron que para espaciotiempos bastante razonables, más precisamente aquellos de dimensión mayor que tres que no son compactos o no totalmente viciosos, la condición 'causal' también puede omitirse de la definición 3.

En la definición 3 el conjunto${\displaystyle J^{+}(p)\cap J^{-}(q)}$Se requiere que sea compacto. Sin embargo, Beem y Ehrlich ^{[ 17 ]} demostraron que la compacidad de su cierre es suficiente, bajo causalidad fuerte, que era una hipótesis estándar en ese momento. Minguzzi propuso en 2009 ^{[ 18 ]} la definición de que estos cierres son compactos y el espaciotiempo no es totalmente aprisionador. Otras propiedades sobre escisiones y estabilidad pueden verse en relación con el teorema de escisión de Geroch .

En 2003, Bernal y Sánchez ^{[ 19 ]} demostraron que cualquier variedad hiperbólica global M tiene una superficie de Cauchy tridimensional suave incrustada, y además que cualesquiera dos superficies de Cauchy para M son difeomorfas . En particular, M es difeomorfa al producto de una superficie de Cauchy con${\displaystyle \mathbb {R} }$. Anteriormente se sabía bien que cualquier superficie de Cauchy de una variedad globalmente hiperbólica es una hipersuperficie $C^{0}$ incrustada, cualesquiera dos de las cuales son homeomorfas , y tales que la variedad se divide topológicamente como el producto de la superficie de Cauchy y${\displaystyle \mathbb {R} }$(Geroch, 1970 ^{[ 20 ]} ). En particular, una variedad hiperbólica global está foliada por superficies de Cauchy de tipo espacial.

En vista de la formulación del valor inicial para las ecuaciones de Einstein, la hiperbolicidad global se considera una condición muy natural en el contexto de la relatividad general, en el sentido de que, dados datos iniciales arbitrarios, existe una única solución hiperbólica global máxima de las ecuaciones de Einstein.

La adición de un límite temporal a un espaciotiempo es de gran interés en diversos contextos físicos y matemáticos. Por ejemplo, el límite puede representar un límite conforme en el infinito, como en el caso del espaciotiempo Anti-de Sitter (AdS) o los espacios asintóticamente AdS. Alternativamente, puede servir como un límite para aislar un sistema físico específico dentro de una región finita. Si bien estas estructuras se han abordado periódicamente en la literatura (p. ej., Solís, 2006), ^{[ 21 ]} Aké, Flores y Sánchez (2021) llevaron a cabo un estudio sistemático del caso globalmente hiperbólico. ^{[ 22 ]}

Estos autores definieron un espaciotiempo hiperbólico global con frontera de tipo temporal como una variedad de Lorentz suave con frontera${\displaystyle ({\bar {M}}=M\cup \partial M,g)}$de tal manera que:

1. la métrica heredada por el límite${\displaystyle \partial M}$es lorentziano (es decir,${\displaystyle \partial M}$es temporal) y
2. El espaciotiempo satisface las propiedades naturales de ser causal con intersecciones compactas.${\displaystyle J^{+}(p)\cap J^{-}(q)}$, donde estas condiciones deben verificarse mediante el uso de curvas causales que pueden tocar o estar parcial o totalmente contenidas en${\displaystyle \partial M}$. ^{[ 23 ]}

Los espaciotiempos hiperbólicos globales con frontera de tipo temporal presentan propiedades geométricas globales que extienden el caso sin frontera a la presencia de singularidades desnudas, entre ellas:

• Cuando el límite${\displaystyle \partial M}$no está vacío, entonces puede identificarse con las singularidades desnudas del interior${\displaystyle M}$. De este modo,${\displaystyle M}$no es intrínsecamente hiperbólico globalmente; sin embargo, siempre es causalmente continuo . Además,${\displaystyle M}$es causalmente simple si y solo si el límite${\displaystyle \partial M}$es convexa en las direcciones similares a la luz. ^{[ 24 ]}
• La hiperbolicidad global es equivalente a la existencia de una hipersuperficie de Cauchy (con frontera).${\displaystyle \partial S}$Además, en este caso también se puede obtener la división ortogonal global de Bernal-Sánchez .

En resumen, esta definición extiende la noción clásica de hiperbolicidad global a variedades donde la "información" puede alcanzar o emerger de un límite. En este marco, la existencia de una hipersuperficie de Cauchy${\displaystyle S}$vuelve a ser fundamental, pero con el requisito añadido de que${\displaystyle S}$debe cumplir el límite${\displaystyle \partial M}$.

• Condiciones de causalidad
• Estructura causal
• cono de luz

• Hawking, SW; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09906-4.
• Wald, RM (1984). Relatividad general . Chicago: The University of Chicago Press . ISBN 0-226-87033-2.