Esquemas de pegado

Dejar${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (k[t])\simeq \mathbb {A} ^{1},Y=\operatorname {Spec} (k[u])\simeq \mathbb {A} ^{1}}$Sean dos copias de la línea afín sobre un cuerpo k .${\displaystyle X_{t}=\{t\neq 0\}=\operatorname {Spec} (k[t,t^{-1}])}$ser el complemento del origen y${\displaystyle Y_{u}=\{u\neq 0\}}$definido de manera similar. Sea Z el esquema obtenido al pegar${\displaystyle X,Y}$a lo largo del isomorfismo${\displaystyle X_{t}\simeq Y_{u}}$dado por${\displaystyle t^{-1}\leftrightarrow u}$; identificamos${\displaystyle X,Y}$con los subconjuntos abiertos de ^{Z. [ 2 ]} Ahora ^{, los} anillos afines${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z}),\Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})}$son ambos anillos de polinomios en una variable de tal manera

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s]}$y${\displaystyle \Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s^{-1}]}$

donde los dos anillos se consideran subanillos del campo de la función${\displaystyle k(Z)=k(s)}$. Pero esto significa que${\displaystyle Z=\mathbb {P} ^{1}}$; porque, por definición,${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$está cubierto por los dos diagramas afines abiertos cuyos anillos afines tienen la forma anterior.

Dejar${\displaystyle X,Y,X_{t},Y_{u}}$sea ​​como en el ejemplo anterior. Pero esta vez dejemos que${\displaystyle Z}$denota el esquema obtenido mediante pegado${\displaystyle X,Y}$a lo largo del isomorfismo${\displaystyle X_{t}\simeq Y_{u}}$dado por${\displaystyle t\leftrightarrow u}$. ^{[ 3 ]} Entonces, geométricamente,${\displaystyle Z}$se obtiene identificando dos líneas paralelas excepto el origen; es decir, es una línea afín con el origen duplicado. (Se puede demostrar que Z no es un esquema separado ). En contraste, si se pegan dos líneas de manera que el origen en una línea corresponda al punto (ilusorio) en el infinito para la otra línea; es decir, usar el isomorfismo${\displaystyle t^{-1}\leftrightarrow u}$, entonces el esquema resultante es, al menos visualmente, la línea proyectiva${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$.