El cometa de Goldbach

El cometa de Goldbach ^{[ 1 ]} es el nombre que se le da a una gráfica de la función${\displaystyle g(E)}$, la llamada función de Goldbach (secuencia A002372 en la OEIS ) . La función, estudiada en relación con la conjetura de Goldbach , está definida para todos los enteros pares.${\displaystyle E>2}$ser el número de formas diferentes en que E puede expresarse como la suma de dos números primos. Por ejemplo,${\displaystyle g(22)=3}$ya que 22 se puede expresar como la suma de dos números primos de tres maneras diferentes (${\displaystyle 22=11+11=5+17=3+19}$).

Una forma esclarecedora de presentar los datos del cometa es mediante un histograma . La función${\displaystyle g(E)}$se puede normalizar dividiendo por el valor promedio local de g , g _av , tomado sobre quizás 1000 valores vecinos del número par E. El histograma se puede acumular luego en un rango de hasta aproximadamente el 10% a cada lado de un E central .

Dicho histograma aparece a la derecha. Se observa una serie de picos bien definidos. Cada uno de estos picos puede identificarse como formado por un conjunto de valores de${\displaystyle E/2}$que tienen ciertos factores mínimos. Los picos principales corresponden a los factores más bajos de 3, 5, 7... como se indica. A medida que los factores más bajos aumentan, los picos se desplazan hacia la izquierda y finalmente se fusionan para dar el pico principal de menor valor.

De hecho, existe una jerarquía de picos; los picos principales están compuestos por picos subsidiarios, con una sucesión de segundos factores más pequeños.${\displaystyle E/2}$Esta jerarquía continúa hasta que se agotan todos los factores.

La sección ampliada muestra con mayor detalle la sucesión de picos secundarios.

La ubicación relativa de los picos se deriva de la forma desarrollada por Hardy y Littlewood: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {g(E)}{g_{av}}}=\Pi _{2}\prod {\frac {(p-1)}{(p-2)}}\,,\quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)}$

donde el producto se toma sobre todos los primos p que son factores de${\displaystyle E/2}$El factor de la derecha es la constante prima gemela de Hardy-Littlewood .

${\displaystyle \Pi _{2}=\prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)=0.6601618...}$

Aquí el producto se toma sobre todos los números primos mayores que 2.

De particular interés es el pico formado al seleccionar solo valores de${\displaystyle E/2}$que son primos. El factor de producto en la ecuación (1) es entonces muy cercano a 1. El pico es muy cercano a una forma gaussiana (mostrado en gris). Para este rango de valores de E , la ubicación del pico está dentro del 0,03% del ideal.${\displaystyle \Pi _{2}}$.

Cuando se forman histogramas para diferentes valores promedio de E , se encuentra que el ancho de este pico (solo primos) es proporcional a${\displaystyle 1/{\sqrt {g_{pav}(E)}}}$Sin embargo, es un factor de aproximadamente 1,85 menor que el valor.${\displaystyle {\sqrt {2/g_{pav}(E)}}}$Esto se esperaría de una hipótesis de coincidencia de pares primos totalmente aleatoria . Esto es previsible, ya que existen correlaciones que dan lugar a los picos separados en el histograma total.

Volviendo a la gama completa de${\displaystyle E/2}$en lugar de solo primos, se observa que otros picos asociados con factores mínimos específicos de${\displaystyle E/2}$También se puede ajustar mediante una gaussiana , pero solo en su hombro inferior. El hombro superior, formado por un conjunto de picos subsidiarios, se sitúa por encima de la forma gaussiana simple.

Las alturas relativas de los picos en el histograma total son representativas de las poblaciones de varios tipos de${\displaystyle E/2}$teniendo diferentes factores. Las alturas son aproximadamente inversamente proporcionales a${\displaystyle \Pi \,p}$, los productos de los factores más bajos. Así, la altura del pico marcado (3,5) en el histograma general es aproximadamente 1/15 de la altura del pico principal. Las alturas pueden variar en un 20% aproximadamente; su valor exacto es una función compleja de la forma en que los picos se constituyen a partir de sus componentes y de su anchura variable.

Resulta interesante especular sobre la posibilidad de que cualquier número E tenga cero pares primos, considerando estas formas gaussianas como probabilidades y asumiendo que es legítimo extrapolar hasta el punto de cero pares. Si se realiza esta extrapolación, la probabilidad de cero pares para cualquier E , en el rango aquí considerado, es del orden de ^{10⁻³⁷⁰⁰} . La probabilidad integrada sobre todos los E hasta el infinito, teniendo en cuenta la disminución del ancho del pico, no es mucho mayor. Es razonable esperar que cualquier búsqueda de una violación de la conjetura de Goldbach se enfrente a estas probabilidades.